Pauliho rovnice - Pauli equation

v kvantová mechanika, Pauliho rovnice nebo Schrödingerova-Pauliho rovnice je formulace Schrödingerova rovnice pro spin-½ částice, která bere v úvahu interakci částic roztočit s externím elektromagnetické pole. Je torelativistické limit Diracova rovnice a lze je použít tam, kde se částice pohybují rychlostí mnohem menší než rychlost světla, takže relativistické efekty mohou být zanedbávány. Byl formulován Wolfgang Pauli v roce 1927.^[1]

Rovnice

Pro částici hmoty ${displaystyle m}$ a elektrický náboj ${displaystyle q}$ , v elektromagnetické pole popsal potenciál magnetického vektoru ${displaystyle mathbf {A}}$ a elektrický skalární potenciál ${displaystyle phi}$ , Pauliho rovnice zní:

Pauliho rovnice (Všeobecné)

${displaystyle left [{frac {1} {2m}} ({oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A})) ^ {2} + qphi ight] | psi angle = ihbar {frac {částečné } {částečné t}} | úhel psi}$

Tady ${displaystyle {oldsymbol {sigma}} = (sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z})}$ jsou Pauli operátoři shromážděny do vektoru pro větší pohodlí a ${displaystyle mathbf {p} = -ihbar abla}$ je operátor hybnosti. Stav systému, ${displaystyle | psi úhel}$ (napsáno v Diracova notace ), lze považovat za dvousložkový spinor vlnová funkce nebo vektor sloupce (po výběru základu):

{displaystyle | psi angle = psi _ {+} |! úhel uparrow + psi _ {-} |! úhel downarrow, {stackrel {cdot} {=}}, {egin {bmatrix} psi _ {+} psi _ { -} konec {bmatrix}}}

.

The Hamiltonovský operátor je matice 2 × 2 z důvodu Pauli operátoři.

{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2m}} left [{oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A}) ight] ^ {2} + qphi}

Střídání do Schrödingerova rovnice dává Pauliho rovnici. Tento Hamiltonian je podobný klasickému Hamiltonian pro nabitou částici interagující s elektromagnetickým polem. Vidět Lorentzova síla pro podrobnosti tohoto klasického případu. The Kinetická energie termín pro volnou částici v nepřítomnosti elektromagnetického pole je spravedlivý ${displaystyle {frac {mathbf {p} ^ {2}} {2m}}}$ kde ${displaystyle mathbf {p}}$ je kinetický hybnost, zatímco v přítomnosti elektromagnetického pole zahrnuje minimální vazba ${displaystyle mathbf {Pi} = mathbf {p} -qmathbf {A}}$ , kam teď ${displaystyle mathbf {Pi}}$ je kinetická hybnost a ${displaystyle mathbf {p}}$ je kanonická hybnost.

Pauliho operátory lze z termínu kinetické energie odstranit pomocí Pauliho vektorová identita:

{displaystyle ({oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {a}) ({oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {b}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + i {oldsymbol {sigma}} cdot left (mathbf {a} imes mathbf {b} ight)}

Všimněte si, že na rozdíl od vektoru je operátor diferenciálu ${displaystyle mathbf {p} -qmathbf {A} = -ihbar abla -qmathbf {A}}$ má nenulový křížový produkt sám se sebou. To lze vidět zvážením křížového produktu aplikovaného na skalární funkci ${displaystyle psi}$ :

{displaystyle left [left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) imes left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) ight] psi = -qleft [mathbf {p} imes left (mathbf {A} psi) ight) + mathbf {A} vlevo (mathbf {p} psi ight) ight] = iqhbar vlevo [abla imes left (mathbf {A} psi ight) + mathbf {A} vlevo (abla psi ight) ight) = iqhbar left [psi left (abla imes mathbf {A} ight) -mathbf {A} imes left (abla psi ight) + mathbf {A} imes left (abla imes mathbf {A} ight) = mathbf {B} psi}

kde ${displaystyle mathbf {B} = abla imes mathbf {A}}$ je magnetické pole.

Za úplnou Pauliho rovnici pak jeden získá^[2]

Pauliho rovnice (standardní forma)

${displaystyle {hat {H}} | psi angle = left [{frac {1} {2m}} left [left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) ^ {2} -qhbar {oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {B} ight] + qphi ight] | psi úhel = ihbar {frac {částečný} {částečný t}} | úhel psi}$

Slabé magnetické pole

V případě, kdy je magnetické pole konstantní a homogenní, lze se rozpínat ${extstyle (mathbf {p} -qmathbf {A}) ^ {2}}$ pomocí symetrického měřidla ${extstyle mathbf {A} = {frac {1} {2}} mathbf {B} imes mathbf {r}}$ , kde ${extstyle mathbf {r}}$ je operátor polohy. Získáváme

{displaystyle (mathbf {p} -qmathbf {A}) ^ {2} = | mathbf {p} | ^ {2} -q (mathbf {r} imes mathbf {p}) cdot mathbf {B} + {frac { 1} {4}} q ^ {2} vlevo (| mathbf {B} | ^ {2} | mathbf {r} | ^ {2} - | mathbf {B} cdot mathbf {r} | ^ {2} ight ) přibližně mathbf {p} ^ {2} -qmathbf {L} cdot mathbf {B} ,,}

kde ${extstyle mathbf {L}}$ je částice moment hybnosti a zanedbali jsme výrazy v magnetickém poli na druhou ${extstyle B ^ {2}}$ . Proto získáváme

Pauliho rovnice (slabá magnetická pole)

${displaystyle left [{frac {1} {2m}} left [left (| mathbf {p} | ^ {2} -q (mathbf {L} + 2mathbf {S}) cdot mathbf {B} ight) ight] + qphi ight] | psi úhel = ihbar {frac {částečný} {částečný t}} | úhel psi}$

kde ${extstyle mathbf {S} = hbar {oldsymbol {sigma}} / 2}$ je roztočit částice. Faktor 2 před rotací je známý jako Dirac G-faktor. Termín v ${extstyle mathbf {B}}$ , má formu ${extstyle - {oldsymbol {mu}} cdot mathbf {B}}$ což je obvyklá interakce mezi magnetickým momentem ${extstyle {oldsymbol {mu}}}$ a magnetické pole, jako v Zeemanův efekt.

Za elektron poplatku ${extstyle -e}$ v izotropním konstantním magnetickém poli lze rovnici dále zmenšit pomocí celkového momentu hybnosti ${extstyle mathbf {J} = mathbf {L} + mathbf {S}}$ a Wigner-Eckartova věta. Tak jsme našli

{displaystyle left [{frac {| mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + mu _ {m {B}} g_ {J} m_ {j} | mathbf {B} | -ephi ight] | psi angle = ihbar {frac {částečné} {částečné t}} | psi úhel}

kde ${extstyle mu _ {m {B}} = {frac {ehbar} {2m}}}$ je Bohr magneton a ${extstyle m_ {j}}$ je magnetické kvantové číslo související s ${extstyle mathbf {J}}$ . Termín ${extstyle g_ {J}}$ je známý jako Landé g-faktor, a je zde dán

{displaystyle g_ {J} = {frac {3} {2}} + {frac {{frac {3} {4}} - ell (ell +1)} {2j (j + 1)}},}

^[A]

kde ${displaystyle ell}$ je orbitální kvantové číslo související s ${displaystyle L ^ {2}}$ a ${displaystyle j}$ je celkové orbitální kvantové číslo související s ${displaystyle J ^ {2}}$ .

Z Diracova rovnice

Pauliho rovnice je nerelativistická hranice Diracova rovnice, relativistická kvantová pohybová rovnice pro částice spin-½.^[3]

Derivace

Diracova rovnice může být napsána jako:

{displaystyle mathrm {i}, hbar, částečný _ {t}, vlevo ({egin {pole} {c} psi _ {1} psi _ {2} konec {pole}} vpravo) = c, vlevo ({egin {array} {c} {oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, psi _ {2} {oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, psi _ {1} konec {pole}} ight) + q, phi, left ({egin {array} {c} psi _ {1} psi _ {2} end {array}} ight) + mc ^ {2}, left ({egin {array} { c} psi _ {1} - psi _ {2} end {array}} ight)}

,

kde ${extstyle částečné _ {t} = {frac {částečné} {částečné t}}}$ a ${displaystyle psi _ {1}, psi _ {2}}$ jsou dvousložkové spinor, tvořící a bispinor.

Pomocí následující odpovědi:

{displaystyle left ({egin {array} {c} psi _ {1} psi _ {2} end {array}} ight) = mathrm {e} ^ {- displaystyle i {frac {mc ^ {2} t} {hbar}}} vlevo ({egin {pole} {c} psi chi konec {pole}} vpravo)}

,

se dvěma novými rotory ${displaystyle psi, chi}$ , stane se rovnice

{displaystyle ihbar částečný _ {t} vlevo ({egin {pole} {c} psi chi konec {pole}} vpravo) = c, vlevo ({egin {pole} {c} {oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, chi {oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, psi end {array}} ight) + q, phi, left ({egin {array} {c} psi chi end {pole }} ight) + left ({egin {array} {c} 0 -2, mc ^ {2}, chi end {array}} ight)}

.

V nerelativistickém limitu ${displaystyle partial _ {t} chi}$ a kinetická a elektrostatická energie jsou vzhledem ke zbytkové energii malé ${displaystyle mc ^ {2}}$ .

Tím pádem

{displaystyle chi cca {frac {{oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, psi} {2, mc}} ,.}

Vloženo do horní složky Diracova rovnice, najdeme Pauliho rovnici (obecný tvar):

{displaystyle mathrm {i}, hbar, částečný _ {t}, psi = vlevo [{frac {({oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}) ^ {2}} {2, m}} + q , phi ight] psi.}

Pauliho spojka

Pauliho rovnice je odvozena požadavkem minimální vazba, který poskytuje a G-faktor G= 2. Většina elementárních částic má anomálie G-faktory, odlišné od 2. V doméně relativistické kvantová teorie pole, jeden definuje ne-minimální spojení, někdy nazývané Pauliho spojení, aby se přidal anomální faktor

{displaystyle p_ {mu} o p_ {mu} -qA_ {mu} + asigma _ {mu u} F ^ {mu u}}

kde ${displaystyle p_ {mu}}$ je čtyři momenty operátor, ${displaystyle A_ {mu}}$ pokud elektromagnetický čtyř potenciál, ${displaystyle a}$ je anomální magnetický dipólový moment, ${displaystyle F ^ {mu u} = částečné ^ {mu} A ^ {u} - částečné ^ {u} A ^ {mu}}$ je elektromagnetický tenzor, a ${extstyle sigma _ {mu u} = {frac {i} {2}} [gamma _ {mu}, gamma _ {u}]}$ jsou Lorentzianovy matice otáčení a komutátor gama matice ${displaystyle gamma ^ {mu}}$ .^[4]^[5] V kontextu nerelativistické kvantové mechaniky je Pauliho vazba místo práce se Schrödingerovou rovnicí ekvivalentní použití Pauliho rovnice (nebo postulování Zeemanova energie ) pro všechny G-faktor.

Viz také

Poznámky pod čarou

^ Zde použitý vzorec platí pro částice se spinem ½, s a G-faktor ${extstyle g_ {S} = 2}$ a orbitální G-faktor ${extstyle g_ {L} = 1}$ .

Reference

^ Pauli, Wolfgang (1927). „Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons“. Zeitschrift für Physik (v němčině). 43 (9–10): 601–623. Bibcode:1927ZPhy ... 43..601P. doi:10.1007 / BF01397326. ISSN 0044-3328. S2CID 128228729.
^ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Fyzika atomů a molekul (1. vyd.). Prentice Hall. str. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.
^ Greiner, Walter (06.12.2012). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
^ Das, Ashok (2008). Přednášky o teorii kvantového pole. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.
^ Barut, A. O .; McEwan, J. (leden 1986). „Čtyři stavy bezhmotného neutrina s vazbou pauli pomocí invariance Spin-Gauge“. Dopisy z matematické fyziky. 11 (1): 67–72. Bibcode:1986LMaPh..11 ... 67B. doi:10.1007 / BF00417466. ISSN 0377-9017. S2CID 120901078.

Knihy

Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). Kvantová mechanika 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.

[3] Zde použitý vzorec platí pro částice se spinem ½, s a G-faktor ${extstyle g_ {S} = 2}$ a orbitální G-faktor ${extstyle g_ {L} = 1}$ .

[1] Pauli, Wolfgang (1927). „Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons“. Zeitschrift für Physik (v němčině). 43 (9–10): 601–623. Bibcode:1927ZPhy ... 43..601P. doi:10.1007 / BF01397326. ISSN 0044-3328. S2CID 128228729.

[2] Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Fyzika atomů a molekul (1. vyd.). Prentice Hall. str. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.

[4] Greiner, Walter (06.12.2012). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.

[5] Das, Ashok (2008). Přednášky o teorii kvantového pole. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.

[6] Barut, A. O .; McEwan, J. (leden 1986). „Čtyři stavy bezhmotného neutrina s vazbou pauli pomocí invariance Spin-Gauge“. Dopisy z matematické fyziky. 11 (1): 67–72. Bibcode:1986LMaPh..11 ... 67B. doi:10.1007 / BF00417466. ISSN 0377-9017. S2CID 120901078.

[1]

[2]

[A]

[3]

[4]

[5]