Kvantový počet - Quantum calculus

Kvantový počet, někdy nazývané počet bez omezení, je ekvivalentní tradičnímu nekonečně malý počet bez představy o limity. Definuje „q-kalkul“ a „h-kalkul“, kde h údajně znamená Planckova konstanta zatímco q znamená kvantum. Tyto dva parametry jsou spojeny vzorcem

${ displaystyle q = e ^ {ih} = e ^ {2 pi i hbar} ,}$

kde ${ displaystyle scriptstyle hbar = { frac {h} {2 pi}} ,}$ je snížená Planckova konstanta.

Diferenciace

V q-kalkulu a h-kalkulu diferenciály funkcí je definováno jako

${ displaystyle d_ {q} (f (x)) = f (qx) -f (x) ,}$

a

${ displaystyle d_ {h} (f (x)) = f (x + h) -f (x) ,}$

resp. Deriváty funkce jsou poté definovány jako zlomky q-derivát

${ displaystyle D_ {q} (f (x)) = { frac {d_ {q} (f (x))} {d_ {q} (x)}} = { frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}$

a tím

${ displaystyle D_ {h} (f (x)) = { frac {d_ {h} (f (x))} {d_ {h} (x)}} = { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

V omezit, jak h jde na 0, nebo ekvivalentně jako q jde na 1, tyto výrazy mají formu derivace klasického počtu.

Integrace

q-integrál

Funkce F(X) je q-primitivní funkce F(X) pokud D_qF(X) = F(X). Q-antiderivativ (nebo q-integrál) je označen ${ displaystyle int f (x) , d_ {q} x}$ a výraz pro F(X) lze najít ze vzorce ${ displaystyle int f (x) , d_ {q} x = (1-q) součet _ {j = 0} ^ { infty} xq ^ {j} f (xq ^ {j})}$ který se nazývá Jacksonův integrál z F(X). Pro 0 < q < 1, řada konverguje k funkci F(X) na intervalu (0,A] pokud |F(X)X^α| je ohraničen intervalem (0,A] pro některé 0 ≤ α < 1.

Q-integrál je a Riemann – Stieltjesův integrál s ohledem na a kroková funkce mít nekonečně mnoho bodů nárůstu v bodech q^j, se skokem v bodě q^j bytost q^j. Nazveme-li tento krok funkcí G_q(t) pak dg_q(t) = d_qt.^[1]

h-integrál

Funkce F(X) je h-antiderivativem F(X) pokud D_hF(X) = F(X). H-primitivní funkce (nebo h-integrál) je označena ${ displaystyle int f (x) , d_ {h} x}$. Li A a b se liší o celočíselný násobek h pak určitý integrál${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , d_ {h} x}$ je dán a Riemannova suma z F(X) na intervalu [A,b] rozdělené na podintervaly šířkyh.

Příklad

Derivace funkce ${ displaystyle x ^ {n}}$ (pro nějaké kladné celé číslo ${ displaystyle n}$) v klasickém počtu je ${ displaystyle nx ^ {n-1}}$. Odpovídající výrazy v q-kalkulu a h-kalkulu jsou

${ displaystyle D_ {q} (x ^ {n}) = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1} = [n] _ {q} x ^ {n-1}}$

s držák q

${ displaystyle [n] _ {q} = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}}}$

a

${ displaystyle D_ {h} (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} + { frac {n (n-1)} {2}} hx ^ {n-2} + cdots + h ^ {n-1}}$

resp. Výraz ${ displaystyle [n] _ {q} x ^ {n-1}}$ je pak analogem kalkulu q jednoduchého pravidla výkonu pro pozitivní integrální síly. V tomto smyslu funkce ${ displaystyle x ^ {n}}$ je stále pěkný v q-kalkulu, ale spíše v h-kalkulu - analogii h-kalkulu ${ displaystyle x ^ {n}}$ je místo toho klesající faktoriál, ${ displaystyle (x) _ {n}: = x (x-1) cdots (x-n + 1).}$Lze postupovat dále a rozvíjet například ekvivalentní pojmy Taylorova expanze, atd., a dokonce dorazit k analogům q-kalkulu pro všechny obvyklé funkce, které by člověk chtěl mít, jako je analog pro sinus funkce, jejíž q-derivát je vhodný analog pro kosinus.

Dějiny

H-kalkul je jen počet konečných rozdílů, který studoval George Boole a další a osvědčil se v řadě oblastí, mezi nimi i kombinatorika a mechanika tekutin. Q-kalkul, zatímco datování v jistém smyslu zpět Leonhard Euler a Carl Gustav Jacobi, teprve nedávno začíná být více užitečných kvantová mechanika, které mají intimní spojení s komutativními vztahy a Lež algebra.

Viz také

• Nekomutativní geometrie
• Kvantový diferenciální počet
• Počítadlo časové stupnice
• q-analog

Reference

• Jackson, F. H. (1908). "Na q-funkce a operátor určitého rozdílu ". Transakce Royal Society of Edinburgh. 46 (2): 253–281. doi:10.1017 / S0080456800002751.
• Exton, H. (1983). q-Hypergeometrické funkce a aplikace. New York: Halstead Press. ISBN  0-85312-491-4.
• Kac, Victor; Cheung, Pokman (2002). Kvantový počet. Universitext. Springer-Verlag. ISBN  0-387-95341-8.