Kvantová statistická mechanika - Quantum statistical mechanics

Moderní fyzika
${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {n} (t) rangle = i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi _ {n} (t) zvonit}$ ${ displaystyle { frac {1} {{c} ^ {2}}} { frac {{ částečné} ^ {2} { phi} _ {n}} {{částečné t} ^ {2} }} - {{ nabla} ^ {2} { phi} _ {n}} + { left ({ frac {mc} { hbar}} right)} ^ {2} { phi} _ {n} = 0}$ Dynamika potrubí: Schrödinger a Klein-Gordonovy rovnice
Zakladatelé Max Planck  · Albert Einstein  · Niels Bohr  · Max Born  · Werner Heisenberg  · Erwin Schrödinger  · Pascual Jordan  · Wolfgang Pauli  · Paul Dirac  · Ernest Rutherford  · Louis de Broglie  · Satyendra Nath Bose
Koncepty Topologie  · Prostor  · Čas  · Energie  · Hmota  · Práce Náhodnost  · Informace  · Entropie  · Mysl Světlo  · Částice  · Mávat
Pobočky Aplikovaný  · Experimentální  · Teoretický Matematický  · Filozofie fyziky Kvantová mechanika (Teorie kvantového pole  · Kvantové informace  · Kvantový výpočet ) Elektromagnetismus  · Slabá interakce  · Elektroslabá interakce Silná interakce Atomový  · Částice  · Jaderná Atomová, molekulární a optická Kondenzované látky  · Statistický Složité systémy  · Nelineární dynamika  · Biofyzika Neurofyzika Fyzika plazmatu Speciální relativita  · Obecná relativita Astrofyzika  · Kosmologie Teorie gravitace Kvantová gravitace  · Teorie všeho
Vědci Witten  · Röntgen  · Becquerel  · Lorentz  · Planck  · Curie  · Vídeň  · Skłodowska-Curie  · Sommerfeld  · Rutherford  · Soddy  · Onnes  · Einstein  · Wilczek  · narozený  · Weyl  · Bohr  · Schrödinger  · de Broglie  · Laue  · Bose  · Compton  · Pauli  · Walton  · Fermi  · van der Waals  · Heisenberg  · Dysone  · Zeeman  · Moseley  · Hilbert  · Gödel  · Jordán  · Dirac  · Vůdce  · Hawking  · P. W. Anderson  · Lemaître  · Thomson  · Poincaré  · Kolář  · Penrose  · Millikan  · Nambu  · von Neumann  · Higgs  · Hahn  · Feynman  · Yang  · Závětří  · Lenard  · salám  · 't Hooft  · Zvonek  · Gell-Mann  · J. J. Thomson  · Raman  · Bragg  · Bardeen  · Shockley  · Chadwick  · Lawrence  · Zeilinger  · Goudsmit  · Uhlenbeck
Kategorie ► Moderní fyzika

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

Kvantová statistická mechanika je statistická mechanika aplikován na kvantově mechanické systémy. V kvantové mechanice a statistický soubor (rozdělení pravděpodobnosti nad možné kvantové stavy ) je popsán a operátor hustoty S, což je nezáporné, samoadjung, stopová třída operátor stopy 1 na internetu Hilbertův prostor H popisující kvantový systém. To lze zobrazit pod různými matematické formalizmy pro kvantovou mechaniku. Jeden takový formalismus poskytuje kvantová logika.

Očekávání

Z klasické teorie pravděpodobnosti víme, že očekávání a náhodná proměnná X je definován jeho rozdělení D_X podle

${ displaystyle mathbb {E} (X) = int _ { mathbb {R}} lambda , d , operatorname {D} _ {X} ( lambda)}$

samozřejmě za předpokladu, že náhodná proměnná je integrovatelný nebo že náhodná proměnná není záporná. Podobně nechte A být pozorovatelný kvantově mechanického systému. A je dán hustě definovaným samoadjungovaným operátorem na H. The spektrální míra z A definován

${ displaystyle operatorname {E} _ {A} (U) = int _ {U} lambda d operatorname {E} ( lambda),}$

jednoznačně určuje A a naopak je jednoznačně určen A. E_A je booleovský homomorfismus z podmnožin Borel z R do mříže Q samoadjungovaných projekcí H. Analogicky s teorií pravděpodobnosti daný stav S, představujeme rozdělení z A pod S což je míra pravděpodobnosti definovaná na podmnožinách Borel z R podle

${ displaystyle operatorname {D} _ {A} (U) = operatorname {Tr} ( operatorname {E} _ {A} (U) S).}$

Podobně očekávaná hodnota A je definováno z hlediska rozdělení pravděpodobnosti D_A podle

${ displaystyle mathbb {E} (A) = int _ { mathbb {R}} lambda , d , operatorname {D} _ {A} ( lambda).}$

Všimněte si, že toto očekávání je relativní ke smíšenému stavu S který se používá v definici D._A.

Poznámka. Z technických důvodů je třeba samostatně zvážit pozitivní a negativní části A definováno Borelův funkční kalkul pro neomezené operátory.

Lze snadno ukázat:

${ displaystyle mathbb {E} (A) = operatorname {Tr} (AS) = operatorname {Tr} (SA).}$

Všimněte si, že pokud S je čistý stav odpovídající vektor then, pak:

${ displaystyle mathbb {E} (A) = langle psi | A | psi rangle.}$

Trasa operátoru A je zapsána následovně:

${ displaystyle operatorname {Tr} (A) = součet _ {m} langle m | A | m rangle.}$

Von Neumannova entropie

Zvláštní význam pro popis náhodnosti stavu má von Neumannova entropie S formálně definován

${ displaystyle operatorname {H} (S) = - operatorname {Tr} (S log _ {2} S)}$.

Vlastně provozovatel S log₂ S není nutně stopová třída. Pokud však S je nezáporný samoadjungovaný operátor, který není sledovací třídy, definujeme Tr (S) = + ∞. Všimněte si také, že každý operátor hustoty S může být diagonalizován, že může být reprezentován v nějakém ortonormálním základě (možná nekonečnou) maticí formy

${ displaystyle { begin {bmatrix} lambda _ {1} & 0 & cdots & 0 & cdots 0 & lambda _ {2} & cdots & 0 & cdots vdots & vdots & ddots & 0 & 0 && lambda _ {n} & vdots & vdots &&& ddots end {bmatrix}}}$

a definujeme

${ displaystyle operatorname {H} (S) = - součet _ {i} lambda _ {i} log _ {2} lambda _ {i}.}$

Konvence je taková ${ displaystyle ; 0 log _ {2} 0 = 0}$, protože událost s pravděpodobností nula by neměla přispívat k entropii. Tato hodnota je rozšířené reálné číslo (tj. V [0, ∞]) a jedná se zjevně o jednotkový invariant S.

Poznámka. Je skutečně možné, že H (S) = + ∞ pro některého operátora hustoty S. Ve skutečnosti T být úhlopříčná matice

${ displaystyle T = { begin {bmatrix} { frac {1} {2 ( log _ {2} 2) ^ {2}}} & 0 & cdots & 0 & cdots 0 & { frac {1} { 3 ( log _ {2} 3) ^ {2}}} & cdots & 0 & cdots vdots & vdots & ddots & 0 & 0 && { frac {1} {n ( log _ {2 } n) ^ {2}}} & vdots & vdots &&& ddots end {bmatrix}}}$

T je nezáporná stopová třída a lze ji ukázat T log₂ T není stopová třída.

Teorém. Entropie je jednotný invariant.

Analogicky s klasická entropie (všimněte si podobnosti v definicích), H (S) měří míru náhodnosti ve stavu S. Čím více jsou vlastní čísla rozptýleny, tím větší je entropie systému. Pro systém, ve kterém je prostor H je konečně-dimenzionální, entropie je pro státy maximalizována S které v diagonální formě mají zastoupení

${ displaystyle { begin {bmatrix} { frac {1} {n}} & 0 & cdots & 0 0 & { frac {1} {n}} & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & { frac {1} {n}} end {bmatrix}}}$

Pro takové S, H (S) = log₂ n. Stát S se nazývá maximálně smíšený stav.

Připomeňme, že a čistý stav je jednou z forem

${ displaystyle S = | psi rangle langle psi |,}$

pro ψ vektor normy 1.

Teorém. H (S) = 0 pouze a jen tehdy S je čistý stav.

Pro S je čistý stav právě tehdy, má-li jeho úhlopříčka přesně jeden nenulový vstup, což je 1.

Entropii lze použít jako měřítko Kvantové zapletení.

Gibbsův kanonický soubor

Zvažte soubor systémů popsaných Hamiltonianem H s průměrnou energií E. Li H má čisté bodové spektrum a vlastní čísla ${ displaystyle E_ {n}}$ z H přejděte na + ∞ dostatečně rychle, např^{−r H} bude nezáporným operátorem třídy stop pro každou kladnou položku r.

The Gibbsův kanonický soubor je popsán státem

${ displaystyle S = { frac { mathrm {e} ^ {- beta H}} { operatorname {Tr} ( mathrm {e} ^ {- beta H})}}}}$

Kde β je takové, že průměrný soubor energie uspokojí

${ displaystyle operatorname {Tr} (SH) = E}$

a

${ displaystyle operatorname {Tr} ( mathrm {e} ^ {- beta H}) = součet _ {n} mathrm {e} ^ {- beta E_ {n}} = Z ( beta) }$

Tomu se říká funkce oddílu; je to kvantově mechanická verze kanonická funkce oddílu klasické statistické mechaniky. Pravděpodobnost, že systém náhodně vybraný ze souboru bude ve stavu odpovídajícímu vlastnímu číslu energie ${ displaystyle E_ {m}}$ je

${ displaystyle { mathcal {P}} (E_ {m}) = { frac { mathrm {e} ^ {- beta E_ {m}}} { sum _ {n} mathrm {e} ^ {- beta E_ {n}}}}.}$

Za určitých podmínek Gibbsův kanonický soubor maximalizuje von Neumannovu entropii státu podléhajícího požadavku na zachování energie.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Velký kanonický soubor

U otevřených systémů, kde může energie a počet částic kolísat, je systém popsán v velký kanonický soubor, popsáno maticí hustoty

${ displaystyle rho = { frac { mathrm {e} ^ { beta ( sum _ {i} mu _ {i} N_ {i} -H)}} { operatorname {Tr} vlevo ( mathrm {e} ^ { beta ( sum _ {i} mu _ {i} N_ {i} -H)} right)}}}$

Kde N₁, N₂, ... jsou operátory počtu částic pro různé druhy částic, které jsou vyměňovány s rezervoárem. Všimněte si, že se jedná o matici hustoty zahrnující mnohem více stavů (různého N) ve srovnání s kanonickým souborem.

Funkce velkého oddílu je

${ displaystyle { mathcal {Z}} ( beta, mu _ {1}, mu _ {2}, cdots) = operatorname {Tr} ( mathrm {e} ^ { beta ( součet _ {i} mu _ {i} N_ {i} -H)})}$

Reference

• J. von Neumann, Matematické základy kvantové mechaniky, Princeton University Press, 1955.
• F. Reif, Statistická a tepelná fyzika, McGraw-Hill, 1965.