Periodogram - Periodogram - Wikipedia

v zpracování signálu, a periodogram je odhadem spektrální hustota signálu. Termín vytvořil Arthur Schuster v roce 1898.^[1] Dnes je periodogram součástí složitějších metod (viz spektrální odhad ). Je to nejběžnější nástroj pro zkoumání amplitudových a frekvenčních charakteristik FIR filtry a funkce okna. FFT spektrální analyzátory jsou také implementovány jako časová posloupnost periodogramů.

Definice

Dnes se používají alespoň dvě různé definice^[2]. Jeden z nich zahrnuje průměrování času,^[3] a jeden ne.^[4] Časové průměrování je také záležitostí jiných článků (Bartlettova metoda a Welchova metoda ). Tento článek není o průměrování času. Definice zájmu zde je, že výkonová spektrální hustota spojité funkce, ${ displaystyle x (t),}$ je Fourierova transformace její funkce autokorelace (viz Věta o vzájemné korelaci ):

{ displaystyle { mathcal {F}} {x (t) ast x (-t) } = X (f) cdot X ^ {*} (f) = doleva | X (f) doprava | ^ {2}.}

Výpočet

Výkonové spektrum (velikost na druhou) dvou sinusových základních funkcí, vypočítané metodou periodogramu.

Dvě výkonová spektra (velikost na druhou) (obdélníková a Hammingova) funkce okna plus hluk pozadí), vypočítaný metodou periodogramu.

Pro dostatečně malé hodnoty parametru $T,$ libovolně přesná aproximace pro $X (F)$ lze v regionu pozorovat ${ displaystyle - { tfrac {1} {2T}}$ funkce:

{ displaystyle X_ {1 / T} (f) { stackrel { text {def}} {=}} součet _ {k = - infty} ^ { infty} X vlevo (fk / T že jo),}

což je přesně určeno vzorky $X (nT)$ které pokrývají nenulovou dobu trvání $X (t)$ (vidět Diskrétní Fourierova transformace ).

A pro dostatečně velké hodnoty parametru $N$ , ${ displaystyle X_ {1 / T} (f)}$ lze hodnotit na libovolně blízké frekvenci součtem formuláře:

{ displaystyle X_ {1 / T} left ({ tfrac {k} {NT}} right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} underbrace {T cdot x (nT )} _ {x [n]} cdot e ^ {- i2 pi { frac {kn} {N}}},}

kde $k$ je celé číslo. Periodicita ${ displaystyle e ^ {- i2 pi { frac {kn} {N}}}}$ umožňuje toto psát velmi jednoduše ve smyslu a Diskrétní Fourierova transformace:

{ displaystyle X_ {1 / T} left ({ tfrac {k} {NT}} right) = underbrace { sum _ {n} x _ {_ {N}} [n] cdot e ^ { -i2 pi { frac {kn} {N}}},} _ {DFT} quad scriptstyle {{ text {(součet přes libovolný}} n { text {-sekvence délky}} N)} ,}

kde ${ displaystyle x _ {_ {N}}}$ je periodický součet: ${ displaystyle x _ {_ {N}} [n] triangleq sum _ {m = - infty} ^ { infty} x [n-mN].}$

Při hodnocení pro všechna celá čísla $k$ , mezi 0 a $N$ -1, pole:

{ displaystyle S left ({ tfrac {k} {NT}} right) = left | sum _ {n} x _ {_ {N}} [n] cdot e ^ {- i2 pi { frac {kn} {N}}} doprava | ^ {2}}

je periodogram.^[4]^[5]^[6]

Aplikace

Periodogram pro Proxima Centauri b je zobrazen dole.^[7]

Pokud se ke zkoumání podrobných charakteristik souboru používá periodogram FIR filtr nebo funkce okna, parametr $N$ je vybráno jako několikanásobek nenulové doby trvání $X [n]$ sekvence, která se nazývá nulové polstrování (vidět § Vzorkování DTFT ).^[A] Když se používá k implementaci a banka filtrů, $N$ je několik dílčích násobků nenulové doby trvání $X [n]$ sekvence (viz § Vzorkování DTFT ).

Jedním z nedostatků periodogramu je, že rozptyl v daném případě frekvence nesnižuje se zvyšujícím se počtem vzorků použitých při výpočtu. Neposkytuje průměrování potřebné k analýze šumových signálů nebo dokonce sinusoid při nízkých poměrech signálu k šumu. Funkce okna a impulzní odezvy filtru jsou nehlučné, ale mnoho dalších signálů vyžaduje sofistikovanější metody spektrální odhad. Dvě z alternativ používají jako součást procesu periodogramy:

The metoda průměrovaných periodogramů,^[8] běžněji známý jako Welchova metoda,^[9]^[10] rozděluje dlouhou sekvenci x [n] na několik kratších a případně překrývajících se posloupností. Vypočítá okenní periodogram každého z nich a vypočítá průměr pole, tj. Pole, kde každý prvek je průměrem odpovídajících prvků všech periodogramů. Pro stacionární procesy, tím se sníží rozptyl šumu každého prvku přibližně o faktor rovnající se převrácené hodnotě počtu periodogramů.
Vyhlazení je průměrná technika frekvence, místo času. Vyhlazený periodogram se někdy označuje jako a spektrální děj.^[11]^[12]

Techniky založené na periodogramu zavádějí malá předpětí, která jsou v některých aplikacích nepřijatelná. Další techniky, které se nespoléhají na periodogramy, jsou uvedeny v dokumentu odhad spektrální hustoty článek.

Viz také

Odpovídající filtr
Filtrovaná zpětná projekce (Radonová transformace)
Welchova metoda
Bartlettova metoda
Diskrétní Fourierova transformace
Spektrální analýza nejmenších čtverců, pro výpočet periodogramů v datech, která nejsou rovnoměrně rozmístěna
Vícenásobná klasifikace (MUSIC), populární parametrický superrozlišení metoda
SAMV

Poznámky

^ $N$ je určen $NFFT$ v aplikacích Matlab a Octave.

Reference

^ Schuster, Arthur (Leden 1898). „K vyšetřování skrytých periodik s aplikací na předpokládané 26denní období meteorologických jevů“ (PDF). Pozemský magnetismus. 3 (1): 13–41. Bibcode:1898 TeMag ... 3 ... 13S. doi:10.1029 / TM003i001p00013. Je vhodné mít slovo pro určitou reprezentaci proměnné veličiny, která odpovídá „spektru“ světelného záření. Navrhuji slovo periodogram, a definovat to konkrétně následujícím způsobem.
^ McSweeney, Laura A. (2004-05-14). Msgstr "Porovnání testů periodogramu". Journal of Statistical Computation and Simulation. online (50 $). 76 (4): 357–369. doi:10.1080/10629360500107618.
^ „Periodogram — Wolfram Language Documentation“.
^ ^A ^b "Odhad výkonové spektrální hustoty periodogramu - periodogram MATLAB".
^ Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Diskrétní zpracování signálu (2. vyd.). Upper Saddle River, N.J .: Prentice Hall. p. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^ Rabiner, Lawrence R .; Gold, Bernard (1975). „6,18“. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálu. Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall. str.415. ISBN 0-13-914101-4.
^ „Věda pro kutily - skrývá se v tomto grafu Proxima c?“. www.eso.org. Citováno 11. září 2017.
^ Engelberg, S. (2008), Digitální zpracování signálu: experimentální přístup, Springer, kap. 7 s. 56
^ Welch, Peter D. (červen 1967). „Použití rychlé Fourierovy transformace pro odhad výkonových spekter: Metoda založená na průměrování času na krátkých, upravených periodogramech“. Transakce IEEE se zvukem a elektroakustikou. AU-15 (2): 70–73. Bibcode:1967ITAE ... 15 ... 70W. doi:10.1109 / TAU.1967.1161901.
^ „Odhad výkonové spektrální hustoty Welch - MATLAB pwelch“.
^ Spektrální spiknutí, od NIST Příručka inženýrských statistik.
^ „Referenční příručka DATAPLOT“ (PDF). NIST.gov. Národní institut pro standardy a technologie (NIST). 11.03.1997. Citováno 2019-06-14. Spektrální graf je v podstatě „vyhlazený“ periodogram, kde je vyhlazování prováděno ve frekvenční oblasti.

Další čtení

Box, George E. P .; Jenkins, Gwilym M. (1976). Analýza časových řad: Prognózy a řízení. San Francisco: Holden-Day.
Scargle, J.D. (15. prosince 1982). „Studie v astronomické analýze časových řad. II - Statistické aspekty spektrální analýzy nerovnoměrně rozmístěných dat“. Astrophysical Journal, část 1. 263: 835–853. Bibcode:1982ApJ ... 263..835S. doi:10.1086/160554.
Vaughan, Simon; Uttley, Philip (2006). „Detekce rentgenových QPO v aktivních galaxiích“. Pokroky ve vesmírném výzkumu. 38 (7): 1405–1408. arXiv:astro-ph / 0506456. Bibcode:2006AdSpR..38.1405V. doi:10.1016 / j.asr.2005.02.064.

[8] $N$ je určen $NFFT$ v aplikacích Matlab a Octave.

[Schuster-1] Schuster, Arthur (Leden 1898). „K vyšetřování skrytých periodik s aplikací na předpokládané 26denní období meteorologických jevů“ (PDF). Pozemský magnetismus. 3 (1): 13–41. Bibcode:1898 TeMag ... 3 ... 13S. doi:10.1029 / TM003i001p00013. Je vhodné mít slovo pro určitou reprezentaci proměnné veličiny, která odpovídá „spektru“ světelného záření. Navrhuji slovo periodogram, a definovat to konkrétně následujícím způsobem.

[Comparison-2] McSweeney, Laura A. (2004-05-14). Msgstr "Porovnání testů periodogramu". Journal of Statistical Computation and Simulation. online (50 $). 76 (4): 357–369. doi:10.1080/10629360500107618.

[Wolfram-3] „Periodogram — Wolfram Language Documentation“.

[Matlab-4] A ^b "Odhad výkonové spektrální hustoty periodogramu - periodogram MATLAB".

[Oppenheim-5] Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Diskrétní zpracování signálu (2. vyd.). Upper Saddle River, N.J .: Prentice Hall. p. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[Rabiner-6] Rabiner, Lawrence R .; Gold, Bernard (1975). „6,18“. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálu. Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall. str.415. ISBN 0-13-914101-4.

[7] „Věda pro kutily - skrývá se v tomto grafu Proxima c?“. www.eso.org. Citováno 11. září 2017.

[Engelberg-9] Engelberg, S. (2008), Digitální zpracování signálu: experimentální přístup, Springer, kap. 7 s. 56

[Welch-10] Welch, Peter D. (červen 1967). „Použití rychlé Fourierovy transformace pro odhad výkonových spekter: Metoda založená na průměrování času na krátkých, upravených periodogramech“. Transakce IEEE se zvukem a elektroakustikou. AU-15 (2): 70–73. Bibcode:1967ITAE ... 15 ... 70W. doi:10.1109 / TAU.1967.1161901.

[Welch2-11] „Odhad výkonové spektrální hustoty Welch - MATLAB pwelch“.

[smoothing-12] Spektrální spiknutí, od NIST Příručka inženýrských statistik.

[dataplot-13] „Referenční příručka DATAPLOT“ (PDF). NIST.gov. Národní institut pro standardy a technologie (NIST). 11.03.1997. Citováno 2019-06-14. Spektrální graf je v podstatě „vyhlazený“ periodogram, kde je vyhlazování prováděno ve frekvenční oblasti.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[A]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]