Hmotnostní matice - Mass matrix

v analytická mechanika, hmotnostní matice je symetrický matice M který vyjadřuje spojení mezi časovou derivací ${displaystyle {dot {q}}}$ z zobecněný vektor souřadnic q systému a Kinetická energie T tohoto systému rovnicí

${displaystyle T = {frac {1} {2}} mathbf {dot {q}} ^ {extsf {T}} mathbf {M} mathbf {dot {q}}}$

kde ${displaystyle mathbf {dot {q}} ^ {extsf {T}}}$ označuje přemístit vektoru ${displaystyle mathbf {dot {q}}}$.^[1] Tato rovnice je obdobou vzorce pro kinetickou energii částice s hmotou ${displaystyle m}$ a rychlost proti, jmenovitě

${displaystyle T = {frac {1} {2}} m | mathbf {v} | ^ {2} = {frac {1} {2}} mathbf {v} cdot mmathbf {v}}$

a lze jej z toho odvodit vyjádřením polohy každé části systému z hlediska q.

Obecně platí, že hmotová matice M záleží na stavu q, a proto se mění s časem.

Lagrangian mechanika výnosy obyčejná diferenciální rovnice (ve skutečnosti systém spojených diferenciálních rovnic), který popisuje vývoj systému z hlediska libovolného vektoru zobecněných souřadnic, který zcela definuje polohu každé částice v systému. Výše uvedený vzorec kinetické energie je jedním z termínů této rovnice, který představuje celkovou kinetickou energii všech částic.

Příklady

Dvoudimenzionální jednodimenzionální systém

Systém hmot v jedné prostorové dimenzi.

Zvažte například systém skládající se ze dvou bodových hmot omezených na přímou trať. Stav těchto systémů lze popsat vektorem q dvou zobecněných souřadnic, jmenovitě polohy dvou částic podél dráhy.

${displaystyle q = {egin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} end {bmatrix}} ^ {extsf {T}}}$.

Předpokládejme, že částice mají hmotnost m₁, m₂, kinetická energie systému je

${displaystyle T = součet _ {i = 1} ^ {2} {frac {1} {2}} m_ {i} {tečka {x_ {i}}} ^ {2}}$

Tento vzorec lze také psát jako

${displaystyle T = {frac {1} {2}} {dot {q}} ^ {extsf {T}} M {dot {q}}}$

kde

${displaystyle M = {egin {bmatrix} m_ {1} & 0 0 & m_ {2} end {bmatrix}}}$

Systém N-body

Obecněji zvažte systém N částice označené indexem i = 1, 2, …, N, kde je poloha počtu částic i je definováno n_i volné kartézské souřadnice (kde n_i je 1, 2 nebo 3). Nechat q být vektor sloupce obsahující všechny tyto souřadnice. Hmotnostní matice M je úhlopříčka bloková matice kde v každém bloku jsou úhlopříčné prvky hmotou odpovídající částice:^[2]

${displaystyle M = operatorname {diag} left [m_ {1} I_ {n_ {1}} ,, m_ {2} I_ {n_ {2}} ,, ldots ,, m_ {N} I_ {n_ {N}} večer]}$

kde Já_{n i} je n_i × n_i matice identity nebo lépe:

${displaystyle M = {egin {bmatrix} m_ {1} & cdots & 0 & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots & vddots & vdots & ddots & vdots 0 & cdots & m_ {1} & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots 0 cdots & 0 & 0 & cdots a m_ {2} cdots & 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots 0 cdots & 0 & 0 & cdots & 0 & cdots a m_ {N} cdots & 0 vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots 0 & cdots & 0 & 0 & cdots & 0 & cdots & 0 & cdots & m_ {N} end {bmatrix}}}$

Rotující činka

Rotující činka.

Pro méně triviální příklad zvažte dva bodové objekty s hmotami m₁, m₂, připojený ke koncům tuhé bezhmotné tyče o délce 2R, přičemž sestava se může volně otáčet a klouzat po pevné rovině. Stav systému lze popsat zobecněným vektorem souřadnic

${displaystyle q = {egin {bmatrix} x & y & alpha end {bmatrix}}}$

kde X, y jsou pravoúhlé souřadnice středu tyče a α je úhel tyče z libovolného referenčního směru. Pozice a rychlosti těchto dvou částic jsou

${displaystyle {egin {aligned} x_ {1} & = (x, y) + R (cos alpha, sin alpha) & v_ {1} & = left ({dot {x}}, {dot {y}} ight) + R {dot {alpha}} (- sin alpha, cos alpha) x_ {2} & = (x, y) -R (cos alpha, sin alpha) & v_ {2} & = left ({dot {x} }, {dot {y}} ight) -R {dot {alpha}} (- sin alpha, cos alpha) konec {zarovnáno}}}$

a jejich celková kinetická energie je

${displaystyle 2T = m {dot {x}} ^ {2} + m {dot {y}} ^ {2} + mR ^ {2} {dot {alpha}} ^ {2} -2Rdsin (alfa) {dot {x}} {dot {alpha}} + 2Rdcos (alpha) {dot {y}} {dot {alpha}}}$

kde ${displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}}$ a ${displaystyle d = m_ {1} -m_ {2}}$. Tento vzorec lze zapsat v maticové podobě jako

${displaystyle T = {frac {1} {2}} {dot {q}} ^ {extsf {T}} M {dot {q}}}$

kde

${displaystyle M = {egin {bmatrix} m & 0 & -Rdsin alpha 0 & m & Rdcos alpha -Rdsin alpha & Rdcos alpha & R ^ {2} napravit {bmatrix}}}$

Matice závisí na aktuálním úhlu α baru.

Mechanika kontinua

Pro diskrétní aproximace mechanika kontinua jako v Metoda konečných prvků, může existovat více než jeden způsob konstrukce hmotové matice, v závislosti na požadované výpočetní přesnosti a výkonu. Například metoda soustředěné hmotnosti, při které je ignorována deformace každého prvku, vytváří diagonální hmotovou matici a vylučuje potřebu integrovat hmotu přes deformovaný prvek.

Viz také

• Moment setrvačnosti
• Tenzor napětí a energie
• Matice tuhosti
• Skleronomní

Reference