Matice vzájemné korelace - Cross-correlation matrix

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek je věcná přesnost je sporný. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. Pomozte prosím zajistit, aby sporná prohlášení byla spolehlivě získáván. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Matice vzájemné korelace"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Část série na Statistika
Korelace a kovariance
Korelace a kovariance náhodných vektorů Autokorelační matice Matice vzájemné korelace Auto-kovarianční matice Křížová kovarianční matice
Korelace a kovariance stochastických procesů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce
Korelace a kovariance deterministických signálů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce

The matice vzájemné korelace ze dvou náhodné vektory je matice obsahující jako prvky vzájemné korelace všech párů prvků náhodných vektorů. Matice křížové korelace se používá v různých algoritmech zpracování digitálního signálu.

Definice

Pro dva náhodné vektory ${ displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) ^ { rm {T}}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y} = (Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) ^ { rm {T}}}$, z nichž každý obsahuje náhodné prvky jehož očekávaná hodnota a rozptyl existují matice vzájemné korelace z ${ displaystyle mathbf {X}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y}}$ je definováno^[1]:333

a má rozměry ${ displaystyle m krát n}$. Napsáno po komponentách:

${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = { begin {bmatrix} operatorname {E} [X_ {1} Y_ {1}] & operatorname {E} [ X_ {1} Y_ {2}] & cdots & operatorname {E} [X_ {1} Y_ {n}] \ operatorname {E} [X_ {2} Y_ {1}] & operatorname {E} [X_ {2} Y_ {2}] & cdots & operatorname {E} [X_ {2} Y_ {n}] \ vdots & vdots & ddots & vdots operatorname {E} [X_ {m} Y_ {1}] & operatorname {E} [X_ {m} Y_ {2}] & cdots & operatorname {E} [X_ {m} Y_ {n} ] \ konec {bmatrix}}}$

Náhodné vektory ${ displaystyle mathbf {X}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y}}$ nemusí mít stejnou dimenzi a buď může být skalární hodnotou.

Příklad

Například pokud ${ displaystyle mathbf {X} = vlevo (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} vpravo) ^ { rm {T}}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y} = vlevo (Y_ {1}, Y_ {2} vpravo) ^ { rm {T}}}$ jsou tedy náhodné vektory${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}}$ je ${ displaystyle 3 krát 2}$ matice jehož ${ displaystyle (i, j)}$-tý záznam je ${ displaystyle operatorname {E} [X_ {i} Y_ {j}]}$.

Matice vzájemné korelace komplexních náhodných vektorů

Li ${ displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ldots, Z_ {m}) ^ { rm {T}}}$ a ${ displaystyle mathbf {W} = (W_ {1}, ldots, W_ {n}) ^ { rm {T}}}$ jsou složité náhodné vektory, z nichž každá obsahuje náhodné proměnné, jejichž očekávaná hodnota a rozptyl existují, matice vzájemné korelace ${ displaystyle mathbf {Z}}$ a ${ displaystyle mathbf {W}}$ je definováno

${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} triangleq operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {H}}]}$

kde ${ displaystyle {} ^ { rm {H}}}$ označuje Hermitova transpozice.

Nesoulad

Dva náhodné vektory ${ displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) ^ { rm {T}}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y} = (Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) ^ { rm {T}}}$ jsou nazývány nesouvisí -li

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {X} mathbf {Y} ^ { rm {T}}] = operatorname {E} [ mathbf {X}] operatorname {E} [ mathbf { Y}] ^ { rm {T}}.}$

Jsou nekorelované právě tehdy, když jsou jejich křížově kovarianční matice ${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}}$ matice je nula.

V případě dvou složité náhodné vektory ${ displaystyle mathbf {Z}}$ a ${ displaystyle mathbf {W}}$ oni jsou voláni uncorelated jestliže

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {H}}] = operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf { W}] ^ { rm {H}}}$

a

${ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ { rm {T}}] = operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf { W}] ^ { rm {T}}.}$

Vlastnosti

Vztah k křížově kovarianční matici

Křížová korelace souvisí s křížově kovarianční matice jak následuje:

${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { rm {T}}] = operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} - operatorname { E} [ mathbf {X}] operatorname {E} [ mathbf {Y}] ^ { rm {T}}}$

Respektive pro složité náhodné vektory:

${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) ( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}]) ^ { rm {H}}] = operatorname {R} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} - operatorname { E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W}] ^ { rm {H}}}$

Viz také

• Autokorelace
• Korelace neznamená příčinnou souvislost
• Kovarianční funkce
• Pearsonův korelační koeficient produkt-moment
• Korelační funkce (astronomie)
• Korelační funkce (statistická mechanika)
• Korelační funkce (teorie kvantového pole)
• Vzájemné informace
• Teorie zkreslení rychlosti
• Funkce radiálního rozdělení

Reference

Další čtení

• Hayes, Monson H., Statistické zpracování a modelování digitálního signálu, John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN  0-471-59431-8.
• Solomon W. Golomb a Guang Gong. Návrh signálu pro dobrou korelaci: pro bezdrátovou komunikaci, kryptografii a radar. Cambridge University Press, 2005.
• M. Soltanalian. Návrh signálu pro aktivní snímání a komunikaci. Uppsala disertační práce z Přírodovědecké a technologické fakulty (tištěný Elanders Sverige AB), 2014.