Heisenbergův obrázek - Heisenberg picture

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v fyzika, Heisenbergův obrázek (nazývané také Heisenbergovo zastoupení^[1]) je formulace (z velké části kvůli Werner Heisenberg v roce 1925) ze dne kvantová mechanika ve kterém operátory (pozorovatelné a další) zahrnují závislost na čase, ale stavové vektory jsou časově nezávislé, libovolný pevný základ, pevně založený na teorii.

Stojí na rozdíl od Schrödingerův obrázek ve kterém jsou operátoři konstantní a státy se vyvíjejí v čase. Tyto dva obrázky se liší pouze zásadní změnou s ohledem na časovou závislost, což odpovídá rozdílu mezi nimi aktivní a pasivní transformace. Heisenbergův obraz je formulací maticová mechanika na libovolném základě, ve kterém hamiltonián není nutně diagonální.

Dále slouží k definování třetího, hybridního, obrázku, interakční obrázek.

Matematické detaily

Na Heisenbergově obrazu kvantové mechaniky jsou stavové vektory |ψ〉 Nemění se s časem, pokud je pozorovatelný A uspokojit

kde H je Hamiltonian a [•, •] označuje komutátor dvou operátorů (v tomto případě H a A). Převzetí očekávaných hodnot automaticky přináší Ehrenfestova věta, vystupoval v zásada korespondence.

Podle Stone – von Neumannova věta, Heisenbergův obraz a Schrödingerův obraz jsou jednotně ekvivalentní, jen a základní změna v Hilbertův prostor. V určitém smyslu Heisenberg obrázek je přirozenější a pohodlnější než ekvivalentní obrázek Schrödinger, zejména pro relativistické teorie. Lorentzova invariance se projevuje na Heisenbergově obrázku, protože stavové vektory nevyčleňují čas ani prostor.

Tento přístup má také přímější podobnost s klasická fyzika: jednoduše nahrazením výše uvedeného komutátoru znakem Poissonova závorka, Heisenbergova rovnice redukuje na rovnici v Hamiltoniánská mechanika.

Ekvivalence Heisenbergovy rovnice se Schrödingerovou rovnicí

Kvůli pedagogice je zde Heisenbergův obrázek představen z následujícího, ale známějšího, Schrödingerův obrázek.

The očekávaná hodnota pozorovatelného A, což je Hermitian lineární operátor, pro daný stát Schrödinger |ψ(t)>, darováno

${ displaystyle langle A rangle _ {t} = langle psi (t) | A | psi (t) rangle.}$

Na Schrödingerově obrázku stát |ψ(t)>v čase t souvisí se státem |ψ(0)〉 v čase 0 jednotkou operátor evoluce času, U(t),

${ displaystyle | psi (t) rangle = U (t) | psi (0) rangle.}$

Na Heisenbergově obrázku jsou všechny stavové vektory považovány za konstantní na svých počátečních hodnotách |ψ(0)〉, zatímco operátoři se vyvíjejí s časem podle

${ displaystyle A (t): = U ^ { dagger} (t) AU (t) .}$

Schrödingerova rovnice pro operátora evoluce času je

${ displaystyle {d over dt} U (t) = - {iH over hbar} U (t)}$

kde H je Hamiltonian a ħ je snížená Planckova konstanta.

Z toho nyní vyplývá

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { operatorname {d} přes operatorname {d} ! t} A (t) & = {i over hbar} U ^ { dagger} (t) HAU ( t) + U ^ { dagger} (t) vlevo ({ frac { částečné A} { částečné t}} pravé) U (t) + {i over hbar} U ^ { dagger} (t) A (-H) U (t) & = {i over hbar} U ^ { dagger} (t) HU (t) U ^ { dagger} (t) AU (t) + U ^ { dagger} (t) left ({ frac { částečné A} { částečné t}} pravé) U (t) - {i over hbar} U ^ { dagger} (t) AU (t) U ^ { dagger} (t) HU (t) & = {i over hbar} left (H (t) A (t) -A (t) H (t) right ) + U ^ { dagger} (t) vlevo ({ frac { částečné A} { částečné t}} pravé) U (t), end {zarovnáno}}}$

kde byla diferenciace provedena podle produktové pravidlo. Všimněte si, že Hamiltonian který se objeví v posledním řádku výše, je Heisenberg Hamiltonian H(t), které se mohou lišit od Schrödinger Hamiltonian.

Důležitý zvláštní případ výše uvedené rovnice se získá, pokud Hamiltonian se nemění s časem. Potom lze operátor evoluce času napsat jako

${ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / hbar},}$

Proto,

${ displaystyle langle A rangle _ {t} = langle psi (0) | e ^ {+ iHt / hbar} Ae ^ {- iHt / hbar} | psi (0) rangle.}$

a,

${ displaystyle { begin {aligned} { operatorname {d} over operatorname {d} ! t} A (t) & = {i over hbar} He ^ {iHt / hbar} Ae ^ { -iHt / hbar} + e ^ {+ iHt / hbar} vlevo ({ frac { částečné A} { částečné t}} pravé) e ^ {- iHt / hbar} + {i přes hbar} e ^ {+ iHt / hbar} A cdot (-H) e ^ {- iHt / hbar} & = {i over hbar} e ^ {iHt / hbar} vlevo ( HA-AH right) e ^ {- iHt / hbar} + e ^ {+ iHt / hbar} left ({ frac { částečné A} { částečné t}} pravé) e ^ {- iHt / hbar} & = {i over hbar} left (HA (t) -A (t) H right) + e ^ {+ iHt / hbar} left ({ frac { částečné A} { částečné t}} vpravo) e ^ {- iHt / hbar}. End {zarovnáno}}}$

Tady ∂A/∂t je časová derivace iniciály A, ne A(t) definován operátor. Poslední rovnice platí od té doby exp (-i H t / ħ) dojíždí s H.

Rovnici řeší A(t) definované výše, jak je zřejmé z použití standardní identita operátora,

${ displaystyle {e ^ {B} Ae ^ {- B}} = A + [B, A] + { frac {1} {2!}} [B, [B, A]] + { frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]] + cdots .}$

z čehož vyplývá

${ displaystyle A (t) = A + { frac {it} { hbar}} [H, A] + { frac {1} {2!}} vlevo ({ frac {it} { hbar} } right) ^ {2} [H, [H, A]] + { frac {1} {3!}} left ({ frac {it} { hbar}} right) ^ {3} [H, [H, [H, A]]] + tečky}$

Tento vztah platí také pro klasická mechanika, klasický limit z výše uvedeného, ​​vzhledem k korespondence mezi Poissonovy závorky a komutátory,

${ displaystyle [A, H] quad longleftrightarrow quad i hbar {A, H }}$

V klasické mechanice pro A bez výslovné časové závislosti,

${ displaystyle {A, H } = { frac { operatorname {d} ! A} { operatorname {d} ! t}} ~,}$

takže opět výraz pro A(t) je Taylorova expanze kolem t = 0.

Ve skutečnosti je libovolný tuhý Hilbertův prostorový základ |ψ(0)〉 ustoupil z pohledu a je zvažován pouze v posledním kroku převzetí konkrétních očekávaných hodnot nebo maticových prvků pozorovatelných.

Vztahy komutátoru

Vztahy komutátoru mohou vypadat jinak než na Schrödingerově obrázku, kvůli časové závislosti operátorů. Zvažte například operátory X(t₁), X(t₂), p(t₁) a p(t₂). Časový vývoj těchto operátorů závisí na Hamiltonian systému. Vzhledem k jednorozměrnému harmonickému oscilátoru

${ displaystyle H = { frac {p ^ {2}} {2m}} + { frac {m omega ^ {2} x ^ {2}} {2}}}$ ,

vývoj operátorů polohy a hybnosti je dán vztahem:

${ displaystyle {d over dt} x (t) = {i over hbar} [H, x (t)] = { frac {p} {m}}}$ ,

${ displaystyle {d over dt} p (t) = {i over hbar} [H, p (t)] = - m omega ^ {2} x}$ .

Ještě jednou diferencovat obě rovnice a řešit je za vhodných počátečních podmínek,

${ displaystyle { dot {p}} (0) = - m omega ^ {2} x_ {0},}$

${ displaystyle { dot {x}} (0) = { frac {p_ {0}} {m}},}$

vede k

${ displaystyle x (t) = x_ {0} cos ( omega t) + { frac {p_ {0}} { omega m}} sin ( omega t)}$ ,

${ displaystyle p (t) = p_ {0} cos ( omega t) -m omega ! x_ {0} sin ( omega t)}$ .

Přímý výpočet poskytuje obecnější komutátorové vztahy,

${ displaystyle [x (t_ {1}), x (t_ {2})] = { frac {i hbar} {m omega}} sin ( omega t_ {2} - omega t_ {1 })}$ ,

${ displaystyle [p (t_ {1}), p (t_ {2})] = i hbar m omega sin ( omega t_ {2} - omega t_ {1})}$ ,

${ displaystyle [x (t_ {1}), p (t_ {2})] = i hbar cos ( omega t_ {2} - omega t_ {1})}$ .

Pro ${ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$, jeden jednoduše obnoví standardní kanonické komutační vztahy platné na všech obrázcích.

Souhrnné srovnání vývoje na všech obrázcích

Pro časově nezávislý hamiltonián H_S, kde H_{0, S.} je zdarma Hamiltonian,

Vývoj	Obrázek
z:	Heisenberg	Interakce	Schrödinger
Stát Ket	konstantní	${ displaystyle | psi _ {I} (t) rangle = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} | psi _ {S} (t) rangle}$	${ displaystyle | psi _ {S} (t) rangle = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} | psi _ {S} (0) rangle}$
Pozorovatelný	${ displaystyle A_ {H} (t) = e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	konstantní
Matice hustoty	konstantní	${ displaystyle rho _ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle rho _ {S} (t) = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} rho _ {S} (0) e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar}}$

Viz také

• Braketová notace
• Interakční obrázek
• Schrödingerův obrázek
• Heisenberg – Langevinovy ​​rovnice
• Formulace fázového prostoru

Reference

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Kvantová mechanika (první díl). Paris: Wiley. 312–314. ISBN  0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Kvantová mechanika (Sv. I), anglický překlad z francouzštiny G. M. Temmer. Severní Holandsko, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Kvantová mechanika (3. vydání, John Wiley 1998) str. 430-1 ISBN  0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Kvantová mechanika: nerelativistická teorie. Sv. 3 (3. vyd.). Pergamon Press. ISBN  978-0-08-020940-1. Online kopie
• R. Shankar (1994); Principy kvantové mechaniky, Plénum Press, ISBN  978-0306447907.
• J. J. Sakurai (1993); Moderní kvantová mechanika (Revidované vydání), ISBN  978-0201539295.

externí odkazy

• Pedagogičtí pomocníci kvantové teorie pole Klikněte na odkaz pro kap. 2 najdete rozsáhlý a zjednodušený úvod do Heisenbergova obrázku.