Ergodický proces - Ergodic process

v ekonometrie a zpracování signálu, a stochastický proces se říká, že je ergodický pokud lze jeho statistické vlastnosti odvodit z jediného, dostatečně dlouhého, náhodného vzorku procesu. Důvodem je, že jakákoli kolekce náhodných vzorků z procesu musí představovat průměrné statistické vlastnosti celého procesu. Jinými slovy, bez ohledu na to, jaké jsou jednotlivé vzorky, musí pohled na sběr vzorků z ptačí perspektivy představovat celý proces. Naopak, proces, který není ergodický, je proces, který se nepravidelně mění nepravidelnou rychlostí.^[1]

Specifické definice

Lze diskutovat o ergodicitě různých statistik stochastického procesu. Například a širokoúhlý stacionární proces ${displaystyle X (t)}$ má konstantní průměr

{displaystyle mu _ {X} = E [X (t)]}

,

a autovariance

{displaystyle r_ {X} (au) = E [(X (t) -mu _ {X}) (X (t + au) -mu _ {X})]}

,

to záleží jen na zpoždění ${displaystyle au}$ a ne včas ${displaystyle t}$ . Vlastnosti ${displaystyle mu _ {X}}$ a ${displaystyle r_ {X} (au)}$ jsou průměry souboru, nikoli průměry času.

Proces ${displaystyle X (t)}$ se říká, že je střední-ergodický^[2] nebo střední kvadratická ergodika v první chvíli^[3]pokud je odhad časového průměru

{displaystyle {hat {mu}} _ {X} = {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} X (t), dt}

konverguje na druhou mocninu na průměr souboru ${displaystyle mu _ {X}}$ tak jako ${displaystyle Tightarrow infty}$ .

Podobně se říká, že proces je autovariance - ergodická nebo d moment^[3] pokud je odhad časového průměru

{displaystyle {hat {r}} _ {X} (au) = {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} [X (t + au) -mu _ {X}] [X ( t) -mu _ {X}], dt}

konverguje na druhou střední hodnotu k průměru souboru ${displaystyle r_ {X} (au)}$ , tak jako ${displaystyle Tightarrow infty}$ Někdy se nazývá proces, který je v průměru ergodický a autovarianční ergodický v širokém smyslu.

Diskrétní náhodné procesy

Pojem ergodicity platí také pro náhodné procesy v diskrétním čase ${displaystyle X [n]}$ pro celé číslo ${displaystyle n}$ .

Diskrétní náhodný proces ${displaystyle X [n]}$ je ergodická, pokud

{displaystyle {hat {mu}} _ {X} = {frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} X [n]}

konverguje na druhou mocninu na průměr souboru ${displaystyle E [X]}$ ,tak jako ${displaystyle Nightarrow infty}$ .

Příklady

Ergodicita znamená, že průměr souboru se rovná časovému průměru. Níže jsou uvedeny příklady pro ilustraci tohoto principu.

Call centrum

Každý operátor v a call centrum tráví čas střídavě mluvením a poslechem na telefonu a také přestávkami mezi hovory. Každá pauza a každé volání mají různou délku, stejně jako trvání každé „série“ mluvení a poslechu, a skutečně tak je i rychlost řeči v daném okamžiku, kterou lze každý modelovat jako náhodný proces.

Vzít N operátoři call centra (N by mělo být velmi velké celé číslo) a vykreslovat počet slov vyslovených za minutu pro každého operátora po dlouhou dobu (několik směn). Pro každého operátora budete mít řadu bodů, které lze spojit čarami a vytvořit tak „křivku“.
Vypočítejte průměrnou hodnotu těchto bodů ve tvaru vlny; to vám dává časový průměr.
Existují N křivky a N operátory. Tyto N průběhy jsou známy jako soubor.
Nyní si vezměte konkrétní okamžik času ve všech těchto křivkách a najděte průměrnou hodnotu počtu slov za minutu. To vám dává průměr souboru na ten okamžik.
Pokud se průměr souboru vždy rovná časovému průměru, pak je systém ergodický.

Elektronika

Každý odpor má přidružené tepelný hluk to záleží na teplotě. Vzít N rezistory (N by měl být velmi velký) a vykreslovat napětí na těchto rezistorech po dlouhou dobu. Pro každý rezistor budete mít křivku. Vypočítejte průměrnou hodnotu tohoto tvaru vlny; tím získáte časový průměr. Existují N průběhy, jaké existují N rezistory. Tyto N zápletky jsou známé jako soubor. Nyní si vezměte konkrétní okamžik ve všech těchto grafech a najděte průměrnou hodnotu napětí. To vám dává průměr souboru pro každou zápletku. Pokud jsou průměr souboru a průměr času stejné, pak je to ergodické.

Příklady neergodických náhodných procesů

An nestranná náhodná chůze je neergodická. Jeho očekávaná hodnota je vždy nulová, zatímco její časový průměr je náhodná proměnná s divergentní odchylkou.

Předpokládejme, že máme dvě mince: jedna je spravedlivá a druhá má dvě hlavy. Vybíráme (náhodně) jednu z mincí za prvé, a pak proveďte sled nezávislých losování naší vybrané mince. Nechat X[n] označují výsledek nth los, s 1 pro hlavy a 0 pro ocasy. Pak je průměr souboru¹⁄₂ (¹⁄₂ + 1) = ³⁄₄; přesto je dlouhodobý průměr¹⁄₂ pro spravedlivou minci a 1 pro dvouhlavou minci. Dlouhodobý časový průměr tedy je buď 1/2 nebo 1. Tudíž tento náhodný proces není v průměru ergodický.

Viz také

Ergodická hypotéza
Ergodicita
Ergodická teorie, obor matematiky zabývající se obecnější formulací ergodicity
Loschmidtův paradox
Poincarého věta o rekurenci

Poznámky

^ Původně kvůli L. Boltzmannovi. Viz část 2 Vorlesungen über Gastheorie. Lipsko: J. A. Barth. 1898. OCLC 01712811. („Ergoden“ na str. 89 v dotisku z roku 1923) Byl použit k prokázání rozdělení energie v kinetické teorii plynů
^ Papoulis, s. 428
^ ^A ^b Porat, s. 14

Reference

Porat, B. (1994). Digitální zpracování náhodných signálů: Teorie a metody. Prentice Hall. str. 14. ISBN 0-13-063751-3.
Papoulis, Athanasios (1991). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy. New York: McGraw-Hill. 427–442. ISBN 0-07-048477-5.

[1] Původně kvůli L. Boltzmannovi. Viz část 2 Vorlesungen über Gastheorie. Lipsko: J. A. Barth. 1898. OCLC 01712811. („Ergoden“ na str. 89 v dotisku z roku 1923) Byl použit k prokázání rozdělení energie v kinetické teorii plynů

[2] Papoulis, s. 428

[porat-3] A ^b Porat, s. 14

[1]

[2]

[3]