Prstencový topos - Ringed topos

V matematice, a zvonil topos je zobecnění a prstencový prostor; to znamená, že pojem je získán nahrazením „topologický prostor „podle“topos Pojem prstencovitého toposu má aplikace pro teorii deformace v algebraická geometrie (srov. kotangensový komplex ) a matematické základy kvantová mechanika. Ve druhém předmětu, a Bohr topos je prstencový topos, který hraje roli kvanta fázový prostor.^[1]^[2]

Definice topos-verze „místně prstencovaného prostoru“ není přímá, protože význam „místní“ v tomto kontextu není zřejmý. Lze zavést pojem a místně vyzváněcí topos zavedením jakési geometrické podmínky místní prsteny (viz SGA4, Exposé IV, cvičení 13.9), což je ekvivalentní s tvrzením, že všechny stonky objektu strukturovaného kruhu jsou lokálními kruhy, pokud existují dost bodů.

Morfismy

Morfismus ${ displaystyle (T, { mathcal {O}} _ {T}) to (T ', { mathcal {O}} _ {T'})}$ prstencového topoi je dvojice sestávající z morfismu topos ${ displaystyle f: T až T '}$ a kruhový homomorfismus ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {T '} až f _ {*} { mathcal {O}} _ {T}}$ .

Pokud jeden nahradí "topos" znakem To-topos, pak člověk dostane představu o prstencové to-topos.

Příklady

Prstencové toposy topologického prostoru

Jeden z klíčových motivačních příkladů prstencového toposu pochází z topologie. Zvažte web ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ topologického prostoru ${ displaystyle X}$ a svazek spojitých funkcí

${ displaystyle C_ {X} ^ {0}: { text {Open}} (X) ^ {op} to { text {CRing}}}$

odeslání objektu ${ displaystyle U in { text {Open}} (X)}$ , otevřená podmnožina ${ displaystyle X}$ , do kruhu spojitých funkcí ${ displaystyle C_ {X} ^ {0} (U)}$ na ${ displaystyle U}$ . Pak dvojice ${ displaystyle ({ text {Sh}} ({ text {Open}} (X)), C_ {X} ^ {0})}$ tvoří prstencový topos. Toto lze zobecnit na jakýkoli kruhový prostor ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ kde

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}: { text {Open}} (X) ^ {op} to { text {Prsteny}}}$

takže dvojice ${ displaystyle ({ text {Sh}} ({ text {Open}} (X)), { mathcal {O}} _ {X})}$ je prstencový topos.

Vyzváněcí topos schématu

Dalším klíčovým příkladem jsou vyzváněcí toposy spojené se schématem ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ , což je opět prstencový topos přidružený k podkladovému místně prstencovanému prostoru.

Vztah s funktorem bodů

Připomeňme, že funktor bodů pohled na teorii schémat definuje schéma ${ displaystyle X}$ jako funktor ${ displaystyle X: { text {CAlg}} to { text {sady}}}$ který splňuje podmínku svazku a podmínku lepení^[3]. To znamená pro jakýkoli otevřený kryt ${ displaystyle { text {Spec}} (R_ {f_ {i}}) na { text {Spec}} (R)}$ afinních schémat existuje následující přesná sekvence

${ displaystyle X (R) to prod X (R_ {f_ {i}}) rightrightarrows prod X (R_ {f_ {i} f_ {j}})}$

Musí také existovat otevřené afinní subfunktory

${ displaystyle U_ {i} = { text {Spec}} (A_ {i}) = { text {Hom}} _ { text {CAlg}} (A_ {i}, -)}$

krytina ${ displaystyle X}$ , což znamená pro všechny ${ displaystyle xi v X (R)}$ , tady je ${ displaystyle xi | _ {U_ {i}} v U_ {i} (R)}$ . Pak je přidružen topos ${ displaystyle X}$ jehož podkladová stránka je stránkou otevřených subfunktorů. Tato stránka je izomorfní s lokalitou přidruženou k podkladovému topologickému prostoru prstencovaného prostoru odpovídajícímu schématu. Teorie topos pak dává způsob, jak konstruovat teorii schémat, aniž by bylo nutné používat místně prstencové prostory pomocí přidružených místně prstencovaných toposů.

Prstencové toposy sad

Kategorie sad je ekvivalentní kategorii snopů v kategorii s jedním objektem a pouze morfismem identity ${ displaystyle { text {Sh}} (*) cong { text {sady}}}$ . Poté daný prsten ${ displaystyle A}$ , je zde přidružený svazek ${ displaystyle { text {Hom}} _ {Sety} (-, A): { text {Sady}} ^ {op} to { text {Prsteny}}}$ . To lze použít k nalezení příkladů morfismů prstencovitých topoi.