v teorie pravděpodobnosti a statistika , a složitý náhodný vektor je obvykle a n-tice z komplex -hodnota náhodné proměnné , a obecně jde o náhodnou proměnnou, která bere hodnoty v a vektorový prostor přes pole komplexních čísel. Li Z 1 , … , Z n { displaystyle Z_ {1}, ldots, Z_ {n}} jsou komplexní náhodné proměnné, pak n -tuple ( Z 1 , … , Z n ) { displaystyle left (Z_ {1}, ldots, Z_ {n} right)} je složitý náhodný vektor. Složité náhodné proměnné lze vždy považovat za dvojice skutečných náhodných vektorů: jejich skutečné a imaginární části.
Některé koncepty skutečných náhodných vektorů mají přímou generalizaci na složité náhodné vektory. Například definice znamenat komplexního náhodného vektoru. Jiné koncepty jsou jedinečné pro složité náhodné vektory.
Aplikace komplexních náhodných vektorů se nacházejí v zpracování digitálních signálů .
Definice Složitý náhodný vektor Z = ( Z 1 , … , Z n ) T { displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ldots, Z_ {n}) ^ {T}} na pravděpodobnostní prostor ( Ω , F , P ) { displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} je funkce Z : Ω → C n { displaystyle mathbf {Z} dvojtečka Omega rightarrow mathbb {C} ^ {n}} takový, že vektor ( ℜ ( Z 1 ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) , ℑ ( Z n ) ) T { displaystyle ( Re {(Z_ {1})}, Im {(Z_ {1})}, ldots, Re {(Z_ {n})}, Im {(Z_ {n})} ) ^ {T}} je skutečný skutečný náhodný vektor na ( Ω , F , P ) { displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} kde ℜ ( z ) { displaystyle Re {(z)}} označuje skutečnou část z { displaystyle z} a ℑ ( z ) { displaystyle Im {(z)}} označuje imaginární část z { displaystyle z} .[1] :str. 292
Funkce kumulativní distribuce Zobecnění funkce kumulativní distribuce z reálných na složité náhodné proměnné není zřejmé, protože výrazy tvaru P ( Z ≤ 1 + 3 i ) { displaystyle P (Z leq 1 + 3i)} nedává smysl. Nicméně výrazy formuláře P ( ℜ ( Z ) ≤ 1 , ℑ ( Z ) ≤ 3 ) { displaystyle P ( Re {(Z)} leq 1, Im {(Z)} leq 3)} dávat smysl. Funkce kumulativní distribuce F Z : C n ↦ [ 0 , 1 ] { displaystyle F _ { mathbf {Z}}: mathbb {C} ^ {n} mapsto [0,1]} náhodného vektoru Z = ( Z 1 , . . . , Z n ) T { displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {n}) ^ {T}} je definován jako
F Z ( z ) = P ( ℜ ( Z 1 ) ≤ ℜ ( z 1 ) , ℑ ( Z 1 ) ≤ ℑ ( z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) ≤ ℜ ( z n ) , ℑ ( Z n ) ≤ ℑ ( z n ) ) { displaystyle F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z}) = operatorname {P} ( Re {(Z_ {1})} leq Re {(z_ {1})}, Im {(Z_ {1})} leq Im {(z_ {1})}, ldots, Re {(Z_ {n})} leq Re {(z_ {n})}, Im { (Z_ {n})} leq Im {(z_ {n})})} (Rovnice 1 )
kde z = ( z 1 , . . . , z n ) T { displaystyle mathbf {z} = (z_ {1}, ..., z_ {n}) ^ {T}} .
Očekávání Stejně jako ve skutečném případě očekávání (také zvaný očekávaná hodnota ) komplexního náhodného vektoru se bere po komponentách.[1] :str. 293
E [ Z ] = ( E [ Z 1 ] , … , E [ Z n ] ) T { displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z}] = ( operatorname {E} [Z_ {1}], ldots, operatorname {E} [Z_ {n}]) ^ {T}} (Rovnice 2 )
Kovarianční matice a pseudo-kovarianční matice Definice The kovarianční matice (také zvaný druhý centrální moment ) K. Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} obsahuje kovarianty mezi všemi páry komponent. Kovarianční matice an n × 1 { displaystyle n krát 1} náhodný vektor je n × n { displaystyle n krát n} matice jehož ( i , j ) { displaystyle (i, j)} th prvek je kovariance mezi i th a j th náhodné proměnné.[2] :372 Na rozdíl od skutečných náhodných proměnných kovariance mezi dvěma náhodnými proměnnými zahrnuje komplexní konjugát jednoho ze dvou. Kovarianční matice je tedy a Hermitova matice .[1] :str. 293
K. Z Z = cov [ Z , Z ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Z − E [ Z ] ) H ] = E [ Z Z H ] − E [ Z ] E [ Z H ] { displaystyle { begin {aligned} & operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {Z}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {{ mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {H} ] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H }] [12 bodů] end {zarovnáno}}}
(Rovnice 3 )
K. Z Z = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ¯ ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ¯ ] ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ { n}])}}] konec {bmatrix}}} The pseudo-kovarianční matice (nazývaná také relační matice) je definována následovně. Na rozdíl od kovarianční matice definované výše Hermitova transpozice bude nahrazen transpozice v definici.
J Z Z = cov [ Z , Z ¯ ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Z − E [ Z ] ) T ] = E [ Z Z T ] − E [ Z ] E [ Z T ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {Z}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {{ mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {T} ]}
(Rovnice 4 )
J Z Z = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Z n − E [ Z n ] ) ] ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {2 } - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {1} - operatorname {E } [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n} ])] end {bmatrix}}} Vlastnosti Kovarianční matice je a poustevnická matice , tj.[1] :str. 293
K. Z Z H = K. Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} ^ {H} = operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} .Pseudo-kovarianční matice je a symetrická matice , tj.
J Z Z T = J Z Z { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} ^ {T} = operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} .Kovarianční matice je a pozitivní semidefinitní matice , tj.
A H K. Z Z A ≥ 0 pro všechny A ∈ C n { displaystyle mathbf {a} ^ {H} operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} mathbf {a} geq 0 quad { text {pro všechny}} mathbf {a} in mathbb {C} ^ {n}} .Kovarianční matice reálných a imaginárních částí Rozložením náhodného vektoru Z { displaystyle mathbf {Z}} do jeho skutečné části X = ℜ ( Z ) { displaystyle mathbf {X} = Re {( mathbf {Z})}} a imaginární část Y = ℑ ( Z ) { displaystyle mathbf {Y} = Im {( mathbf {Z})}} (tj. Z = X + i Y { displaystyle mathbf {Z} = mathbf {X} + i mathbf {Y}} ), matice K. Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} a J Z Z { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} může souviset s kovariančními maticemi X { displaystyle mathbf {X}} a Y { displaystyle mathbf {Y}} prostřednictvím následujících výrazů:
K. X X = E [ ( X − E [ X ] ) ( X − E [ X ] ) T ] = 1 2 Re ( K. Z Z + J Z Z ) K. X Y = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) T ] = 1 2 Im ( − K. Z Z + J Z Z ) K. Y X = E [ ( Y − E [ Y ] ) ( X − E [ X ] ) T ] = 1 2 Im ( K. Z Z + J Z Z ) K. Y Y = E [ ( Y − E [ Y ] ) ( Y − E [ Y ] ) T ] = 1 2 Re ( K. Z Z − J Z Z ) { displaystyle { begin {aligned} & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} (- operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z }} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} = operatorname {E} [ ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf { Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} = op eratorname {E} [( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm { T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} - operatorname {J} _ { mathbf { Z} mathbf {Z}}) end {zarovnáno}}} a naopak
K. Z Z = K. X X + K. Y Y + i ( K. Y X − K. X Y ) J Z Z = K. X X − K. Y Y + i ( K. Y X + K. X Y ) { displaystyle { begin {aligned} & operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} + operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} + i ( operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} - operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}) & operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} - operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} + i ( operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} + operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}) end {zarovnáno}}} Křížová kovarianční matice a pseudokřížová kovarianční matice Definice The křížově kovarianční matice mezi dvěma komplexními náhodnými vektory Z , Ž { displaystyle mathbf {Z}, mathbf {W}} je definován jako:
K. Z Ž = cov [ Z , Ž ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Ž − E [ Ž ] ) H ] = E [ Z Ž H ] − E [ Z ] E [ Ž H ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {W}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {H}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {H}]} (Rovnice 5 )
K. Z Ž = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ¯ ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ¯ ] ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ { n}])}}] konec {bmatrix}}} A pseudo-křížově kovarianční matice je definován jako:
J Z Ž = cov [ Z , Ž ¯ ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Ž − E [ Ž ] ) T ] = E [ Z Ž T ] − E [ Z ] E [ Ž T ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {W}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {{ mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {T} ]} (Rovnice 6 )
J Z Ž = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž 1 − E [ Ž 1 ] ) ] E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž 2 − E [ Ž 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z n − E [ Z n ] ) ( Ž n − E [ Ž n ] ) ] ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {2 } - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {1} - operatorname {E } [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n} ])] end {bmatrix}}} Nesoulad Dva složité náhodné vektory Z { displaystyle mathbf {Z}} a Ž { displaystyle mathbf {W}} jsou nazývány nesouvisí -li
K. Z Ž = J Z Ž = 0 { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = 0} .Nezávislost Dva složité náhodné vektory Z = ( Z 1 , . . . , Z m ) T { displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {m}) ^ {T}} a Ž = ( Ž 1 , . . . , Ž n ) T { displaystyle mathbf {W} = (W_ {1}, ..., W_ {n}) ^ {T}} jsou nazývány nezávislý -li
F Z , Ž ( z , w ) = F Z ( z ) ⋅ F Ž ( w ) pro všechny z , w { displaystyle F _ { mathbf {Z, W}} ( mathbf {z, w}) = F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z}) cdot F _ { mathbf {W}} ( mathbf {w}) quad { text {pro všechny}} mathbf {z}, mathbf {w}} (Rovnice 7 )
kde F Z ( z ) { displaystyle F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z})} a F Ž ( w ) { displaystyle F _ { mathbf {W}} ( mathbf {w})} označuje kumulativní distribuční funkce Z { displaystyle mathbf {Z}} a Ž { displaystyle mathbf {W}} jak je definováno v Rovnice 1 a F Z , Ž ( z , w ) { displaystyle F _ { mathbf {Z, W}} ( mathbf {z, w})} označuje jejich společnou kumulativní distribuční funkci. Nezávislost Z { displaystyle mathbf {Z}} a Ž { displaystyle mathbf {W}} je často označován Z ⊥ ⊥ Ž { displaystyle mathbf {Z} perp ! ! ! perp mathbf {W}} . Písemně po jednotlivých částech, Z { displaystyle mathbf {Z}} a Ž { displaystyle mathbf {W}} se nazývají nezávislé, pokud
F Z 1 , … , Z m , Ž 1 , … , Ž n ( z 1 , … , z m , w 1 , … , w n ) = F Z 1 , … , Z m ( z 1 , … , z m ) ⋅ F Ž 1 , … , Ž n ( w 1 , … , w n ) pro všechny z 1 , … , z m , w 1 , … , w n { displaystyle F_ {Z_ {1}, ldots, Z_ {m}, W_ {1}, ldots, W_ {n}} (z_ {1}, ldots, z_ {m}, w_ {1}, ldots, w_ {n}) = F_ {Z_ {1}, ldots, Z_ {m}} (z_ {1}, ldots, z_ {m}) cdot F_ {W_ {1}, ldots, W_ {n}} (w_ {1}, ldots, w_ {n}) quad { text {pro všechny}} z_ {1}, ldots, z_ {m}, w_ {1}, ldots, w_ {n}} .Kruhová symetrie Definice Složitý náhodný vektor Z { displaystyle mathbf {Z}} se nazývá kruhově symetrický, pokud pro každý deterministický φ ∈ [ − π , π ) { displaystyle varphi v [- pi, pi)} distribuce E i φ Z { displaystyle e ^ { mathrm {i} varphi} mathbf {Z}} se rovná distribuci Z { displaystyle mathbf {Z}} .[3] :500–501
Vlastnosti Očekávání kruhově symetrického komplexu náhodných vektorů je buď nula, nebo není definováno.[3] :str. 500 Pseudo-kovarianční matice kruhově symetrických komplexních náhodných vektorů je nulová.[3] :str. 584 Správné složité náhodné vektory Definice Složitý náhodný vektor Z { displaystyle mathbf {Z}} je nazýván správně pokud jsou splněny všechny následující tři podmínky:[1] :str. 293
E [ Z ] = 0 { displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z}] = 0} (nulový průměr) var [ Z 1 ] < ∞ , … , var [ Z n ] < ∞ { displaystyle operatorname {var} [Z_ {1}] < infty, ldots, operatorname {var} [Z_ {n}] < infty} (všechny komponenty mají konečnou odchylku) E [ Z Z T ] = 0 { displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] = 0} Dva složité náhodné vektory Z , Ž { displaystyle mathbf {Z}, mathbf {W}} jsou nazývány společně správné je složený náhodný vektor ( Z 1 , Z 2 , … , Z m , Ž 1 , Ž 2 , … , Ž n ) T { displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, ldots, Z_ {m}, W_ {1}, W_ {2}, ldots, W_ {n}) ^ {T}} je správné.
Vlastnosti Složitý náhodný vektor Z { displaystyle mathbf {Z}} je správné, pokud a pouze pokud, pro všechny (deterministické) vektory C ∈ C n { displaystyle mathbf {c} in mathbb {C} ^ {n}} komplexní náhodná proměnná C T Z { displaystyle mathbf {c} ^ {T} mathbf {Z}} je správné.[1] :str. 293 Lineární transformace správných komplexních náhodných vektorů jsou správné, tj. Pokud Z { displaystyle mathbf {Z}} je správný náhodný vektor s n { displaystyle n} komponenty a A { displaystyle A} je deterministický m × n { displaystyle m krát n} matice, pak složitý náhodný vektor A Z { displaystyle A mathbf {Z}} je také správné.[1] :str. 295 Každý kruhově symetrický komplexní náhodný vektor s konečnou odchylkou všech jeho složek je správný.[1] :str. 295 Existují správné složité náhodné vektory, které nejsou kruhově symetrické.[1] :str. 504 Skutečný náhodný vektor je vhodný právě tehdy, je-li konstantní. Dva společně správné komplexní náhodné vektory jsou nekorelované právě tehdy, když je jejich kovarianční matice nulová, tj. Pokud K. Z Ž = 0 { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = 0} . Cauchy-Schwarzova nerovnost The Cauchy-Schwarzova nerovnost pro komplexní náhodné vektory je
| E [ Z H Ž ] | 2 ≤ E [ Z H Z ] E [ | Ž H Ž | ] { displaystyle left | operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H} mathbf {W}] right | ^ {2} leq operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H } mathbf {Z}] operatorname {E} [| mathbf {W} ^ {H} mathbf {W} |]} .Charakteristická funkce The charakteristická funkce komplexního náhodného vektoru Z { displaystyle mathbf {Z}} s n { displaystyle n} komponenty je funkce C n → C { displaystyle mathbb {C} ^ {n} do mathbb {C}} definován:[1] :str. 295
φ Z ( ω ) = E [ E i ℜ ( ω H Z ) ] = E [ E i ( ℜ ( ω 1 ) ℜ ( Z 1 ) + ℑ ( ω 1 ) ℑ ( Z 1 ) + ⋯ + ℜ ( ω n ) ℜ ( Z n ) + ℑ ( ω n ) ℑ ( Z n ) ) ] { displaystyle varphi _ { mathbf {Z}} ( mathbf { omega}) = operatorname {E} left [e ^ {i Re {( mathbf { omega} ^ {H} mathbf {Z})}} right] = operatorname {E} left [e ^ {i ( Re {( omega _ {1})} Re {(Z_ {1})} + Im {( omega _ {1})} Im {(Z_ {1})} + cdots + Re {( omega _ {n})} Re {(Z_ {n})} + Im {( omega _ {n})} Im {(Z_ {n})})} vpravo]} Viz také Reference ^ A b C d E F G h i j Lapidoth, Amos (2009). Nadace v digitální komunikaci . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5 . ^ Gubner, John A. (2006). Pravděpodobnost a náhodné procesy pro elektrotechnické a počítačové inženýry . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1 . ^ A b C Tse, David (2005). Základy bezdrátové komunikace . Cambridge University Press.