Landau kvantování - Landau quantization

Landau kvantování v kvantová mechanika je kvantování cyklotronových drah nabitých částic v magnetických polích. Výsledkem je, že nabité částice mohou zaujímat pouze oběžné dráhy s diskrétními energetickými hodnotami, které se nazývají Landauovy úrovně. Úrovně Landau jsou degenerovat, přičemž počet elektronů na úrovni je přímo úměrný síle aplikovaného magnetického pole. Landauova kvantizace je přímo zodpovědná za oscilace elektronických vlastností materiálů jako funkce aplikovaného magnetického pole. Je pojmenována po sovětském fyzikovi Lev Landau^[1].

Derivace

Uvažujme systém neinteragujících částic s nábojem $q$ a točit se $S$ omezen na oblast $A = L X L y$ v $x-y$ letadlo. Aplikujte rovnoměrné magnetické pole ${displaystyle mathbf {B} = {egin {pmatrix} 0 0 Bend {pmatrix}}}$ podél $z$ -osa. v CGS jednotky, Hamiltonian tohoto systému (Zde jsou účinky rotace zanedbávány. Úvaha o rotaci zavádí další výraz pro hamiltonovského operátora) je

{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2m}} ({hat {mathbf {p}}} - q {hat {mathbf {A}}} / c) ^ {2}.}

Tady, ${extstyle {hat {mathbf {p}}}}$ je kanonický operátor hybnosti a ${extstyle {hat {mathbf {A}}}}$ je elektromagnetický vektorový potenciál, který souvisí s magnetické pole podle

{displaystyle mathbf {B} = mathbf {abla} imes {hat {mathbf {A}}}.,}

Při volbě vektorového potenciálu pro dané magnetické pole existuje určitá volnost měřidla. Hamiltonian je měřidlo neměnné, což znamená, že přidání gradientu a skalární pole na A mění celkovou fázi vlnová funkce o částku odpovídající skalárnímu poli. Fyzikální vlastnosti však nejsou ovlivněny konkrétním výběrem měřidla. Pro jednoduchost výpočtu zvolte Měřidlo Landau, který je

{displaystyle {hat {mathbf {A}}} = {egin {pmatrix} 0 Bx 0end {pmatrix}}.}

kde $B$ =|B| a X je $X$ složka polohového operátora.

V tomto rozchodu je Hamiltonian

{displaystyle {hat {H}} = {frac {{hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {frac {1} {2m}} vlevo ({hat {p}} _ {y} - {frac {qB {hat {x}}} {c}} ight) ^ {2} + {frac {{hat {p}} _ {z} ^ {2}} {2m}}.}

Operátor ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ dojíždí s tímto Hamiltonianem, protože provozovatel ŷ chybí volba měřidla. Tedy provozovatel ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ lze nahradit jeho vlastním číslem $.k y$ . Od té doby ${displaystyle {hat {z}}}$ neobjevuje se v hamiltoniánu a v kinetické energii se objevuje pouze hybnost z, tento pohyb podél směru z je volný pohyb.

Hamiltonian lze také psát jednodušeji, když si všimneme, že frekvence cyklotronu je $ω C = qB / mc$ dávat

{displaystyle {hat {H}} = {frac {{hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {frac {1} {2}} momega _ {c} ^ {2} left ({hat {x}} - {frac {hbar k_ {y}} {momega _ {c}}} ight) ^ {2} + {frac {{hat {p}} _ {z} ^ {2} } {2m}}.}

To je přesně Hamiltonian pro kvantový harmonický oscilátor, s výjimkou minima potenciálu posunutého v souřadnicovém prostoru o $X 0 = .k y / mω C$ .

Chcete-li najít energie, nezapomeňte, že převod potenciálu harmonického oscilátoru nemá na energie vliv. Energie tohoto systému jsou tedy identické s energiemi standardu kvantový harmonický oscilátor^[2],

{displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {c} vlevo (n + {frac {1} {2}} vpravo) + {frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}}, quad ngeq 0 ~. }

Energie nezávisí na kvantovém počtu $k y$ , takže bude existovat konečný počet degenerací (Pokud je částice umístěna do neomezeného prostoru, bude tato degenerace odpovídat spojité posloupnosti ${displaystyle p_ {y}}$ ). Hodnota ${displaystyle p_ {z}}$ je spojitá, pokud je částice neomezená ve směru z, a diskrétní, pokud je částice také ohraničena ve směru z.

U vlnových funkcí si to pamatujte ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ dojíždí s Hamiltonianem. Pak se vlnová funkce promění na produkt vlastních hybných sil v $y$ vlastní směry a harmonické oscilátory ${displaystyle | phi _ {n} úhel}$ posunut o částku $X$ ₀ v $X$ směr:

{displaystyle Psi (x, y, z) = e ^ {i (k_ {y} y + k_ {z} z)} phi _ {n} (x-x_ {0})}

kde ${displaystyle k_ {z} = p_ {z} / hbar}$ . Stručně řečeno, stav elektronu je charakterizován kvantovými čísly, $n$ , $k y$ a $k z$ .

Úrovně Landau

Každá sada vlnových funkcí má stejnou hodnotu $n$ se nazývá úroveň Landau. Účinky úrovní Landau jsou pozorovány pouze tehdy, když je střední tepelná energie menší než oddělení energetické úrovně, $kT ≪ ħω C$ , což znamená nízké teploty a silná magnetická pole.

Každá úroveň Landau je zdegenerována kvůli druhému kvantovému číslu $k y$ , které mohou nabývat hodnot

{displaystyle k_ {y} = {frac {2pi N} {L_ {y}}}}

,

kde $N$ je celé číslo. Povolené hodnoty $N$ jsou dále omezeny podmínkou, že střed síly oscilátoru, $X 0$ , musí fyzicky ležet v systému, $0 \leq X 0 X$ . To dává následující rozsah pro $N$ ,

{displaystyle 0leq N <{frac {momega _ {c} L_ {x} L_ {y}} {2pi hbar}}.}

Pro částice s nábojem $q = Ze$ , horní mez na $N$ lze jednoduše napsat jako poměr tavidla,

{displaystyle {frac {ZBL_ {x} L_ {y}} {(hc / e)}} = Z {frac {Phi} {Phi _ {0}}},}

kde $Φ 0 = hc / e$ je základní kvantum toku a $Φ = BA$ je tok systémem (s oblastí $A = L X L y$ ).

Tedy pro částice se spinem $S$ , maximální počet $D$ částic na úroveň Landau je

{displaystyle D = Z (2S + 1) {frac {Phi} {Phi _ {0}}} ~,}

který pro elektrony (kde $Z$ = 1 a $S$ = 1/2) dává $D = 2Φ / Φ 0$ , dva dostupné stavy pro každé kvantum toku, které pronikne do systému.

Výše uvedené poskytuje pouze přibližnou představu o účincích geometrie konečné velikosti. Přísně vzato, použití standardního řešení harmonického oscilátoru je platné pouze pro systémy neomezené v $X$ -směr (nekonečné proužky). Pokud velikost $L X$ je konečná, okrajové podmínky v tomto směru vedou k nestandardním kvantizačním podmínkám na magnetickém poli, zahrnujícím (v zásadě) obě řešení Hermitovy rovnice. Plnění těchto úrovní mnoha elektrony je stále^[3] aktivní oblast výzkumu.

Obecně jsou hladiny Landau pozorovány v elektronických systémech. Jak se zvyšuje magnetické pole, stále více elektronů se vejde do dané úrovně Landau. Obsazení nejvyšší úrovně Landau se pohybuje od zcela plného po zcela prázdné, což vede k oscilacím v různých elektronických vlastnostech (viz de Haas – van Alphen efekt a Shubnikov – de Haasův efekt ).

Li Zeeman se rozchází je zahrnuta, každá úroveň Landau se rozdělí do dvojice, jedna pro roztočení elektronů a druhá pro roztočení elektronů. Obsazení každé Landauovy úrovně rotace je pak jen poměr toků $D$ = $Φ / Φ 0$ . Zeemanovo rozdělení má významný vliv na úrovně Landau, protože jejich energetické stupnice jsou stejné, $2 μ B B = ħω$ . Energie Fermi a energie základního stavu však zůstávají zhruba stejné v systému s mnoha naplněnými úrovněmi, protože páry rozdělených úrovní energie se při sčítání navzájem ruší.

Diskuse

Tato derivace zachází $X$ a y jako mírně asymetrické. Symetrií systému však není žádná fyzikální veličina, která by tyto souřadnice rozlišovala. Stejného výsledku bylo možné dosáhnout při vhodné výměně $X$ a $y$ .

Výše uvedená derivace navíc předpokládala elektron uzavřený v $z$ -směr, což je relevantní experimentální situace - nachází se například v dvourozměrných elektronových plynech. Tento předpoklad však není pro výsledky zásadní. Pokud se elektrony mohou volně pohybovat po $z$ směru získá vlnová funkce další multiplikativní člen exp ( $ik z z$ ); energie odpovídající tomuto volnému pohybu, $(ħ k z) 2 /(2 m)$ , je přidán do $E$ diskutováno. Tento termín pak vyplňuje energetické oddělení různých úrovní Landau, čímž stírá účinek kvantování. Pohyb v $X$ - $y$ -rovina, kolmá na magnetické pole, je stále kvantována.

Úrovně Landau v symetrickém rozchodu

Symetrický rozchod odkazuje na volbu

{displaystyle {hat {mathbf {A}}} = {frac {1} {2}} mathbf {B} imes {hat {mathbf {r}}} = {frac {1} {2}} {egin {pmatrix} -By Bx 0end {pmatrix}}}

Z hlediska bezrozměrných délek a energií lze Hamiltonián vyjádřit jako

{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2}} vlevo [vlevo (-i {frac {částečné} {částečné x}} - {frac {y} {2}} vpravo) ^ {2} + vlevo (-i {frac {částečný} {částečný y}} + {frac {x} {2}} vpravo) ^ {2} vpravo]}

Správné jednotky lze obnovit zavedením faktorů ${displaystyle q, c, hbar, mathbf {B}}$ a ${displaystyle m}$

Zvažte operátory

{displaystyle {hat {a}} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo [vlevo ({frac {x} {2}} + {frac {částečné} {částečné x}} vpravo) -ileft ( {frac {y} {2}} + {frac {částečný} {částečný y}} vpravo) přesně]}

{displaystyle {hat {a}} ^ {dagger} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo [vlevo ({frac {x} {2}} - {frac {částečné} {částečné x}} vpravo ) + ileft ({frac {y} {2}} - {frac {částečný} {částečný y}} vpravo) ight]}

{displaystyle {hat {b}} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo [vlevo ({frac {x} {2}} + {frac {částečné} {částečné x}} vpravo) + ileft ( {frac {y} {2}} + {frac {částečný} {částečný y}} vpravo) přesně]}

{displaystyle {hat {b}} ^ {dagger} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo [vlevo ({frac {x} {2}} - {frac {částečné} {částečné x}} vpravo ) -ileft ({frac {y} {2}} - {frac {částečný} {částečný y}} vpravo) ight]}

Tito operátoři dodržují určité komutační vztahy

{displaystyle [{hat {a}}, {hat {a}} ^ {dagger}] = [{hat {b}}, {hat {b}} ^ {dagger}] = 1}

.

Z hlediska výše uvedených operátorů lze Hamiltonian psát jako

{displaystyle {hat {H}} = {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + {frac {1} {2}}}

Index úrovně Landau ${displaystyle n}$ je vlastní hodnota ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}}}$

Z složka momentu hybnosti je

{displaystyle {hat {L}} _ {z} = - ihbar {frac {částečné} {částečné heta}} = - hbar ({hat {b}} ^ {dagger} {hat {b}} - {hat {a }} ^ {dagger} {hat {a}})}

Využívání nemovitosti ${displaystyle [{hat {H}}, {hat {L}} _ {z}] = 0}$ vybrali jsme vlastní funkce, které diagonalizují ${displaystyle {hat {H}}}$ a ${displaystyle {hat {L}} _ {z}}$ „Vlastní hodnota ${displaystyle {hat {L}} _ {z}}$ je označen ${displaystyle -mhbar}$ , kde je to jasné ${displaystyle mgeq -n}$ v ${displaystyle n}$ úroveň Landau. Může však být libovolně velký, což je nezbytné pro získání nekonečné degenerace (nebo konečné degenerace na jednotku plochy), kterou systém vykazuje.

Aplikace ${displaystyle {hat {b}} ^ {dagger}}$ zvyšuje ${displaystyle m}$ o jednu jednotku při zachování ${displaystyle n}$ , zatímco ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger}}$ aplikace se současně zvyšuje ${displaystyle n}$ a klesá ${displaystyle m}$ o jednu jednotku. Analogie k kvantový harmonický oscilátor poskytuje řešení

{displaystyle {hat {H}} | n, mangle = E_ {n} | n, mangle}

{displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {c} vlevo (n + {frac {1} {2}} vpravo)}

{displaystyle | n, mangle = {frac {({hat {b}} ^ {dagger}) ^ {m + n}} {sqrt {(m + n)!}}} {frac {({hat {a} } ^ {dagger}) ^ {n}} {sqrt {n!}}} | 0,0angle}

Každá úroveň Landau má zdegenerované orbitaly označené kvantovými čísly $k y$ a ${displaystyle m}$ v Landau a symetrických měřidel. Degenerace na jednotku plochy je v každé úrovni Landau stejná.

Lze ověřit, že výše uvedené stavy odpovídají volbě vlnových funkcí úměrných

{displaystyle psi _ {n, m} (x, y) = vlevo ({frac {částečné} {částečné w}} - {frac {ar {w}} {4}} včas) ^ {n} w ^ {n + m} e ^ {- | w | ^ {2} / 4}}

kde ${displaystyle w = x + iy}$ .

Zejména nejnižší úroveň Landau ${displaystyle n = 0}$ skládá se z libovolných analytických funkcí násobících Gaussian, ${displaystyle psi (x, y) = f (w) e ^ {- | w | ^ {2} / 4}}$ .

Účinky transformace měřidla

{displaystyle mathbf {A} o mathbf {A} '= mathbf {A} + {oldsymbol {abla}} lambda (mathbf {x})}

Definice kinematického momentu je

{displaystyle {hat {oldsymbol {pi}}} = {hat {mathbf {p}}} - q {hat {mathbf {A}}} / c}

kde ${displaystyle {hat {mathbf {p}}}}$ jsou kanonickým momentem. Hamiltonian je měřidlo neměnné ${displaystyle langle {hat {oldsymbol {pi}}} úhel}$ a ${displaystyle langle {hat {mathbf {x}}} úhel}$ pod transformacemi měřidla zůstane neměnný, ale ${displaystyle langle {hat {mathbf {p}}} úhel}$ Závisí to na měřidle. Chcete-li sledovat účinek transformace měřidla na kvantový stav částice, zvažte stav s A a A' tak jako vektorový potenciál se státy ${displaystyle | alfa úhel}$ a ${displaystyle | alfa 'úhel}$ .

Tak jako ${displaystyle langle {hat {mathbf {x}}} úhel}$ a ${displaystyle langle {hat {oldsymbol {pi}}} úhel}$ je invariantní pod transformací měřidla, kterou dostaneme

{displaystyle langle alpha | {hat {mathbf {x}}} | alpha angle = langle alpha '| {hat {mathbf {x}}} | alpha' angle}

{displaystyle langle alpha | {hat {oldsymbol {pi}}} | alpha angle = langle alpha '| {hat {oldsymbol {pi}}}' | alpha 'angle}

{displaystyle langle alpha | alpha angle = langle alpha '| alpha' angle}

Zvažte operátora ${displaystyle {mathcal {G}}}$ takhle ${displaystyle | alpha 'angle = {mathcal {G}} | alfa úhel}$

z výše uvedeného vztahu to odvodíme

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} {hat {mathbf {x}}} {mathcal {G}} = {hat {mathbf {x}}}}

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} vlevo ({hat {mathbf {p}}} - {frac {e {hat {mathbf {A}}}} {c}} - {frac {e {oldsymbol { abla}} lambda (mathbf {x})} {c}} ight) {mathcal {G}} = {hat {p}} - {frac {e {hat {mathbf {A}}}} {c}}}

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} {mathcal {G}} = 1}

z toho usuzujeme

{displaystyle {mathcal {G}} = exp left ({frac {ielambda (mathbf {x})} {hbar c}} ight)}

Magnetická susceptibilita Fermiho plynu

Nejdůležitější příklad a Fermiho plyn elektronů. Tyto Fermiho plyny jsou součástí základny pro pochopení fyzikálních vlastností kovů. V roce 1939 Landau odvodil odhad pro magnetická susceptibilita plynu Fermi, známého jako Citlivost na Landau, což je konstanta pro malá magnetická pole. Landau si také všiml, že citlivost osciluje s vysokou frekvencí pro velká magnetická pole,^[4], tento fyzikální jev je znám jako de Haas – van Alphen efekt.

Dvojrozměrná mříž

The pevná vazba energetické spektrum nabitých částic v dvourozměrné nekonečné mřížce je známo podobný a fraktální, jak je uvedeno v Hofstadterův motýl. Pro celočíselný poměr kvantový magnetický tok a magnetický tok skrz mřížkovou buňku, obnoví Landauovy úrovně pro velká celá čísla.^[5]

Viz také

Reference

^ Landau, L. D. (1930). Diamagnetismus kovů. Zeitschrift für Physik, 64 (9-10), 629-637.
^ Landau, L. D. a Lifshitz, E. M., (1981). Kvantová mechanika; Nerelativistická teorie. 3. vydání. Butterworth-Heinemann. 424-426.
^ Mikhailov, S.A. (2001). „Nový přístup k základnímu stavu kvantových Hallových systémů. Základní principy“. Physica B: Kondenzovaná látka. 299: 6. arXiv:cond-mat / 0008227. Bibcode:2001PhyB..299 .... 6M. doi:10.1016 / S0921-4526 (00) 00769-9.
^ Landau, L. D .; Lifshitz, E. M. (22. října 2013). Statistická fyzika: Svazek 5. Elsevier. str. 177. ISBN 978-0-08-057046-4.
^ Analytis, James G .; Blundell, Stephen J .; Ardavan, Arzhang (květen 2004). „Úrovně Landau, molekulární orbitaly a motýl Hofstadter v konečných systémech“. American Journal of Physics. 72 (5): 613–618. doi:10.1119/1.1615568. ISSN 0002-9505.

Další čtení

Landau, L. D .; a Lifschitz, E. M .; (1977). Kvantová mechanika: Nerelativistická teorie. Kurz teoretické fyziky. Sv. 3 (3. vyd. London: Pergamon Press). ISBN 0750635398.

[1] Landau, L. D. (1930). Diamagnetismus kovů. Zeitschrift für Physik, 64 (9-10), 629-637.

[2] Landau, L. D. a Lifshitz, E. M., (1981). Kvantová mechanika; Nerelativistická teorie. 3. vydání. Butterworth-Heinemann. 424-426.

[3] Mikhailov, S.A. (2001). „Nový přístup k základnímu stavu kvantových Hallových systémů. Základní principy“. Physica B: Kondenzovaná látka. 299: 6. arXiv:cond-mat / 0008227. Bibcode:2001PhyB..299 .... 6M. doi:10.1016 / S0921-4526 (00) 00769-9.

[LandauLifshitz2013-4] Landau, L. D .; Lifshitz, E. M. (22. října 2013). Statistická fyzika: Svazek 5. Elsevier. str. 177. ISBN 978-0-08-057046-4.

[5] Analytis, James G .; Blundell, Stephen J .; Ardavan, Arzhang (květen 2004). „Úrovně Landau, molekulární orbitaly a motýl Hofstadter v konečných systémech“. American Journal of Physics. 72 (5): 613–618. doi:10.1119/1.1615568. ISSN 0002-9505.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]