Crystal (matematika) - Crystal (mathematics)

V matematice krystaly jsou Kartézské řezy jisté vláknité kategorie. Byly představeny Alexander Grothendieck (1966a ), který je pojmenoval krystaly, protože jsou v určitém smyslu „tuhé“ a „rostou“. Zejména kvazikoherentní krystaly nad krystalické místo jsou analogické kvazikoherentním moduly přes systém.

An isokrystal je krystal až po isogeny. Oni jsou p-adic analogy Q_l-adic étale snopy, představil Grothendieck (1966a) a Berthelot a Ogus (1983 ) (i když definice isokrystalů se objevuje pouze v části II tohoto příspěvku od Ogus (1984)). Konvergentní isokrystaly jsou variací isokrystalů, které fungují lépe na nedokonalých polích, a nadměrné konverzní izokrystaly jsou další variantou související s nadměrně konvertovanými teoriemi cohomologie.

A Dieudonné krystaly je krystal s Verschiebung a Frobenius mapy. An F-krystal je struktura v semilineární algebře poněkud související s krystaly.

Krystaly nad nekonečně malými a krystalickými místy

Infinitezimální stránka Inf (X/S) má jako objekty nekonečně malá rozšíření otevřených sad X.Li X je schéma u konce S pak snop Ó_X/S je definováno Ó_X/S(T) = souřadnicový kruh T, kde píšeme T jako zkratka pro objekt U → T Inf (X/S). Snopy na tomto webu růst v tom smyslu, že je lze rozšířit z otevřených množin na nekonečně malá rozšíření otevřených množin.

A krystal na webu Inf (X/S) je svazek F z Ó_X/S moduly, které je tuhý v následujícím smyslu:

pro jakoukoli mapu F mezi objekty T, T′ Inf (X/S), přirozená mapa z F^*F(T) až F(T′) Je izomorfismus.

To je podobné definici a kvazikoherentní svazek modulů v topologii Zariski.

Příkladem krystalu je snop Ó_X/S.

Krystaly na krystalickém místě jsou definovány podobným způsobem.

Krystaly ve vláknitých kategoriích

Obecně, pokud E je vláknitá kategorie F, pak je krystal kartézskou částí kategorie vláken. Ve zvláštním případě, když F je kategorie nekonečně malých rozšíření schématu X a E kategorie kvazikoherentních modulů nad objekty F, pak jsou krystaly této vláknité kategorie stejné jako krystaly nekonečně malého místa.

Reference

Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p> 0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5, PAN 0384804
Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Poznámky ke krystalické kohomologii, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9, PAN 0491705
Chambert-Loir, Antoine (1998), „Cohomologie cristalline: un survol“, Expositiones Mathematicae, 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, PAN 1654786, archivovány z originál dne 21. 7. 2011
Grothendieck, Alexander (1966), „O de Rhamově kohomologii algebraických odrůd“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques, 29 (29): 95–103, doi:10.1007 / BF02684807, ISSN 0073-8301, PAN 0199194 (dopis Atijahovi, 14. října 1963)
Grothendieck, A. (1966a), Dopis J. Tateovi (PDF).
Grothendieck, Alexander (1968), „Krystaly a de Rhamova kohomologie schémat“, Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L.; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF), Pokročilé studium čisté matematiky, 3, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 306–358, PAN 0269663
Illusie, Luc (1975), „Zpráva o krystalické kohomologii“, Algebraická geometrie, Proc. Symposy. Čistá matematika., 29„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., Str. 459–478, PAN 0393034
Illusie, Luc (1976), „Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)“, Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés č. 453-470), Exp. Č. 456, Poznámky k přednášce v matematice., 514, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 53–60, PAN 0444668, archivovány z originál dne 10.02.2012, vyvoláno 2016-08-24
Illusie, Luc (1994), „Crystalline cohomology“, Motivy (Seattle, WA, 1991), Proc. Symposy. Čistá matematika., 55„Providence, RI: Amer. Matematika. Soc., S. 43–70, PAN 1265522
Kedlaya, Kiran S. (2009), „p-adic cohomology“, Abramovich, Dan; Bertram, A .; Katzarkov, L .; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (eds.), Algebraická geometrie --- Seattle 2005. Část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., 80„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., Str. 667–684, arXiv:matematika / 0601507, Bibcode:Matematika 2006 ...... 1507 tis, ISBN 978-0-8218-4703-9, PAN 2483951