Autovariance - Autocovariance

v teorie pravděpodobnosti a statistika, vzhledem k tomu, stochastický proces, autovariance je funkce, která dává kovariance procesu v sobě v párech časových bodů. Autocovariance úzce souvisí s autokorelace daného procesu.

Automatická kovariance stochastických procesů

Definice

S obvyklou notací ${ displaystyle operatorname {E}}$ pro očekávání operátor, pokud je stochastický proces ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ má znamenat funkce ${ displaystyle mu _ {t} = operatorname {E} [X_ {t}]}$ , pak je autovariance dána^[1]^{:p. 162}

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {cov} left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} right] = operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})] = operatorname { E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - mu _ {t_ {1}} mu _ {t_ {2}}}

(Rovnice 2)

kde ${ displaystyle t_ {1}}$ a ${ displaystyle t_ {2}}$ jsou dva okamžiky v čase.

Definice pro slabě stacionární proces

Li ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ je slabě stacionární (WSS) proces, pak platí následující:^[1]^{:p. 163}

{ displaystyle mu _ {t_ {1}} = mu _ {t_ {2}} triangleq mu}

pro všechny

{ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

a

{ displaystyle operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {2}] < infty}

pro všechny

{ displaystyle t}

a

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) triangleq operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = operatorname {K} _ {XX} ( tau),}

kde ${ displaystyle tau = t_ {2} -t_ {1}}$ je doba zpoždění nebo doba, o kterou byl signál posunut.

Funkce autocovariance procesu WSS je tedy dána:^[2]^{:p. 517}

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = operatorname {E} [(X_ {t} - mu _ {t}) (X_ {t- tau} - mu _ {t - tau})] = operatorname {E} [X_ {t} X_ {t- tau}] - mu _ {t} mu _ {t- tau}}

(Rovnice 3)

což odpovídá

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = operatorname {E} [(X_ {t + tau} - mu _ {t + tau}) (X_ {t} - mu _ { t})] = operatorname {E} [X_ {t + tau} X_ {t}] - mu ^ {2}}

.

Normalizace

V některých oborech (např. Statistika a statistika) je běžnou praxí analýza časových řad ) k normalizaci funkce autocovariance k získání časově závislé Pearsonův korelační koeficient. V jiných oborech (např. Strojírenství) je však normalizace obvykle upuštěna a termíny „autokorelace“ a „autovariance“ jsou používány zaměnitelně.

Definice normalizované autokorelace stochastického procesu je

{ displaystyle rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = { frac { operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} { sigma _ {t_ {1}} sigma _ {t_ {2}}}} = { frac { operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) (X_ { t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})]}} { sigma _ {t_ {1}} sigma _ {t_ {2}}}}}

.

Pokud je funkce ${ displaystyle rho _ {XX}}$ je dobře definovaný, jeho hodnota musí ležet v rozsahu ${ displaystyle [-1,1]}$ , přičemž 1 označuje dokonalou korelaci a −1 označuje dokonalou antikorelace.

Pro proces WSS je definice

{ displaystyle rho _ {XX} ( tau) = { frac { operatorname {K} _ {XX} ( tau)} { sigma ^ {2}}} = { frac { operatorname {E } [(X_ {t} - mu) (X_ {t + tau} - mu)]} { sigma ^ {2}}}}

.

kde

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (0) = sigma ^ {2}}

.

Vlastnosti

Vlastnost symetrie

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = { overline { operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}} }

^[3]^:str.169

respektive pro proces WSS:

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = { overline { operatorname {K} _ {XX} (- tau)}}}

^[3]^{:str. 173}

Lineární filtrování

Autokonverze lineárně filtrovaného procesu ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$

{ displaystyle Y_ {t} = součet _ {k = - infty} ^ { infty} a_ {k} X_ {t + k} ,}

je

{ displaystyle K_ {YY} ( tau) = součet _ {k, l = - infty} ^ { infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} ( tau + kl). , }

Výpočet turbulentní difuzivity

K výpočtu lze použít autovarianci turbulentní difuzivita.^[4] Turbulence v toku mohou způsobit kolísání rychlosti v prostoru a čase. Díky statistikám těchto fluktuací jsme tedy schopni identifikovat turbulence^{[Citace je zapotřebí ]}.

Reynoldsův rozklad se používá k definování kolísání rychlosti ${ displaystyle u '(x, t)}$ (Předpokládejme, že nyní pracujeme s 1D problémem a ${ displaystyle U (x, t)}$ je rychlost spolu ${ displaystyle x}$ směr):

{ displaystyle U (x, t) = langle U (x, t) rangle + u '(x, t),}

kde ${ displaystyle U (x, t)}$ je skutečná rychlost a ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ je očekávaná hodnota rychlosti. Pokud zvolíme správné ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ , budou zahrnuty všechny stochastické složky turbulentní rychlosti ${ displaystyle u '(x, t)}$ . Určit ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ , je nutná sada měření rychlosti, která jsou sestavena z bodů v prostoru, momentů v čase nebo opakovaných experimentů.

Pokud předpokládáme turbulentní tok ${ displaystyle langle u'c ' rangle}$ ( ${ displaystyle c '= c- langle c rangle}$ , a C je termín koncentrace) může být způsoben náhodnou procházkou, kterou můžeme použít Fickovy zákony šíření vyjádřit pojem turbulentního toku:

{ displaystyle J _ {{ text {turbulence}} _ {x}} = langle u'c ' rangle cca D_ {T_ {x}} { frac { částečné langle c rangle} { částečné X}}.}

Rychlost autovariance je definována jako

{ displaystyle K_ {XX} equiv langle u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + tau) rangle}

nebo

{ displaystyle K_ {XX} equiv langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) rangle,}

kde ${ displaystyle tau}$ je časová prodleva a ${ displaystyle r}$ je zpožděná vzdálenost.

Turbulentní difuzivita ${ displaystyle D_ {T_ {x}}}$ lze vypočítat pomocí následujících 3 metod:

Pokud máme údaje o rychlosti podél a Lagrangeova trajektorie:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} = int _ { tau} ^ { infty} u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + tau) , d tau.}$
Pokud máme rychlostní data na jednom pevném (Eulerian ) umístění^{[Citace je zapotřebí ]}:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} přibližně [0,3 pm 0,1] vlevo [{ frac { langle u'u ' rangle + langle u rangle ^ {2}} { langle u'u ' rangle}} right] int _ { tau} ^ { infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + tau) , d tau.}$
Pokud máme informace o rychlosti na dvou pevných (euleriánských) místech^{[Citace je zapotřebí ]}:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} přibližně [0,4 pm 0,1] vlevo [{ frac {1} { langle u'u ' rangle}} vpravo] int _ {r} ^ { infty} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) , dr,}$
kde ${ displaystyle r}$ je vzdálenost oddělená těmito dvěma pevnými místy.

Automatická kovariance náhodných vektorů

Viz také

Autoregresní proces
Korelace
Křížová kovariance
Křížová korelace
Odhad kovariance šumu (jako příklad aplikace)

Reference

^ ^A ^b Hsu, Hwei (1997). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a náhodné procesy. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
^ Lapidoth, Amos (2009). Nadace v digitální komunikaci. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ ^A ^b Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Taylor, G. I. (01.01.1922). „Difúze kontinuálními pohyby“ (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. s2-20 (1): 196–212. doi:10.1112 / plms / s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

Hoel, P. G. (1984). Matematická statistika (Páté vydání). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
Poznámky k přednášce o autovarianci od WHOI

[HweiHsu-1] A ^b Hsu, Hwei (1997). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a náhodné procesy. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.

[Lapidoth-2] Lapidoth, Amos (2009). Nadace v digitální komunikaci. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.

[KunIlPark-3] A ^b Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[4] Taylor, G. I. (01.01.1922). „Difúze kontinuálními pohyby“ (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. s2-20 (1): 196–212. doi:10.1112 / plms / s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

[1]

[2]

[3]

[4]

Korelace a kovariance
Část série na Statistika

Korelace a kovariance náhodných vektorů Autokorelační matice Matice vzájemné korelace Auto-kovarianční matice Křížová kovarianční matice
Korelace a kovariance stochastických procesů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce
Korelace a kovariance deterministických signálů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce