Hermitovská funkce - Hermitian function

v matematická analýza, a Hermitovská funkce je komplexní funkce s majetkem, který je komplexní konjugát se rovná původní funkci se změnou proměnné v podepsat:

{ displaystyle f ^ {*} (x) = f (-x)}

(Kde ${ displaystyle ^ {*}}$ označuje komplexní konjugát) pro všechny ${ displaystyle x}$ v doméně ${ displaystyle f}$ . Ve fyzice se tato vlastnost označuje jako Symetrie PT.

Tato definice se vztahuje i na funkce dvou nebo více proměnných, např. V případě, že ${ displaystyle f}$ je funkce dvou proměnných, je Hermitian, pokud

{ displaystyle f ^ {*} (x_ {1}, x_ {2}) = f (-x_ {1}, - x_ {2})}

pro všechny páry ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ v doméně ${ displaystyle f}$ .

Z této definice okamžitě vyplývá, že: ${ displaystyle f}$ je hermitovská funkce kdyby a jen kdyby

skutečná část ${ displaystyle f}$ je sudá funkce,
imaginární část ${ displaystyle f}$ je lichá funkce.

Motivace

Hermitovské funkce se často objevují v matematice, fyzice a zpracování signálu. Například následující dva příkazy vyplývají ze základních vlastností Fourierovy transformace:^{[Citace je zapotřebí ]}

Funkce ${ displaystyle f}$ má skutečnou hodnotu právě tehdy, když Fourierova transformace z ${ displaystyle f}$ je Hermitian.
Funkce ${ displaystyle f}$ je Hermitian právě tehdy, když Fourierova transformace z ${ displaystyle f}$ má skutečnou hodnotu.

Protože Fourierova transformace reálného signálu je zaručeně hermitovská, lze ji komprimovat pomocí hermitovské sudé / liché symetrie. To například umožňuje diskrétní Fourierova transformace signálu (který je obecně složitý), který má být uložen ve stejném prostoru jako původní skutečný signál.

Li F je tedy poustevník ${ displaystyle f star g = f * g}$ .

Kde ${ displaystyle star}$ je vzájemná korelace, a ${ displaystyle *}$ je konvoluce.

Pokud obojí F a G jsou tedy poustevníci ${ displaystyle f star g = g star f}$ .

Viz také

Sudé a liché funkce

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.