Metoda Lax – Wendroff - Lax–Wendroff method - Wikipedia

The Metoda Lax – Wendroff, pojmenoval podle Peter Lax a Burton Wendroff, je numerické metoda řešení hyperbolické parciální diferenciální rovnice, na základě konečné rozdíly. Je přesný druhého řádu v prostoru i čase. Tato metoda je příkladem explicitní časová integrace kde je funkce, která definuje řídící rovnici, vyhodnocena v aktuálním čase.

Definice

Předpokládejme, že jeden má rovnici v následující podobě:

${ displaystyle { frac { částečné u (x, t)} { částečné t}} + { frac { částečné f (u (x, t))} { částečné x}} = 0}$

kde X a t jsou nezávislé proměnné a počáteční stav, u (X, 0).

Lineární případ

V lineárním případě, kde f (u) = Au , a A je konstanta,^[1]

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - { frac { Delta t} {2 Delta x}} A doleva [u_ {i + 1} ^ { n} -u_ {i-1} ^ {n} vpravo] + { frac { Delta t ^ {2}} {2 Delta x ^ {2}}} A ^ {2} vlevo [u_ { i + 1} ^ {n} -2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} vpravo].}$

Toto lineární schéma lze rozšířit na obecný nelineární případ různými způsoby. Jeden z nich je nechat

${ displaystyle A (u) = f '(u) = { frac { částečné f} { částečné u}}}$

Nelineární případ

Konzervativní forma Lax-Wendroffa pro obecnou nelineární rovnici je pak:

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - { frac { Delta t} {2 Delta x}} left [f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n}) vpravo] + { frac { Delta t ^ {2}} {2 Delta x ^ {2}}} vlevo [A_ { i + 1/2} left (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i} ^ {n}) right) -A_ {i-1/2} left (f (u_ {i} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n}) doprava) doprava].}$

kde ${ displaystyle A_ {i pm 1/2}}$ je Jacobova matice hodnocená na ${ displaystyle { frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i pm 1} ^ {n})}$.

Jacobské metody zdarma

Abyste se vyhnuli jakobiánskému hodnocení, použijte dvoustupňový postup.

Richtmyerova metoda

Následuje Richtmyerova dvoustupňová metoda Lax – Wendroff. První krok Richtmyerovy dvoustupňové metody Lax – Wendroff spočítá hodnoty pro f (u (X, t)) v polovičních krocích, t_n + 1/2 a poloviční body mřížky, X_i + 1/2. Ve druhém kroku hodnoty na t_n + 1 se počítají na základě údajů pro t_n a t_n + 1/2.

První (Lax) kroky:

${ displaystyle u_ {i + 1/2} ^ {n + 1/2} = { frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i} ^ {n} ) - { frac { Delta t} {2 , Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i} ^ {n})),}$

${ displaystyle u_ {i-1/2} ^ {n + 1/2} = { frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} ) - { frac { Delta t} {2 , Delta x}} (f (u_ {i} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n}))}}$

Druhý krok:

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - { frac { Delta t} { Delta x}} left [f (u_ {i + 1/2} ^ {n + 1/2}) - f (u_ {i-1/2} ^ {n + 1/2}) right].}$

Metoda MacCormack

Další metodu stejného typu navrhl MacCormack. Metoda MacCormack používá nejprve přední a potom zpětné rozlišení:

První krok:

${ displaystyle u_ {i} ^ {*} = u_ {i} ^ {n} - { frac { Delta t} { Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i} ^ {n})).}$

Druhý krok:

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = { frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i} ^ {*}) - { frac { Delta t} {2 Delta x}} left [f (u_ {i} ^ {*}) - f (u_ {i-1} ^ {*}) right].}$

Alternativně první krok:

${ displaystyle u_ {i} ^ {*} = u_ {i} ^ {n} - { frac { Delta t} { Delta x}} (f (u_ {i} ^ {n}) - f ( u_ {i-1} ^ {n})).}$

Druhý krok:

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = { frac {1} {2}} (u_ {i} ^ {n} + u_ {i} ^ {*}) - { frac { Delta t} {2 Delta x}} left [f (u_ {i + 1} ^ {*}) - f (u_ {i} ^ {*}) right].}$

Reference

• P.D Lax; B. Wendroff (1960). „Systémy zákonů zachování“. Commun. Pure Appl. Matematika. 13 (2): 217–237. doi:10,1002 / cpa.3160130205.
• Michael J. Thompson, Úvod do astrofyzikální dynamiky tekutin, Imperial College Press, Londýn, 2006.
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 20.1. Konzervativní problémy s počáteční hodnotou toku“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. p. 1040. ISBN  978-0-521-88068-8.