Bargmann – Wignerovy rovnice - Bargmann–Wigner equations

Tento článek používá Konvence Einsteinova součtu pro tenzor /spinor indexy a použití klobouky pro kvantové operátory.

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Slabá síla Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Symetrie překladu prostoru Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentzova symetrie Poincarého symetrie Symetrie měřidla Explicitní narušení symetrie Spontánní narušení symetrie Teorie Yang – Mills Noether poplatek Topologický náboj
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Očekávaná hodnota Pole duchů Faddeev – Popovští duchové Feynmanův diagram Teorie mřížky LSZ redukční vzorec Funkce oddílu Propagátor Kvantování Regulace Renormalizace Stav vakua Wickova věta Wightmanovy axiomy Feynmanova parametrizace
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca rovnice Wheeler – DeWittova rovnice Bargmann – Wignerovy rovnice Joos – Weinbergova rovnice Weylova rovnice
Standardní model Stav kvantového vakua Kvantová dynamika Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtuální částice
Neúplné teorie Kauzální dynamická triangulace Příčinné fermionové systémy Kauzální sady Konformní teorie pole Diracké moře Poruchová teorie Teorie dvourozměrného konformního pole Teorie kvantového pole v zakřiveném časoprostoru Teorie tepelného kvantového pole Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Poloklasická gravitace Odstředivá pěna Teorie strun Teorie superstrun M-teorie Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Kanonická kvantová gravitace Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Smyčková kvantová kosmologie Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Coleman Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

v relativistické kvantová mechanika a kvantová teorie pole, Bargmann – Wignerovy rovnice popsat volné částice libovolné roztočit j, celé číslo pro bosony (j = 1, 2, 3 ...) nebo poloviční celé číslo pro fermiony (j = ​¹⁄₂, ​³⁄₂, ​⁵⁄₂ ...). Řešení rovnic jsou vlnové funkce, matematicky ve formě vícesložkové spinorová pole.

Jsou pojmenovány po Valentine Bargmann a Eugene Wigner.

Dějiny

Paul Dirac poprvé zveřejněno Diracova rovnice v roce 1928 a později (1936) ji rozšířil na částice libovolného poločíselného spinu, než Fierz a Pauli následně našli stejné rovnice v roce 1939 a zhruba deset let před Bargmanem a Wignerem.^[1] Eugene Wigner napsal v roce 1937 příspěvek o unitární reprezentace nehomogenní Skupina Lorentz, nebo Poincaré skupina.^[2] Poznámky poutníka Ettore Majorana a Dirac použili nekonečně malé operátory aplikované na funkce. Wigner klasifikuje reprezentace jako neredukovatelné, faktoriální a jednotné.

V roce 1948 Valentine Bargmann a Wigner publikovali rovnice, které jsou nyní pojmenovány po nich, v článku o skupinové teoretické diskusi o relativistických vlnových rovnicích.^[3]

Výrok rovnic

Pro volnou část rotace j bez elektrický náboj, BW rovnice jsou množinou 2j spojený lineární parciální diferenciální rovnice, každý s podobnou matematickou formou jako Diracova rovnice. Celá sada rovnic je^[1][4][5]

${ displaystyle { begin {aligned} & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {1} alpha _ { 1} '} psi _ { alpha' _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {2} alpha _ {2} '} psi _ { alpha _ {1} alpha' _ { 2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & qquad vdots & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {2j} alpha '_ {2j}} psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha' _ {2j}} = 0 konec {zarovnáno}}}$

které se řídí vzorem;

${ displaystyle left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {r} alpha '_ {r}} psi _ { alpha _ {1} cdots alpha '_ {r} cdots alpha _ {2j}} = 0}$

(1)

pro r = 1, 2, ... 2j. (Někteří autoři, např. Loide a Saar^[4] použití n = 2j odstranit faktory 2. Také točit kvantové číslo je obvykle označeno s v kvantové mechanice, avšak v této souvislosti j je v literatuře typičtější). Celá vlnová funkce ψ = ψ(r, t) má komponenty

${ displaystyle psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} ( mathbf {r}, t)}$

a je na 2. místěj 4-komponentní spinorové pole. Každý index má hodnoty 1, 2, 3 nebo 4, takže existují 4^2j komponenty celého spinorového pole ψ, i když zcela symetrická vlnová funkce snižuje počet nezávislých komponent na 2(2j + 1). Dále, y^μ = (γ⁰, y) jsou gama matice, a

${ displaystyle { hat {P}} _ { mu} = i hbar částečný _ { mu}}$

je 4-momentový operátor.

Operátor tvořící každou rovnici, (- y^μP_μ + mc) = (−iħy^μ∂_μ + mc), je 4 × 4 matice, protože y^μ matice a mc období skalární násobení the 4 × 4 matice identity (obvykle není napsáno pro jednoduchost). Výslovně v Diracova reprezentace gama matic:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} - gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc & = - gamma ^ {0} { frac { hat {E}} { c}} - { boldsymbol { gamma}} cdot (- { hat { mathbf {p}}}) + mc [6pt] & = - { begin {pmatrix} I_ {2} & 0 0 & -I_ {2} end {pmatrix}} { frac { hat {E}} {c}} + { begin {pmatrix} 0 & { boldsymbol { sigma}} cdot { hat { mathbf {p}}} - { boldsymbol { sigma}} cdot { hat { mathbf {p}}} a 0 end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} I_ { 2} & 0 0 & I_ {2} end {pmatrix}} mc [8pt] & = { begin {pmatrix} - { frac { hat {E}} {c}} + mc & 0 & { klobouk {p}} _ {z} & { hat {p}} _ {x} -i { hat {p}} _ {y} 0 & - { frac { hat {E}} {c }} + mc & { hat {p}} _ {x} + i { hat {p}} _ {y} & - { hat {p}} _ {z} - { hat {p} } _ {z} & - ({ hat {p}} _ {x} -i { hat {p}} _ {y}) & { frac { hat {E}} {c}} + mc & 0 - ({ hat {p}} _ {x} + i { hat {p}} _ {y}) & { hat {p}} _ {z} & 0 & { frac { hat {E }} {c}} + mc end {pmatrix}} end {zarovnáno}}}$

kde σ = (σ₁, σ₂, σ₃) = (σ_X, σ_y, σ_z) je vektorem Pauliho matice, E je energetický operátor, str = (str₁, str₂, str₃) = (str_X, str_y, str_z) je 3-momentový operátor, Já₂ označuje 2 × 2 matice identity, nuly (ve druhém řádku) jsou ve skutečnosti 2 × 2 bloky z nulové matice.

Výše uvedený operátor matice smlouvy s jedním bispinorovým indexem ψ najednou (viz násobení matic ), takže některé vlastnosti Diracova rovnice platí také pro BW rovnice:

• rovnice jsou Lorentzovy kovarianty,
• všechny komponenty řešení ψ také uspokojit Klein-Gordonova rovnice, a tedy splňují relativistické vztah energie a hybnosti,

${ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}$

• druhá kvantizace je stále možné.

Na rozdíl od Diracova rovnice, která může začlenit elektromagnetické pole přes minimální vazba „ČB formalismus zahrnuje vnitřní rozpory a obtíže, když je začleněna interakce elektromagnetického pole. Jinými slovy, změnu není možné provést P_μ → P_μ − eA_μ, kde E je elektrický náboj částice a A_μ = (A₀, A) je elektromagnetický čtyř potenciál.^[6][7] Nepřímým přístupem ke zkoumání elektromagnetických vlivů částice je odvození elektromagnetického čtyři proudy proudy a vícepólové momenty spíše než zahrnout interakce do samotných vlnových rovnic.^[8][9]

Struktura skupiny Lorentz

The zastoupení skupiny Lorentz pro BW rovnice je^[6]

${ displaystyle D ^ { mathrm {BW}} = bigotimes _ {r = 1} ^ {2j} vlevo [D_ {r} ^ {(1 / 2,0)} oplus D_ {r} ^ { (0,1 / 2)} vpravo] ,.}$

kde každý D_r je neredukovatelné zastoupení. Toto znázornění nemá definitivní rotaci, pokud j se rovná 1/2 nebo 0. Jeden může provést a Clebsch-Gordanův rozklad najít neredukovatelné (A, B) termíny a tedy obsah rotace. Tato redundance vyžaduje, aby částice určitého spinu j který se transformuje pod D^BW reprezentace splňuje polní rovnice.

Reprezentace D^{(j, 0)} a D^{(0, j)} může každý samostatně představovat částice rotace j. Stav nebo kvantové pole v takové reprezentaci by nevyhovovalo žádné rovnici pole kromě Klein-Gordonovy rovnice.

Formulace v zakřiveném časoprostoru

Po M. Kenmoku,^[10] v místním Minkowského prostoru splňují gama matice antikomutace vztahy:

${ displaystyle [ gamma ^ {i}, gamma ^ {j}] _ {+} = 2 eta ^ {ij} I_ {4}}$

kde η^ij = diag (-1, 1, 1, 1) je Minkowského metrika. Pro latinské indexy zde, já, j = 0, 1, 2, 3. V zakřiveném časoprostoru jsou podobné:

${ displaystyle [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] _ {+} = 2g ^ { mu nu}}$

kde jsou prostorové gama matice smluvně s vierbein b_i^μ získat y^μ = b_i^μ yⁱ, a G^μν = b^iμb_i^ν je metrický tenzor. Pro řecké indexy; μ, ν = 0, 1, 2, 3.

A kovarianční derivace pro spinory je dáno

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { mu} = částečný _ { mu} + Omega _ { mu}}$

s spojení Ω vzhledem k tomu, že spin připojení ω podle:

${ displaystyle Omega _ { mu} = { frac {1} {4}} částečný _ { mu} omega ^ {ij} ( gamma _ {i} gamma _ {j} - gamma _ {j} gamma _ {i})}$

Kovarianční derivace se transformuje jako ψ:

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { mu} psi rightarrow D ( Lambda) { mathcal {D}} _ { mu} psi}$

S tímto nastavením rovnice (1) se stává:

${ displaystyle { begin {aligned} & (- i hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu} + mc) _ { alpha _ {1} alpha _ {1 } '} psi _ { alpha' _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & (- i hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu} + mc) _ { alpha _ {2} alpha _ {2} '} psi _ { alpha _ {1} alpha' _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & qquad vdots & (- i hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu } + mc) _ { alpha _ {2j} alpha '_ {2j}} psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha' _ {2j }} = 0 ,. konec {zarovnáno}}}$

Viz také

• Diracova rovnice se dvěma těly
• Zobecnění Pauliho matic
• Wigner D-matice
• Weyl – Brauerovy matice
• Vyšší dimenze gama matic
• Joos – Weinbergova rovnice, alternativní rovnice, které popisují volné částice jakékoli rotace

Reference

Poznámky

Další čtení

Knihy

Vybrané příspěvky

externí odkazy

Relativistické vlnové rovnice:

• Diracova matice ve vyšších dimenzích, Demonstrační projekt Wolfram
• Učení o polích spin-1, P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Polní rovnice pro nehmotné bosony z formality Dirac – Weinberg, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• Teorie kvantového pole I, Martin Mojžiš
• Bargmann – Wignerova rovnice: Polní rovnice pro libovolné otáčení, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Skupiny Lorentz v relativistické kvantové fyzice:

• Zastoupení skupiny Lorentz, indiana.edu
• Dodatek C: Lorentzova skupina a Diracova algebra, mcgill.ca^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Skupina Lorentz, relativistické částice a kvantová mechanika, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
• Zastoupení skupin Lorentz a Poincaré, J. Maciejko, Stanford University
• Zastoupení skupiny Symmetry of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009