Symetrie v kvantové mechanice - Symmetry in quantum mechanics - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Slabá síla Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Symetrie překladu prostoru Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentzova symetrie Poincarého symetrie Symetrie měřidla Explicitní narušení symetrie Spontánní narušení symetrie Teorie Yang – Mills Noether poplatek Topologický náboj
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Očekávaná hodnota Pole duchů Faddeev – Popovští duchové Feynmanův diagram Teorie mřížky LSZ redukční vzorec Funkce oddílu Propagátor Kvantování Regulace Renormalizace Stav vakua Wickova věta Wightmanovy axiomy Feynmanova parametrizace
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca rovnice Wheeler – DeWittova rovnice Bargmann – Wignerovy rovnice Joos – Weinbergova rovnice Weylova rovnice
Standardní model Stav kvantového vakua Kvantová dynamika Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtuální částice
Neúplné teorie Kauzální dynamická triangulace Příčinné fermionové systémy Kauzální sady Konformní teorie pole Diracké moře Poruchová teorie Teorie dvourozměrného konformního pole Teorie kvantového pole v zakřiveném časoprostoru Teorie tepelného kvantového pole Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Poloklasická gravitace Odstředivá pěna Teorie strun Teorie superstrun M-teorie Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Kanonická kvantová gravitace Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Smyčková kvantová kosmologie Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Coleman Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

Symetrie v kvantové mechanice popsat vlastnosti časoprostoru a částic, které se nezměnily při nějaké transformaci, v kontextu kvantová mechanika, relativistická kvantová mechanika a kvantová teorie pole a s aplikacemi v matematická formulace standardního modelu a fyzika kondenzovaných látek. Obecně, symetrie ve fyzice, invariance, a zákony na ochranu přírody, jsou zásadně důležitá omezení pro formulaci fyzické teorie a modely. V praxi se jedná o účinné metody řešení problémů a předvídání toho, co se může stát. Zákony na ochranu přírody ne vždy dávají odpověď na problém přímo, ale vytvářejí správná omezení a první kroky k řešení mnoha problémů.

Tento článek nastiňuje souvislost mezi klasickou formou spojité symetrie stejně jako jejich kvantové operátory, a vztahuje je k Lež skupiny a relativistické transformace v Skupina Lorentz a Poincaré skupina.

Zápis

Notační konvence použité v tomto článku jsou následující. Tučné písmo označuje vektory, čtyři vektory, matice, a vektorové operátory, zatímco kvantové stavy použití braketová notace. Široké klobouky jsou pro operátory, úzké klobouky jsou pro jednotkové vektory (včetně jejich součástí v notace tenzorového indexu ). The konvence součtu na opakované tenzorové indexy pokud není uvedeno jinak. The Minkowského metrika podpis je (+ −−−).

Symetrické transformace na vlnové funkci v nerelativistické kvantové mechanice

Spojité symetrie

Obecně je korespondence mezi spojitou symetrií a zákony zachování dána vztahem Noetherova věta.

Forma základních kvantových operátorů, například energie jako a částečný časová derivace a hybnost jako prostorový spád, vyjasní se, když vezmeme v úvahu počáteční stav, poté mírně změníme jeho parametr. To lze provést pro posuny (délky), doby trvání (čas) a úhly (rotace). Navíc invariance určitých veličin lze vidět provedením takových změn v délkách a úhlech, což ilustruje zachování těchto veličin.

V následujícím následují transformace pouze na vlnové funkce jedné částice ve formě:

${ displaystyle { widehat { Omega}} psi ( mathbf {r}, t) = psi ( mathbf {r} ', t')}$

jsou považovány, kde ${ displaystyle { widehat { Omega}}}$ označuje a nečleněný operátor. Unitarita je obecně vyžadována pro operátory představující transformace prostoru, času a rotace, protože norma státu (představující celkovou pravděpodobnost nalezení částice někde s nějakou rotací) musí být při těchto transformacích neměnná. Inverzní je Hermitianský konjugát ${ displaystyle { widehat { Omega}} ^ {- 1} = { widehat { Omega}} ^ { dagger}}$. Výsledky lze rozšířit na vlnové funkce mnoha částic. Napsáno Diracova notace standardně jsou transformace zapnuty kvantový stav vektory jsou:

${ displaystyle { widehat { Omega}} left | mathbf {r} (t) right rangle = left | mathbf {r} '(t') right rangle}$

Nyní akce ${ displaystyle { widehat { Omega}}}$ Změny ψ(r, t) až ψ(r′, t′), Tedy inverzní ${ displaystyle { widehat { Omega}} ^ {- 1} = { widehat { Omega}} ^ { dagger}}$ Změny ψ(r′, t') zpět k ψ(r, t), takže operátor ${ displaystyle { widehat {A}}}$ neměnný pod ${ displaystyle { widehat { Omega}}}$ splňuje:

${ displaystyle { widehat {A}} psi = { widehat { Omega}} ^ { dagger} { widehat {A}} { widehat { Omega}} psi quad Rightarrow quad { widehat { Omega}} { widehat {A}} psi = { widehat {A}} { widehat { Omega}} psi}$

a tudíž:

${ displaystyle [{ widehat { Omega}}, { widehat {A}}] psi = 0}$

pro jakýkoli stát ψ. Kvantové operátory zastupující pozorovatelné jsou také povinni být Hermitian aby jejich vlastní čísla jsou reálná čísla, tj. operátor se rovná jeho Hermitianský konjugát, ${ displaystyle { widehat {A}} = { widehat {A}} ^ { dagger}}$.

Přehled teorie Lieových grup

Následují klíčové body teorie grupů relevantní pro kvantovou teorii, příklady jsou uvedeny v celém článku. Alternativní přístup využívající maticové skupiny najdete v knihách Hall^[1][2]

Nechat G být Lež skupina, což je skupina, která místně je parametrizováno konečným číslem N z nemovitý neustále se měnící parametry ξ₁, ξ₂, ... ξ_N. Ve více matematickém jazyce to znamená G je hladký potrubí to je také skupina, pro kterou jsou skupinové operace plynulé.

• the dimenze skupiny, N, je počet parametrů, které má.
• the skupina elementy, G, v G jsou funkce parametrů:

${ displaystyle g = G ( xi _ {1}, xi _ {2}, cdots)}$

a všechny parametry nastavené na nulu vrací prvek identity skupiny:

${ displaystyle I = G (0,0 cdots)}$

Skupinové prvky jsou často matice, které působí na vektory nebo transformace působící na funkce.

• The generátory skupiny jsou částečné derivace prvků skupiny s ohledem na parametry skupiny s výsledkem vyhodnoceným, když je parametr nastaven na nulu:

${ displaystyle X_ {j} = vlevo. { frac { částečné g} { částečné xi _ {j}}} vpravo | _ { xi _ {j} = 0}}$

V jazyce potrubí jsou generátory prvky tečného prostoru G na identitu. Generátory jsou také známé jako nekonečně malé skupinové prvky nebo jako prvky Lež algebra z G. (Viz diskuse komutátoru níže.)

Jedním z aspektů generátorů v teoretické fyzice je, že je lze konstruovat jako operátory odpovídající symetrii, které lze zapsat jako matice nebo jako diferenciální operátory. V kvantové teorii pro unitární reprezentace skupiny, generátory vyžadují faktor i:

${ displaystyle X_ {j} = i vlevo. { frac { částečné g} { částečné xi _ {j}}} vpravo | _ { xi _ {j} = 0}}$

Generátory skupiny tvoří a vektorový prostor, což znamená lineární kombinace generátorů také tvoří generátor.

• Generátory (maticové nebo diferenciální operátory) splňují komutační vztahy:

${ displaystyle left [X_ {a}, X_ {b} right] = if_ {abc} X_ {c}}$

kde F_abc jsou (závislé na bázi) strukturní konstanty skupiny. Díky tomu je společně s vlastností vektorového prostoru sada všech generátorů skupiny a Lež algebra. V důsledku antisymetrie závorky jsou strukturní konstanty skupiny v prvních dvou indexech antisymetrické.

• The reprezentace skupiny pak popište způsoby, kterými skupina G (nebo jeho Lieova algebra) může působit na vektorový prostor. (Vektorovým prostorem může být například prostor vlastních vektorů pro hamiltonovskou bytost G jako jeho skupina symetrie.) Reprezentace označujeme velkými písmeny D. Jeden pak může rozlišovat D získat reprezentaci Lieovy algebry, často také označované D. Tyto dvě reprezentace souvisí takto:

${ displaystyle D [g ( xi _ {j})] equiv D ( xi _ {j}) = e ^ {i xi _ {j} D (X_ {j})}}$

bez součet na opakovaném indexu j. Reprezentace jsou lineární operátory, které přijímají prvky skupiny a zachovávají pravidlo složení:

${ displaystyle D ( xi _ {a}) D ( xi _ {b}) = D ( xi _ {a} xi _ {b}).}$

Reprezentace, kterou nelze rozložit na a přímý součet jiných reprezentací neredukovatelné. Je běžné označovat neredukovatelné reprezentace horním číslem n v závorkách, jako v D⁽ⁿ⁾, nebo pokud existuje více než jedno číslo, píšeme D^{(n, m, ... )}.

V kvantové teorii vzniká další jemnost, kde dva vektory, které se liší násobením skalárem, představují stejný fyzický stav. Zde je příslušná představa zastoupení a projektivní reprezentace, který pouze splňuje zákon o složení až po skalární. V kontextu kvantově mechanické rotace se takové reprezentace nazývají spinorial.

Hybnost a energie jako generátory translace a evoluce času a rotace

Prostor překladatel ${ displaystyle { widehat {T}} ( Delta mathbf {r})}$ působí na vlnovou funkci k posunutí vesmírných souřadnic o nekonečně malý posun Δr. Explicitní výraz ${ displaystyle { widehat {T}}}$ lze rychle určit pomocí a Taylorova expanze z ψ(r + Δr, t) o r, poté (zachovat člen prvního řádu a zanedbávat členy druhého a vyššího řádu), nahradit prostorové deriváty znakem operátor hybnosti ${ displaystyle { widehat { mathbf {p}}}}$. Podobně pro překlad času operátor působící na časový parametr, Taylorovo rozšíření ψ(r, t + Δt) je o ta časová derivace nahrazena energetický operátor ${ displaystyle { widehat {E}}}$.

název	Operátor překladu ${ displaystyle { widehat {T}}}$	Operátor překladu / vývoje času ${ displaystyle { widehat {U}}}$
Akce na vlnové funkci	${ displaystyle { widehat {T}} ( Delta mathbf {r}) psi ( mathbf {r}, t) = psi ( mathbf {r} + Delta mathbf {r}, t) }$	${ displaystyle { widehat {U}} ( Delta t) psi ( mathbf {r}, t) = psi ( mathbf {r}, t + Delta t)}$
Infinitezimální operátor	${ displaystyle { widehat {T}} ( Delta mathbf {r}) = I + { frac {i} { hbar}} Delta mathbf {r} cdot { widehat { mathbf {p} }}}$	${ displaystyle { widehat {U}} ( Delta t) = I - { frac {i} { hbar}} Delta t { widehat {E}}}$
Konečný operátor	${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} left (I + { frac {i} { hbar}} { frac { Delta mathbf {r}} {N}} cdot { widehat { mathbf {p}}} vpravo) ^ {N} = exp vlevo ({ frac {i} { hbar}} Delta mathbf {r} cdot { widehat { mathbf {p}} } right) = { widehat {T}} ( Delta mathbf {r})}$	${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} left (I - { frac {i} { hbar}} { frac { Delta t} {N}} cdot { widehat {E}} right) ^ {N} = exp left (- { frac {i} { hbar}} Delta t { widehat {E}} right) = { widehat {U}} ( Delta t )}$
Generátor	Provozovatel hybnosti ${ displaystyle { widehat { mathbf {p}}} = - i hbar nabla}$	Energetický operátor ${ displaystyle { widehat {E}} = i hbar { frac { částečné} { částečné t}}}$

Exponenciální funkce vznikají podle definice jako tyto limity kvůli Euler, a lze jej pochopit fyzicky a matematicky následovně. Čistý překlad může být složen z mnoha malých překladů, takže pro získání operátoru překladu pro konečný přírůstek nahraďte Δr o Δr/N a Δt o Δt/N, kde N je kladné nenulové celé číslo. Pak jako N zvyšuje, velikost Δr a Δt se ještě zmenší, přičemž směry zůstanou nezměněny Působení nekonečně malých operátorů na vlnovou funkci N časy a brát limit jako N inklinuje k nekonečnu dává konečné operátory.

Překlady prostoru a času dojíždějí, což znamená dojíždění operátorů a generátorů.

Komutátoři

Operátoři	${ displaystyle left [{ widehat {T}} ( mathbf {r} _ {1}), { widehat {T}} ( mathbf {r} _ {2}) right] psi ( mathbf {r}, t) = 0}$	${ displaystyle left [{ widehat {U}} (t_ {1}), { widehat {U}} (t_ {2}) right] psi ( mathbf {r}, t) = 0}$
Generátory	${ displaystyle left [{ widehat {p}} _ {i}, { widehat {p}} _ {j}, right] psi ( mathbf {r}, t) = 0}$	${ displaystyle left [{ widehat {E}}, { widehat {p}} _ {i}, right] psi ( mathbf {r}, t) = 0}$

Pro časově nezávislý hamiltonián je energie zachována v čase a kvantové stavy ano stacionární stavy: vlastní stavy Hamiltonian jsou vlastní vlastní hodnoty energie E:

${ displaystyle { widehat {U}} (t) = exp left (- { frac {i Delta tE} { hbar}} right)}$

a všechny stacionární státy mají formu

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t + t_ {0}) = { widehat {U}} (t-t_ {0}) psi ( mathbf {r}, t_ {0})}$

kde t₀ je počáteční čas, obvykle nastavený na nulu, protože při nastavení počátečního času nedochází ke ztrátě kontinuity.

Alternativní notace je ${ displaystyle { widehat {U}} (t-t_ {0}) equiv U (t, t_ {0})}$.

Moment hybnosti jako generátor rotací

Orbitální moment hybnosti

Operátor rotace působí na vlnovou funkci k otáčení prostorových souřadnic částice o konstantní úhel Δθ:

${ displaystyle {R} ( Delta theta, { hat { mathbf {a}}}) psi ( mathbf {r}, t) = psi ( mathbf {r} ', t)}$

kde r ' jsou otočené souřadnice kolem osy definované a jednotkový vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ prostřednictvím úhlového přírůstku Δθ, dána:

${ displaystyle mathbf {r} '= { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {a}}}) mathbf {r} ,.}$

kde ${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {a}}})}$ je rotační matice v závislosti na ose a úhlu. Ve skupinovém teoretickém jazyce jsou rotační matice prvky skupiny a úhly a osa ${ displaystyle Delta theta { hat { mathbf {a}}} = Delta theta (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ jsou parametry trojrozměrného speciální ortogonální skupina, SO (3). Rotační matice kolem Standard Kartézský základ vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {x}, { hat { mathbf {e}}} _ {y}, { hat { mathbf {e}}} _ {z} }$ skrz úhel Δθa odpovídající generátory rotací J = (J_X, J_y, J_z), jsou:

${ displaystyle { widehat {R}} _ {x} equiv { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {x}) = { begin { pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos Delta theta & - sin Delta theta 0 & sin Delta theta & cos Delta theta end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {x} equiv J_ {1} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {e}}} _ {x} )} { partial theta}} right | _ { theta = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {R}} _ {y} equiv { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {y}) = { begin { pmatrix} cos Delta theta & 0 & sin Delta theta 0 & 1 & 0 - sin Delta theta & 0 & cos Delta theta end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {y} equiv J_ {2} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {e}}} _ {y} )} { částečné theta}} doprava | _ { theta = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {R}} _ {z} equiv { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) = { begin { pmatrix} cos Delta theta & - sin Delta theta & 0 sin Delta theta & cos Delta theta & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {z} equiv J_ {3} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {e}}} _ {z} )} { partial theta}} right | _ { theta = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,.}$

Obecněji pro rotace kolem osy definované ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}}}$, prvky rotační matice jsou:^[3]

${ displaystyle [{ widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {a}}})] _ {ij} = ( delta _ {ij} -a_ {i} a_ {j}) cos theta - varepsilon _ {ijk} a_ {k} sin theta + a_ {i} a_ {j}}$

kde δ_ij je Kroneckerova delta, a ε_ijk je Symbol Levi-Civita.

Není tak zřejmé, jak určit rotační operátor ve srovnání s prostorovými a časovými překlady. Můžeme uvažovat o zvláštním případě (rotace kolem X, ynebo z-osa), pak odvodit obecný výsledek, nebo použít obecnou rotační matici přímo a notace tenzorového indexu s δ_ij a ε_ijk. Odvodit operátor nekonečně malé rotace, který odpovídá malému Δθ, používáme malé úhlové aproximace hřích (Δθ) ≈ Δθ a cos (Δθ) ≈ 1, pak Taylor expanduje asi r nebo r_i, zachovat termín první objednávky a nahradit operátor momentu hybnosti komponenty.

	Rotace kolem ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {z}}$	Rotace kolem ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}}}$
Akce na vlnové funkci	${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) psi (x, y, z, t) = psi (x- Delta theta y, Delta theta x + y, z, t)}$	${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {a}}}) psi (r_ {i}, t) = psi (R_ {ij} r_ {j} , t) = psi (r_ {i} - varepsilon _ {ijk} a_ {k} Delta theta r_ {j}, t)}$
Infinitezimální operátor	${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) = I - { frac {i} { hbar}} Delta theta { widehat {L}} _ {z}}$	${ displaystyle { begin {aligned} { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {a}}}) & = I - (- Delta theta a_ {k} varepsilon _ {kij} r_ {j}) { frac { částečné} { částečné r_ {i}}} & = I - ( Delta theta a_ {k} varepsilon _ {kji} r_ {j} ) { frac { částečné} { částečné r_ {i}}} & = I- Delta theta { hat { mathbf {a}}} cdot ( mathbf {r} times nabla ) & = I - { frac {i Delta theta} { hbar}} { hat { mathbf {a}}} cdot { widehat { mathbf {L}}} konec {zarovnaný}}}$
Infinitezimální rotace	${ displaystyle { widehat {R}} = 1 - { frac {i} { hbar}} Delta theta { hat { mathbf {a}}} cdot { widehat { mathbf {L} }} ,, quad { widehat { mathbf {L}}} = i hbar { hat { mathbf {a}}} { frac { částečné} { částečné theta}}}$	Stejný
Konečné rotace	${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} left (1 - { frac {i} { hbar}} { frac { Delta theta} {N}} { hat { mathbf {a }}} cdot { widehat { mathbf {L}}} vpravo) ^ {N} = exp vlevo (- { frac {i} { hbar}} Delta theta { hat { mathbf {a}}} cdot { widehat { mathbf {L}}} right) = { widehat {R}}}$	Stejný
Generátor	z- složka operátoru momentu hybnosti ${ displaystyle { widehat {L}} _ {z} = i hbar { frac { částečné} { částečné theta}}}$	Operátor s plným momentem hybnosti ${ displaystyle { widehat { mathbf {L}}}}$.

The z-komponent momentu hybnosti může být nahrazen komponentou podél osy definované ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}}}$, za použití Tečkovaný produkt ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}} cdot { widehat { mathbf {L}}}}$.

Konečnou rotaci lze opět provést z mnoha malých rotací, které nahradí Δθ podle Δθ/N a brát limit jako N inklinuje k nekonečnu dává operátoru rotace pro konečné otočení.

Rotace kolem stejný osy dojíždějí, například rotace o úhly θ₁ a θ₂ kolem osy i lze psát

${ displaystyle R ( theta _ {1} + theta _ {2}, mathbf {e} _ {i}) = R ( theta _ {1} mathbf {e} _ {i}) R ( theta _ {2} mathbf {e} _ {i}) ,, quad [R ( theta _ {1} mathbf {e} _ {i}), R ( theta _ {2} mathbf {e} _ {i})] = 0 ,.}$

Nicméně, rotace kolem odlišný osy nedojíždějí. Obecná pravidla komutace jsou shrnuta do

${ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i hbar varepsilon _ {ijk} L_ {k}.}$

V tomto smyslu má orbitální moment hybnosti vlastnosti zdravého rozumu rotací. Každý z výše uvedených komutátorů lze snadno předvést držením běžného předmětu a jeho otáčením ve stejném úhlu kolem dvou různých os v obou možných uspořádáních; konečné konfigurace se liší.

V kvantové mechanice existuje další forma rotace, která se matematicky jeví jako podobná orbitálnímu případu, ale má jiné vlastnosti, popsané dále.

Otáčejte momentem hybnosti

Všechny předchozí veličiny mají klasické definice. Spin je množství obsažené částicemi v kvantové mechanice bez klasického analogu, mající jednotky momentu hybnosti. Otočení vektorový operátor je označen ${ displaystyle { widehat { mathbf {S}}} = ({ widehat {S_ {x}}}, { widehat {S_ {y}}}, { widehat {S_ {z}}})}$. Vlastní čísla jeho složek jsou možné výsledky (v jednotkách ${ displaystyle hbar}$) měření rotace promítnuté do jednoho ze základních směrů.

Rotace (běžného prostoru) kolem osy ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}}}$ skrz úhel θ o jednotkovém vektoru ${ displaystyle { hat {a}}}$ v prostoru působícím na vícesložkovou vlnovou funkci (spinor) v bodě v prostoru představuje:

Na rozdíl od orbitálního momentu hybnosti, ve kterém z-projekční kvantové číslo ℓ může nabrat pouze kladné nebo záporné celočíselné hodnoty (včetně nuly), znak z- projekce točit kvantové číslo s může nabývat všech kladných i záporných poločíselných hodnot. Pro každé kvantové číslo rotace existují rotační matice.

Vyhodnocení exponenciálu pro daný z-projekční spinové kvantové číslo s dává (2s + 1) -dimenzionální spinová matice. To lze použít k definování a spinor jako sloupcový vektor 2s + 1 komponenta, která se transformuje na rotovaný souřadnicový systém podle rotační matice v pevném bodě v prostoru.

Pro nejjednodušší netriviální případ s = 1/2, operátor odstřeďování je dán vztahem

${ displaystyle { widehat { mathbf {S}}} = { frac { hbar} {2}} { boldsymbol { sigma}}}$

Kde Pauliho matice ve standardním zobrazení jsou:

${ displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {x} = { začátek {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 konec {pmatrix}} ,, quad sigma _ {2} = sigma _ {y } = { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} ,, quad sigma _ {3} = sigma _ {z} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & - 1 end {pmatrix}}}$

Celková moment hybnosti

Celkový operátor momentu hybnosti je součtem orbitálu a rotace

${ displaystyle { widehat { mathbf {J}}} = { widehat { mathbf {L}}} + { widehat { mathbf {S}}}}$

a je důležitou veličinou pro systémy s více částicemi, zejména v jaderné fyzice a kvantové chemii atomů a molekul s více elektrony.

Máme podobnou rotační matici:

${ displaystyle { widehat {J}} ( theta, { hat { mathbf {a}}}) = exp left (- { frac {i} { hbar}} theta { hat { mathbf {a}}} cdot { widehat { mathbf {J}}} vpravo)}$

Konzervovaná množství v kvantovém harmonickém oscilátoru

Skupina dynamické symetrie n rozměrný kvantový harmonický oscilátor je speciální jednotná skupina SU (n). Jako příklad lze uvést, že počet nekonečně malých generátorů odpovídajících Lieových algeber SU (2) a SU (3) jsou tři a osm. To v těchto systémech vede k přesně třem a osmi nezávislým konzervovaným množstvím (jiným než hamiltoniánům).

Dvourozměrný kvantový harmonický oscilátor má očekávané konzervované množství hamiltonovského a momentu hybnosti, ale má další skryté konzervované množství rozdílu energetické hladiny a další formu momentu hybnosti.

Lorentzova skupina v relativistické kvantové mechanice

Následuje přehled skupiny Lorentz; léčba zesílení a rotací v časoprostoru. V této části viz (například) T. Ohlsson (2011)^[4] a E. Abers (2004).^[5]

Lorentzovy transformace lze parametrizovat pomocí rychlost φ pro podporu ve směru trojrozměrného jednotkový vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {n}}} = (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$a úhel otočení θ asi trojrozměrný jednotkový vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ definování osy, tak ${ displaystyle varphi { hat { mathbf {n}}} = varphi (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ a ${ displaystyle theta { hat { mathbf {a}}} = theta (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ je dohromady šest parametrů skupiny Lorentz (tři pro rotace a tři pro zesílení). Skupina Lorentz je 6-dimenzionální.

Čisté rotace v časoprostoru

Výše uvedené rotační matice a generátory rotace tvoří prostorovou část čtyřrozměrné matice, která představuje Lorentzovy transformace s čistou rotací. Tři prvky skupiny Lorentz ${ displaystyle { widehat {R}} _ {x}, { widehat {R}} _ {y}, { widehat {R}} _ {z}}$ a generátory J = (J₁, J₂, J₃) pro čisté rotace jsou:

${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {x}) = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & cos Delta theta & - sin Delta theta 0 & 0 & sin Delta theta & cos Delta theta end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {x} = J_ {1} = i { begin {pmatrix} 0 a 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {y}) = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & cos Delta theta & 0 & sin Delta theta 0 & 0 & 1 & 0 0 & - sin Delta theta & 0 & cos Delta theta end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {y} = J_ {2} = já { begin {pmatrix} 0 a 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & cos Delta theta & - sin Delta theta & 0 0 & sin Delta theta & cos Delta theta & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle J_ {z} = J_ {3} = i { begin {pmatrix} 0 a 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,.}$

Rotační matice působí na libovolné čtyři vektor A = (A₀, A₁, A₂, A₃) a rotujte vesmírné komponenty podle

${ displaystyle mathbf {A} '= { widehat {R}} ( Delta theta, { hat { mathbf {n}}}) mathbf {A}}$

ponechání časové souřadnice jako nezměněné. V maticových výrazech A je považováno za a vektor sloupce.

Čistá podpora v časoprostoru

Podpora s rychlostí Ctanhφ v X, ynebo z pokyny dané Standard Kartézský základ vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {x}, { hat { mathbf {e}}} _ {y}, { hat { mathbf {e}}} _ {z} }$, jsou matice transformace podpory. Tyto matice ${ displaystyle { widehat {B}} _ {x}, { widehat {B}} _ {y}, { widehat {B}} _ {z}}$ a odpovídající generátory K. = (K.₁, K.₂, K.₃) jsou zbývající tři prvky skupiny a generátory skupiny Lorentz:

${ displaystyle { widehat {B}} _ {x} equiv { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {x}) = { begin {pmatrix} cosh varphi & sinh varphi & 0 & 0 sinh varphi & cosh varphi & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle K_ {x} = K_ {1} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {x}) } { partial varphi}} right | _ { varphi = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {B}} _ {y} equiv { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {y}) = { begin {pmatrix} cosh varphi & 0 & sinh varphi & 0 0 & 1 & 0 & 0 sinh varphi & 0 & cosh varphi & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle K_ {y} = K_ {2} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {y}) } { partial varphi}} right | _ { varphi = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,,}$
${ displaystyle { widehat {B}} _ {z} equiv { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) = { begin {pmatrix} cosh varphi & 0 & 0 & sinh varphi 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 sinh varphi & 0 & 0 & cosh varphi end {pmatrix}} ,,}$	${ displaystyle K_ {z} = K_ {3} = i vlevo. { frac { částečné { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {e}}} _ {z}) } { partial varphi}} right | _ { varphi = 0} = i { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,.}$

Matice podpory působí na libovolný čtyři vektor A = (A₀, A₁, A₂, A₃) a promíchejte časové a vesmírné komponenty podle:

${ displaystyle mathbf {A} '= { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {n}}}) mathbf {A}}$

Termín „boost“ označuje relativní rychlost mezi dvěma snímky a nelze jej kombinovat s hybností jako generátor překladů, jak bylo vysvětleno níže.

Kombinace zvýšení a rotace

Produkty rotací poskytují další rotaci (častý příklad podskupiny), zatímco produkty boostů a boostů nebo rotací a boostů nelze vyjádřit jako čisté boosty nebo čisté rotace. Obecně lze jakoukoli Lorentzovu transformaci vyjádřit jako produkt čisté rotace a čistého posílení. Více informací viz (například) B.R. Durney (2011)^[6] a H. L. Berk a kol.^[7] a odkazy v nich uvedené.

Generátory podpory a rotace mají vyjádření označená D(K.) a D(J) respektive kapitál D v této souvislosti označuje a skupinové zastoupení.

Pro skupinu Lorentz reprezentace D(K.) a D(J) generátorů K. a J splnit následující pravidla komutace.

Komutátoři

	Čistá rotace	Čistá podpora	Lorentzova transformace
Generátory	${ displaystyle left [J_ {a}, J_ {b} right] = i varepsilon _ {abc} J_ {c}}$	${ displaystyle left [K_ {a}, K_ {b} right] = - i varepsilon _ {abc} J_ {c}}$	${ displaystyle left [J_ {a}, K_ {b} right] = i varepsilon _ {abc} K_ {c}}$
Zastoupení	${ displaystyle left [{D (J_ {a})}, {D (J_ {b})} right] = i varepsilon _ {abc} {D (J_ {c})}}$	${ displaystyle left [{D (K_ {a})}, {D (K_ {b})} right] = - i varepsilon _ {abc} {D (J_ {c})}}$	${ displaystyle left [{D (J_ {a})}, {D (K_ {b})} right] = i varepsilon _ {abc} {D (K_ {c})}}$

Ve všech komutátorech se entity podpory mísily s těmi pro rotace, ačkoli samotné rotace jednoduše dávají další rotaci. Vysvětlující generátory dávají operátory zesílení a rotace, které se kombinují do obecné Lorentzovy transformace, pod kterou se souřadnice časoprostoru transformují z jednoho klidového rámce na jiný zesílený a / nebo rotující rámec. Podobně umocnění reprezentací generátorů poskytuje reprezentace operátorů zesílení a rotace, pod nimiž se transformuje spinorové pole částice.

Transformační zákony

	Čistá podpora	Čistá rotace	Lorentzova transformace
Transformace	${ displaystyle { widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {n}}}) = exp left (- { frac {i} { hbar}} varphi { hat { mathbf {n}}} cdot mathbf {K} vpravo)}$	${ displaystyle { widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {a}}}) = exp left (- { frac {i} { hbar}} theta { hat { mathbf {a}}} cdot mathbf {J} vpravo)}$	${ displaystyle Lambda ( varphi, { hat { mathbf {n}}}, theta, { hat { mathbf {a}}}) = exp left [- { frac {i} { hbar}} left ( varphi { hat { mathbf {n}}} cdot mathbf {K} + theta { hat { mathbf {a}}} cdot mathbf {J} vpravo )že jo]}$
Zastoupení	${ displaystyle D [{ widehat {B}} ( varphi, { hat { mathbf {n}}})] = exp left (- { frac {i} { hbar}} varphi { hat { mathbf {n}}} cdot D ( mathbf {K}) right)}$	${ displaystyle D [{ widehat {R}} ( theta, { hat { mathbf {a}}})] = exp left (- { frac {i} { hbar}} theta { hat { mathbf {a}}} cdot D ( mathbf {J}) right)}$	${ displaystyle D [ Lambda ( theta, { hat { mathbf {a}}}, varphi, { hat { mathbf {n}}})]] = exp left [- { frac { i} { hbar}} left ( varphi { hat { mathbf {n}}} cdot D ( mathbf {K}) + theta { hat { mathbf {a}}} cdot D ( mathbf {J}) vpravo) vpravo]}$

V literatuře generátory podpory K. a rotační generátory J jsou někdy kombinovány do jednoho generátoru pro Lorentzovy transformace M, antisymetrická čtyřrozměrná matice s položkami:

${ displaystyle M ^ {0a} = - M ^ {a0} = K_ {a} ,, quad M ^ {ab} = varepsilon _ {abc} J_ {c} ,.}$

a odpovídajícím způsobem jsou parametry podpory a rotace shromážděny do jiné antisymetrické čtyřrozměrné matice ω, se záznamy:

${ displaystyle omega _ {0a} = - omega _ {a0} = varphi n_ {a} ,, quad omega _ {ab} = theta varepsilon _ {abc} a_ {c} , ,}$

Obecná Lorentzova transformace je pak:

${ displaystyle Lambda ( varphi, { hat { mathbf {n}}}, theta, { hat { mathbf {a}}}) = exp left (- { frac {i} { 2}} omega _ { alpha beta} M ^ { alpha beta} right) = exp left [- { frac {i} {2}} left ( varphi { hat { mathbf {n}}} cdot mathbf {K} + theta { hat { mathbf {a}}} cdot mathbf {J} vpravo) vpravo]}$

s součet přes opakované maticové indexy α a β. Matice act působí na libovolný čtyři vektor A = (A₀, A₁, A₂, A₃) a promíchejte časové a vesmírné komponenty podle:

${ displaystyle mathbf {A} '= Lambda ( varphi, { hat { mathbf {n}}}, theta, { hat { mathbf {a}}}) mathbf {A}}$

Transformace spinorových vlnových funkcí v relativistické kvantové mechanice

v relativistická kvantová mechanika, vlnové funkce již nejsou jednosložkovými skalárními poli, ale nyní 2 (2s + 1) komponentní spinorová pole, kde s je rotace částice. Transformace těchto funkcí v časoprostoru jsou uvedeny níže.

Pod řádným ortochronní Lorentzova transformace (r, t) → Λ (r, t) v Minkowského prostor, všechny kvantové stavy jedné částice ψ_σ místně transformovat pod některými zastoupení D z Skupina Lorentz:^[8][9]

${ displaystyle psi _ { sigma} ( mathbf {r}, t) rightarrow D ( Lambda) psi _ { sigma} ( Lambda ^ {- 1} ( mathbf {r}, t) )}$

kde D(Λ) je konečně-dimenzionální reprezentace, jinými slovy a (2s + 1)×(2s + 1) dimenzionální čtvercová matice, a ψ je myšlenka jako vektor sloupce obsahující komponenty s (2s + 1) povolené hodnoty σ:

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = { začátek {bmatrix} psi _ { sigma = s} ( mathbf {r}, t) psi _ { sigma = s- 1} ( mathbf {r}, t) vdots psi _ { sigma = -s + 1} ( mathbf {r}, t) psi _ { sigma = -s} ( mathbf {r}, t) end {bmatrix}} quad rightleftharpoons quad { psi ( mathbf {r}, t)} ^ { dagger} = { begin {bmatrix} { psi _ { sigma = s} ( mathbf {r}, t)} ^ { star} & { psi _ { sigma = s-1} ( mathbf {r}, t)} ^ { star} & cdots & { psi _ { sigma = -s + 1} ( mathbf {r}, t)} ^ { star} & { psi _ { sigma = -s} ( mathbf {r}, t)} ^ { star} end {bmatrix}}}$

Skutečné neredukovatelné reprezentace a rotace

The neredukovatelné reprezentace z D(K.) a D(J), ve zkratce „irreps“, lze použít k sestavení a rotaci reprezentací skupiny Lorentz. Definování nových operátorů:

${ displaystyle mathbf {A} = { frac { mathbf {J} + i mathbf {K}} {2}} ,, quad mathbf {B} = { frac { mathbf {J} -i mathbf {K}} {2}} ,,}$

tak A a B jsou prostě komplexní konjugáty z toho vyplývá, že uspokojují symetricky vytvořené komutátory:

${ displaystyle left [A_ {i}, A_ {j} right] = varepsilon _ {ijk} A_ {k} ,, quad left [B_ {i}, B_ {j} right] = varepsilon _ {ijk} B_ {k} ,, quad left [A_ {i}, B_ {j} right] = 0 ,,}$

a to jsou v podstatě komutátory, které uspokojí operátoři orbitální a spinové hybnosti. Proto, A a B tvoří operátorové algebry analogické momentu hybnosti; stejný operátoři žebříků, z- projekce atd., nezávisle na sobě, protože každá z jejich složek dojíždí. Analogicky k kvantovému číslu rotace můžeme zavést kladná celá čísla nebo poloviční celá čísla, a, b, s odpovídajícími sadami hodnot m = A, A − 1, ... −A + 1, −A a n = b, b − 1, ... −b + 1, −b. Matice splňující výše uvedené komutační vztahy jsou stejné jako u otočení A a b mít komponenty dané vynásobením Kroneckerova delta hodnoty s prvky matice momentu hybnosti:

${ displaystyle left (A_ {x} right) _ {m'n ', mn} = delta _ {n'n} left (J_ {x} ^ {(m)} right) _ {m 'm} , quad left (B_ {x} right) _ {m'n', mn} = delta _ {m'm} left (J_ {x} ^ {(n)} right ) _ {n'n}}$

${ displaystyle left (A_ {y} right) _ {m'n ', mn} = delta _ {n'n} left (J_ {y} ^ {(m)} right) _ {m 'm} , quad left (B_ {y} right) _ {m'n', mn} = delta _ {m'm} left (J_ {y} ^ {(n)} right ) _ {n'n}}$

${ displaystyle left (A_ {z} right) _ {m'n ', mn} = delta _ {n'n} left (J_ {z} ^ {(m)} right) _ {m 'm} , quad left (B_ {z} right) _ {m'n', mn} = delta _ {m'm} left (J_ {z} ^ {(n)} right ) _ {n'n}}$

kde v každém případě číslo řádku m'n ′ a číslo sloupce mn jsou odděleny čárkou a naopak:

${ displaystyle left (J_ {z} ^ {(m)} right) _ {m'm} = m delta _ {m'm} , quad left (J_ {x} ^ {(m )}pm iJ_{y}^{(m)} ight)_{m'm}=mdelta _{a',apm 1}{sqrt {(amp m)(a pm m+1)}}}$

a podobně pro J⁽ⁿ⁾.^{[poznámka 1]} Strom J^(m) matrices are each (2m + 1)×(2m + 1) square matrices, and the three J⁽ⁿ⁾ are each (2n + 1)×(2n + 1) čtvercové matice. The integers or half-integers m a n numerate all the irreducible representations by, in equivalent notations used by authors: D^{(m, n)} ≡ (m, n) ≡ D^(m) ⊗ D⁽ⁿ⁾, which are each [(2m + 1)(2n + 1)]×[(2m + 1)(2n + 1)] čtvercové matice.

Applying this to particles with spin s;

• levák (2s + 1)-component spinors transform under the real irreps D^{(s, 0)},
• pravák (2s + 1)-component spinors transform under the real irreps D^{(0, s)},
• brát přímé částky symbolized by ⊕ (vidět direct sum of matrices for the simpler matrix concept), one obtains the representations under which 2(2s + 1)-component spinors transform: D^{(m, n)} ⊕ D^{(n, m)} kde m + n = s. These are also real irreps, but as shown above, they split into complex conjugates.

In these cases the D refers to any of D(J), D(K.), or a full Lorentz transformation D(Λ).

Relativistic wave equations

V kontextu Diracova rovnice a Weylova rovnice, the Weyl spinors satisfying the Weyl equation transform under the simplest irreducible spin representations of the Lorentz group, since the spin quantum number in this case is the smallest non-zero number allowed: 1/2. The 2-component left-handed Weyl spinor transforms under D^{(1/2, 0)} and the 2-component right-handed Weyl spinor transforms under D^{(0, 1/2)}. Dirac spinors satisfying the Dirac equation transform under the representation D^{(1/2, 0)} ⊕ D^{(0, 1/2)}, the direct sum of the irreps for the Weyl spinors.

The Poincaré group in relativistic quantum mechanics and field theory

Space translations, time translations, rotace, a zvyšuje, all taken together, constitute the Poincaré skupina. The group elements are the three rotation matrices and three boost matrices (as in the Lorentz group), and one for time translations and three for space translations in spacetime. There is a generator for each. Therefore, the Poincaré group is 10-dimensional.

v speciální relativita, space and time can be collected into a four-position vector X = (ct, −r), and in parallel so can energy and momentum which combine into a four-momentum vektor P = (E/C, −str). With relativistic quantum mechanics in mind, the time duration and spatial displacement parameters (four in total, one for time and three for space) combine into a spacetime displacement ΔX = (CΔt, −Δr), and the energy and momentum operators are inserted in the four-momentum to obtain a four-momentum operator,

${displaystyle {widehat {mathbf {P} }}=left({frac {widehat {E}}{c}},-{widehat {mathbf {p} }} ight)=ihbar left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}}, abla ight),,}$

which are the generators of spacetime translations (four in total, one time and three space):

${displaystyle {widehat {X}}(Delta mathbf {X} )=exp left(-{frac {i}{hbar }}Delta mathbf {X} cdot {widehat {mathbf {P} }} ight)=exp left[-{frac {i}{hbar }}left(Delta t{widehat {E}}+Delta mathbf {r} cdot {widehat {mathbf {p} }} ight) ight],.}$

There are commutation relations between the components four-momentum P (generators of spacetime translations), and angular momentum M (generators of Lorentz transformations), that define the Poincaré algebra:^[10][11]

• ${displaystyle [P_{mu },P_{ u }]=0,}$
• ${displaystyle {frac {1}{i}}[M_{mu u },P_{ ho }]=eta _{mu ho }P_{ u }-eta _{ u ho }P_{mu },}$
• ${displaystyle {frac {1}{i}}[M_{mu u },M_{ ho sigma }]=eta _{mu ho }M_{ u sigma }-eta _{mu sigma }M_{ u ho }-eta _{ u ho }M_{mu sigma }+eta _{ u sigma }M_{mu ho },}$

kde η je Minkowského metrika tenzor. (It is common to drop any hats for the four-momentum operators in the commutation relations). These equations are an expression of the fundamental properties of space and time as far as they are known today. They have a classical counterpart where the commutators are replaced by Poisson brackets.

To describe spin in relativistic quantum mechanics, the Pauli–Lubanski pseudovector

${displaystyle W_{mu }={frac {1}{2}}varepsilon _{mu u ho sigma }J^{ u ho }P^{sigma },}$

A Provozovatel kasimíru, is the constant spin contribution to the total angular momentum, and there are commutation relations between P a Ž a mezi M a Ž:

${displaystyle left[P^{mu },W^{ u } ight]=0,,}$

${displaystyle left[J^{mu u },W^{ ho } ight]=ileft(eta ^{ ho u }W^{mu }-eta ^{ ho mu }W^{ u } ight),,}$

${displaystyle left[W_{mu },W_{ u } ight]=-iepsilon _{mu u ho sigma }W^{ ho }P^{sigma },.}$

Invariants constructed from Ž, instance Kazimírské invarianty can be used to classify irreducible representations of the Lorentz group.

Symmetries in quantum field theory and particle physics

Unitary groups in quantum field theory

Group theory is an abstract way of mathematically analyzing symmetries. Unitary operators are paramount to quantum theory, so unitary groups are important in particle physics. Skupina N dimensional unitary square matrices is denoted U(N). Unitary operators preserve inner products which means probabilities are also preserved, so the quantum mechanics of the system is invariant under unitary transformations. Nechat ${displaystyle {widehat {U}}}$ be a unitary operator, so the inverse is the Hermitian adjoint ${displaystyle {widehat {U}}^{-1}={widehat {U}}^{dagger }}$, which commutes with the Hamiltonian:

${displaystyle left[{widehat {U}},{widehat {H}} ight]=0}$

then the observable corresponding to the operator ${displaystyle {widehat {U}}}$ is conserved, and the Hamiltonian is invariant under the transformation ${displaystyle {widehat {U}}}$.

Since the predictions of quantum mechanics should be invariant under the action of a group, physicists look for unitary transformations to represent the group.

Important subgroups of each U(N) are those unitary matrices which have unit determinant (or are "unimodular"): these are called the special unitary groups and are denoted SU(N).

U (1)

The simplest unitary group is U(1), which is just the complex numbers of modulus 1. This one-dimensional matrix entry is of the form:

${displaystyle U=e^{-i heta }}$

ve kterém θ is the parameter of the group, and the group is Abelian since one-dimensional matrices always commute under matrix multiplication. Lagrangians in quantum field theory for complex scalar fields are often invariant under U(1) transformations. If there is a quantum number A associated with the U(1) symmetry, for example baryon and the three lepton numbers in electromagnetic interactions, we have:

${displaystyle U=e^{-ia heta }}$

U(2) and SU(2)

The general form of an element of a U(2) element is parametrized by two complex numbers A a b:

${displaystyle U={egin{pmatrix}a&b-b^{star }&a^{star }end{pmatrix}}}$