Maximum von Mises napětí v rovině napětí problém s parametry intervalu (počítáno pomocí gradientní metody).
v numerická analýza, metoda intervalových konečných prvků (interval MKP) je Metoda konečných prvků který používá parametry intervalu. Intervalové MKP lze použít v situacích, kdy není možné získat spolehlivé pravděpodobnostní charakteristiky konstrukce. To je důležité v betonových konstrukcích, dřevěných konstrukcích, geomechanice, kompozitních strukturách, biomechanice a v mnoha dalších oblastech.[1] Cílem Interval Finite Element je najít horní a dolní mez různých charakteristik modelu (např. stres, posunutí, povrch výnosu atd.) a tyto výsledky použít v procesu návrhu. Jedná se o tzv. Návrh nejhoršího případu, který úzce souvisí s návrh mezního stavu.
Nejhorší design vyžaduje méně informací než pravděpodobnostní design výsledky jsou však konzervativnější [Köylüoglu a Elishakoff 1998].[Citace je zapotřebí ]
Aplikace parametrů intervalu na modelování nejistoty
Zvažte následující rovnici:

kde A a b jsou reálná čísla, a
.
Velmi často přesné hodnoty parametrů A a b nejsou známy.
Předpokládejme to
a
. V tomto případě je nutné vyřešit následující rovnici
![[1,2] x = [1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4595eff8ae21caa9b398e0f2e87f695ec9a3af)
Existuje několik definic sady řešení této rovnice s intervalovými parametry.
Velká sada řešení
V tomto přístupu je řešením následující sada
![{mathbf {x}} = vlevo {x: ax = b, ain {mathbf {a}}, bin {mathbf {b}} ight} = {frac {{mathbf {b}}} {{mathbf {a}} }} = {frac {[1,4]} {[1,2]}} = [0,5,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59314c30c5ff470c61f9bf273c830603ad5a6ce6)
Toto je nejpopulárnější sada řešení intervalové rovnice a tato sada řešení bude použita v tomto článku.
Ve vícerozměrném případě je sada sjednocených řešení mnohem komplikovanější. Sada řešení následujícího systému lineární intervalové rovnice
![vlevo [{egin {pole} {cc} {[- 4, -3]} a {[- 2,2]} {[- 2,2]} a {[- 4, -3]} konec {pole }}ight]left[{ egin{array}{c}x_{1}x_{2}end{array}}ight]=left[{ egin{array}{c}{[-8,8]} {[-8,8]}end{array}}ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b57d8bab77d743443e3ce1fbd5e4720a4623904)
je zobrazen na následujícím obrázku


Přesná sada řešení je velmi komplikovaná, proto je nutné najít nejmenší interval, který obsahuje přesnou sadu řešení


nebo jednoduše
![diamondsuit left(sum {_{{exists exists }}}({mathbf {A}},{mathbf {b}})ight)=[underline x_{1},overline x_{1}] imes [underline x_{2},overline x_{2}] imes ... imes [underline x_{n},overline x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d94ca9881e3cbf3ca24446ee33e8b0ab23465a)
kde

![x_{i}in {x_{i}:Ax=b,Ain {mathbf {A}},bin {mathbf {b}}}=[underline x_{i},overline x_{i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dcd9503c40571eedd69984afca65030bb3c3fb)
Viz také [1]
Sada parametrických řešení intervalového lineárního systému
Metoda intervalových konečných prvků vyžaduje řešení soustavy rovnic závislých na parametrech (obvykle se symetrickou kladnou definitivní maticí). Příklad sady řešení obecného soustavy rovnic závislých na parametrech
![left[{ egin{array}{cc}p_{1}&p_{2}p_{2}+1&p_{1}end{array}}ight]left[{ egin{array}{cc}u_{1}u_{2}end{array}}ight]=left[{ egin{array}{c}{frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}2p_{1}-6end{array}}ight], for p_{1}in [2,4],p_{2}in [-2,1].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7325c762a59b03765ed46969aad47a97d711ad02)
je zobrazen na obrázku níže.[2]

Algebraické řešení
V tomto přístupu je x číslo intervalu pro které rovnice
![[1,2]x=[1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4595eff8ae21caa9b398e0f2e87f695ec9a3af)
je spokojen. Jinými slovy, levá strana rovnice se rovná pravé straně rovnice. V tomto konkrétním případě je řešení
protože
![ax=[1,2][1,2]=[1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa24c15f92795f84ed7377442f15be5576c70d7)
Pokud je nejistota větší, tj.
, pak
protože
![ax=[1,4][1,1]=[1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e50251635c349a65052f78c0e48abdc970ccb5)
Pokud je nejistota ještě větší, tj.
, pak řešení neexistuje. Je velmi složité najít fyzickou interpretaci sady řešení algebraického intervalu. V aplikacích se tedy obvykle používá sada sjednoceného řešení.
Metoda
Zvažte PDE s parametry intervalu

kde
je vektor parametrů, které patří do daných intervalů
![p_{i}in [underline p_{i},overline p_{i}]={{mathbf p}}_{i},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae4322b3ce6be95c08b1a615ee8e55b517c82e9)

Například rovnice přenosu tepla


kde
jsou parametry intervalu (tj.
).
Řešení rovnice (1) lze definovat následujícím způsobem

Například v případě rovnice přenosu tepla

Řešení
je velmi komplikovaný, protože v praxi je zajímavější najít nejmenší možný interval, který obsahuje přesnou sadu řešení
.

Například v případě rovnice přenosu tepla

Metoda konečných prvků vede k následujícímu parametricky závislému systému algebraických rovnic

kde K. je matice tuhosti a Q je pravá strana.
Intervalové řešení lze definovat jako funkci s více hodnotami

V nejjednodušším případě výše uvedený systém lze považovat za systém lineární intervalové rovnice.
Je také možné definovat intervalové řešení jako řešení následujícího optimalizačního problému


Ve vícerozměrném případě lze intrvální řešení zapsat jako
![{mathbf {u}}={mathbf {u}}_{1} imes cdots imes {mathbf {u}}_{n}=[underline u_{1},overline u_{1}] imes cdots imes [underline u_{n},overline u_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f3d25babfdb13df44ababf7373bd5104e44185)
Intervalové řešení versus pravděpodobnostní řešení
Je důležité vědět, že parametry intervalu generují jiné výsledky než rovnoměrně rozložené náhodné proměnné.
Intervalový parametr
vzít v úvahu všechna možná rozdělení pravděpodobnosti (pro
).
K definování parametru intervalu je nutné znát pouze horní
a dolní mez
.
Výpočty pravděpodobnostních charakteristik vyžadují znalost mnoha experimentálních výsledků.
Je možné ukázat, že součet čísel n intervalu je
krát širší než součet příslušných normálně distribuovaných náhodných proměnných.
Součet n číslo intervalu
je rovný
![n{mathbf {p}}=[nunderline p,noverline p]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d910315ff4ffb9248c116c24123f195381fdd8d1)
Šířka tohoto intervalu se rovná

Zvážit normálně distribuovaná náhodná proměnná X takhle
![m_{X}=E[X]={frac {overline p+underline p}{2}},sigma _{X}={sqrt {Var[X]}}={frac {Delta p}{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a31822eeedaa880d66b492fd103075ceda5f374)
Součet n normálně distribuovaná náhodná proměnná je normálně distribuovaná náhodná proměnná s následujícími charakteristikami (viz Six Sigma )
![E[nX]=n{frac {overline p+underline p}{2}},sigma _{{nX}}={sqrt {nVar[X]}}={sqrt {n}}sigma ={sqrt {n}}{frac {Delta p}{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592ff68c69c5fae9162a3b5d3271ece9cd1ffb35)
Můžeme předpokládat, že šířka pravděpodobnostního výsledku se rovná 6 sigma (porovnej Six Sigma ).

Nyní můžeme porovnat šířku výsledku intervalu a pravděpodobnostní výsledek

Z tohoto důvodu mohou být výsledky intervalového konečného prvku (nebo obecně analýzy nejhorších případů) nadhodnoceny ve srovnání se stochastickou analýzou femů (viz také šíření nejistoty ) V případě nespobabilistické nejistoty však nelze použít čistě pravděpodobnostní metody. Protože pravděpodobnostní charakteristika v takovém případě není přesně známa [ Elishakoff 2000].
Je možné uvažovat náhodné (a fuzzy náhodné proměnné) s parametry intervalu (např. S průměrem intervalu, rozptylem atd.). Někteří vědci používají intervalová (fuzzy) měření ve statistických výpočtech (např. [2] ). Výsledkem těchto výpočtů bude tzv nepřesná pravděpodobnost.
Nepřesná pravděpodobnost je chápán ve velmi širokém smyslu. Používá se jako obecný pojem k pokrytí všech matematických modelů, které měří náhodu nebo nejistotu bez ostrých numerických pravděpodobností. Zahrnuje jak kvalitativní (srovnávací pravděpodobnost, uspořádání dílčích preferencí, ...), tak kvantitativní režimy (intervalové pravděpodobnosti, funkce víry, horní a dolní prevence, ...). Nepřesné modely pravděpodobnosti jsou zapotřebí v problémech odvození, kde jsou relevantní informace vzácné, vágní nebo konfliktní, a v problémech rozhodování, kde mohou být také neúplné preference [3].
Jednoduchý příklad: modelování napětí, tlaku, přetvoření a napětí)

Příklad 1 dimenze
V napětí -komprese problém, následující rovnice ukazuje vztah mezi přemístění u a platnost P:

kde L je délka, A je plocha průřezu a E je Youngův modul.
Pokud jsou Youngův modul a síla nejisté, pak
![Ein [underline E,overline E],Pin [underline P,overline P]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0171a6b27a205f1a4d5a748ea17c2fa8bf594a2f)
Najít horní a dolní mez posunutí u, vypočítat následující částečné derivace:


Vypočítejte extrémní hodnoty posunutí následovně:


Vypočítat kmen pomocí následujícího vzorce:

Vypočítejte derivaci kmene pomocí derivace z posunutí:


Vypočítejte extrémní hodnoty posunutí následovně:


Pomocí posunutí je také možné vypočítat extrémní hodnoty přetvoření

pak


Stejnou metodiku lze použít na stres

pak


a


Pokud tedy zacházíme se stresem jako s funkcí napětí

pak


Struktura je bezpečná, pokud je stres
je menší než daná hodnota
tj.

tato podmínka je pravdivá, pokud

Po výpočtu víme, že tento vztah je splněn, pokud

Příklad je velmi jednoduchý, ale ukazuje použití parametrů intervalu v mechanice. Intervalové MKP používají ve vícerozměrných případech velmi podobnou metodiku [Pownuk 2004].
Ve vícerozměrných případech však vztah mezi nejistými parametry a řešením není vždy monotónní. V takovém případě je nutné použít složitější optimalizační metody.[1]
Vícedimenzionální příklad
V případě napětíkomprese problém rovnovážná rovnice má následující tvar

kde u je posunutí, E je Youngův modul, A je oblast průřezu a n je distribuovaná zátěž. Pro získání jedinečného řešení je nutné přidat vhodné okrajové podmínky, např.


Li Youngův modul E a n jsou nejisté, pak lze intervalové řešení definovat následujícím způsobem
![{{mathbf u}}(x)=left{u(x):{frac {d}{dx}}left(EA{frac {du}{dx}}ight)+n=0,u(0)=0,{frac {du(0)}{dx}}EA=P,Ein [underline E,overline E],Pin [underline P,overline P]ight}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3040714f21cc40a6e9ba0689598d7e5e397dbeb7)
Pro každý prvek MKP je možné rovnici vynásobit testovací funkcí proti

kde ![xin [0,L^{{(e)}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8ec77668cbe975f4743aa6dabb9e7c3606cc2d)
Po integrace po částech dostaneme rovnici ve slabé formě

kde ![xin [0,L^{{(e)}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8ec77668cbe975f4743aa6dabb9e7c3606cc2d)
Představme si sadu bodů mřížky
, kde
je řada prvků a funkce lineárního tvaru pro každý prvek MKP

kde ![xin [x_{{0}}^{{(e)}},x_{{1}}^{{(e)}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfa3292addbebbcce683b84b81c2b6a43d4fac7)
levý koncový bod prvku,
levý koncový bod čísla prvku „e“. Přibližným řešením v „e“ -tém prvku je lineární kombinace tvarových funkcí

Po dosazení do slabé formy rovnice dostaneme následující soustavu rovnic
![left[{ egin{array}{cc}{frac {E^{{(e)}}A^{{(e)}}}{L^{{(e)}}}}&-{frac {E^{{(e)}}A^{{(e)}}}{L^{{(e)}}}}-{frac {E^{{(e)}}A^{{(e)}}}{L^{{(e)}}}}&{frac {E^{{(e)}}A^{{(e)}}}{L^{{(e)}}}}end{array}}ight]left[{ egin{array}{c}u_{1}^{{(e)}}u_{2}^{{(e)}}end{array}}ight]=left[{ egin{array}{c}int limits _{{0}}^{{L^{{(e)}}}}nN_{1}^{{(e)}}(x)dxint limits _{{0}}^{{L^{{(e)}}}}nN_{2}^{{(e)}}(x)dxend{array}}ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ceef2f67a401e1e15feb1e0a9bd4670b791670)
nebo ve formě matice

Aby bylo možné sestavit matici globální tuhosti, je nutné zvážit rovnovážné rovnice v každém uzlu. Poté má rovnice následující maticový tvar

kde