Schrödingerův obrázek - Schrödinger picture

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v fyzika, Schrödingerův obrázek (nazývané také Schrödingerova reprezentace^[1]) je formulací kvantová mechanika ve kterém stavové vektory se vyvíjejí v čase, ale operátoři (pozorovatelní a další) jsou vzhledem k času konstantní.^[2][3] To se liší od Heisenbergův obrázek který udržuje stavy konstantní, zatímco pozorovatelné se vyvíjejí v čase a od interakční obrázek ve kterém se jak státy, tak pozorovatelné vyvíjejí v čase. Obrázky Schrödingera a Heisenberga jsou příbuzné jako aktivní a pasivní transformace a komutační vztahy mezi operátory jsou zachovány v pasáži mezi dvěma obrázky.

V Schrödinger obrázek, stav systému se vyvíjí s časem. Vývoj uzavřeného kvantového systému přináší a nečleněný operátor, operátor vývoje času. Pro vývoj času ze stavového vektoru ${ displaystyle | psi (t_ {0}) rangle}$ v čase t₀ do stavového vektoru ${ displaystyle | psi (t) rangle}$ v čase t, je běžně psán operátor evoluce času ${ displaystyle U (t, t_ {0})}$a jeden má

${ displaystyle | psi (t) rangle = U (t, t_ {0}) | psi (t_ {0}) rangle.}$

V případě, že Hamiltonian systému se nemění s časem, operátor časového vývoje má formu

${ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- iH (t-t_ {0}) / hbar},}$

kde je exponent vyhodnocen pomocí jeho Taylor série.

Schrödingerův obrázek je užitečný, když se jedná o časově nezávislý hamiltonián H; to je ${ displaystyle částečné _ {t} H = 0}$.

Pozadí

V elementární kvantové mechanice je Stát kvantově-mechanického systému představuje komplexně oceněný vlnová funkce ψ(X, t). Více abstraktně, stát může být reprezentován jako stavový vektor, nebo ket, ${ displaystyle | psi rangle}$. Tato sada je prvkem a Hilbertův prostor, vektorový prostor obsahující všechny možné stavy systému. Kvantově mechanický operátor je funkce, která bere ket ${ displaystyle | psi rangle}$ a vrátí nějaký další ket ${ displaystyle | psi ' rangle}$.

Rozdíly mezi Schrödingerovým a Heisenbergovým obrazem kvantové mechaniky se točí kolem toho, jak se vypořádat se systémy, které se vyvíjejí v čase: časově závislá povaha systému musí být nesen nějakou kombinací stavových vektorů a operátorů. Například a kvantový harmonický oscilátor může být ve stavu ${ displaystyle | psi rangle}$ pro které očekávaná hodnota hybnosti, ${ displaystyle langle psi | { hat {p}} | psi rangle}$, osciluje v čase sinusově. Lze se potom zeptat, zda by se tato sinusová oscilace měla odrážet ve stavovém vektoru ${ displaystyle | psi rangle}$, operátor hybnosti ${ displaystyle { hat {p}}}$, nebo oboje. Všechny tři z těchto možností jsou platné; první dává Schrödingerův obrázek, druhý Heisenbergův obrázek a třetí interakční obrázek.

Operátor vývoje času

Definice

Operátor vývoje času U(t, t₀) je definován jako operátor, který působí na ket v čase t₀ vyrábět ket někdy jindy t:

${ displaystyle | psi (t) rangle = U (t, t_ {0}) | psi (t_ {0}) rangle.}$

Pro podprsenky místo toho máme

${ displaystyle langle psi (t) | = langle psi (t_ {0}) | U ^ { dagger} (t, t_ {0}).}$

Vlastnosti

• Jednotnost

Operátor vývoje času musí být unitární. Je to proto, že požadujeme, aby norma stavu se nesmí časem měnit. To znamená,

${ displaystyle langle psi (t) | psi (t) rangle = langle psi (t_ {0}) | U ^ { dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | psi (t_ {0}) rangle = langle psi (t_ {0}) | psi (t_ {0}) rangle.}$

Proto,

${ displaystyle U ^ { dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I.}$

• Identita

Když t = t₀, U je operátor identity, od té doby

${ displaystyle | psi (t_ {0}) rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | psi (t_ {0}) rangle.}$

• Uzavření

Vývoj času od t₀ na t lze považovat za dvoustupňový časový vývoj, nejprve od t₀ na mezičas t₁a poté od t₁ do posledního času t. Proto,

${ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}).}$

Diferenciální rovnice pro operátora evoluce času

Pustíme t₀ index v operátoru vývoje času s konvencí, že t₀ = 0 a napište to jako U(t). The Schrödingerova rovnice je

${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = H | psi (t) rangle,}$

kde H je Hamiltonian. Nyní pomocí operátoru evoluce času U psát ${ displaystyle | psi (t) rangle = U (t) | psi (0) rangle}$, my máme

${ Displaystyle i hbar { částečné nad částečné t} U (t) | psi (0) rangle = HU (t) | psi (0) rangle.}$

Od té doby ${ displaystyle | psi (0) rangle}$ je konstantní ket (stav ket na t = 0), a protože výše uvedená rovnice platí pro jakoukoli konstantní ket v Hilbertově prostoru, musí se operátor evoluce času řídit rovnicí

${ displaystyle i hbar { částečné nad částečné t} U (t) = HU (t).}$

Pokud je hamiltonián nezávislý na čase, řešení výše uvedené rovnice je^{[poznámka 1]}

${ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / hbar}.}$

Od té doby H je operátor, tento exponenciální výraz se má hodnotit pomocí jeho Taylor série:

${ displaystyle e ^ {- iHt / hbar} = 1 - { frac {iHt} { hbar}} - { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {Ht} { hbar} } vpravo) ^ {2} + cdots.}$

Proto,

${ displaystyle | psi (t) rangle = e ^ {- iHt / hbar} | psi (0) rangle.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle | psi (0) rangle}$ je libovolný ket. Pokud je však počáteční ket je vlastní stát Hamiltonian, s vlastní hodnotou E, dostaneme:

${ displaystyle | psi (t) rangle = e ^ {- iEt / hbar} | psi (0) rangle.}$

Vidíme tedy, že vlastní stavy Hamiltonianů jsou stacionární stavy: zachycují pouze celkový fázový faktor, jak se vyvíjejí s časem.

Pokud je Hamiltonian závislý na čase, ale Hamiltonians v různých dobách dojíždí, pak lze operátor časového vývoje napsat jako

${ displaystyle U (t) = exp left ({- { frac {i} { hbar}} int _ {0} ^ {t} H (t ') , dt'} vpravo), }$

Pokud je Hamiltonian závislý na čase, ale Hamiltonians v různých časech nedojíždí, pak lze operátor časového vývoje napsat jako

${ displaystyle U (t) = mathrm {T} exp left ({- { frac {i} { hbar}} int _ {0} ^ {t} H (t ') , dt' }že jo),}$

kde T je objednávání času operátor, který je někdy známý jako Řada Dyson, po Freeman Dyson.

Alternativou k Schrödingerovu obrázku je přepnutí na rotující referenční snímek, který se sám otáčí propagátorem. Jelikož undulatory rotaci nyní předpokládá samotný referenční rámec, funkce nerušeného stavu se jeví jako skutečně statická. To je Heisenbergův obrázek.

Souhrnné srovnání vývoje na všech obrázcích

Pro časově nezávislý hamiltonián H_S, kde H_{0, S.} je zdarma Hamiltonian,

Vývoj	Obrázek
z:	Heisenberg	Interakce	Schrödinger
Stát Ket	konstantní	${ displaystyle | psi _ {I} (t) rangle = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} | psi _ {S} (t) rangle}$	${ displaystyle | psi _ {S} (t) rangle = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} | psi _ {S} (0) rangle}$
Pozorovatelný	${ displaystyle A_ {H} (t) = e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	konstantní
Matice hustoty	konstantní	${ displaystyle rho _ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle rho _ {S} (t) = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} rho _ {S} (0) e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar}}$

Viz také

• Hamiltonova-Jacobiho rovnice
• Interakční obrázek
• Heisenbergův obrázek
• Formulace fázového prostoru
• POVM
• Matematická formulace kvantové mechaniky

Poznámky

Reference

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Kvantová mechanika (první díl). Paris: Wiley. 312–314. ISBN  0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Kvantová mechanika (Sv. I), anglický překlad z francouzštiny G. M. Temmer. Severní Holandsko, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Kvantová mechanika (3. vydání, John Wiley 1998) str. 430–1 ISBN  0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Kvantová mechanika: nerelativistická teorie. Sv. 3 (3. vyd.). Pergamon Press. ISBN  978-0-08-020940-1. Online kopie
• R. Shankar (1994); Principy kvantové mechaniky, Plénum Press, ISBN  978-0-306-44790-7 .
• J. J. Sakurai (1993); Moderní kvantová mechanika (Revidované vydání), ISBN  978-0-201-53929-5 .