Feynmanova parametrizace - Feynman parametrization

Feynmanova parametrizace je technika hodnocení smyčkové integrály které vznikají z Feynmanovy diagramy s jednou nebo více smyčkami. Někdy je však užitečné při integraci v oblastech čistá matematika také.

Vzorce

Richard Feynman poznamenal, že:

{ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}} }

což platí pro všechna komplexní čísla A a B pokud 0 není obsažen v spojovacím segmentu A a B. Vzorec pomáhá vyhodnotit integrály jako:

{ displaystyle int { frac {dp} {A (p) B (p)}} = int dp int _ {0} ^ {1} { frac {du} { vlevo [uA (p) + (1-u) B (p) right] ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1} du int { frac {dp} { left [uA (p) + (1 -u) B (p) vpravo] ^ {2}}}.}

Li A (p) a B (p) jsou lineární funkce str, pak lze poslední integrál vyhodnotit pomocí substituce.

Obecněji pomocí Diracova delta funkce ${ displaystyle delta}$ :^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ;} { left ( součet _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} A_ {k} right) ^ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ { 1} int _ {0} ^ {u_ {1}} du_ {2} cdots int _ {0} ^ {u_ {n-2}} du_ {n-1} { frac {1} { left [A_ {1} + u_ {1} (A_ {2} -A_ {1}) + dots + u_ {n-1} (A_ {n} -A_ {n-1}) right] ^ { n}}}. end {zarovnáno}}}

Tento vzorec platí pro všechna komplexní čísla A₁,...,A_n pokud v nich není obsažena 0 konvexní obal.

Ještě obecněji za předpokladu, že ${ displaystyle { text {Re}} ( alpha _ {j})> 0}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq j leq n}$ :

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots A_ {n} ^ { alpha _ {n}}}} = { frac { Gamma ( alpha _ {1} + dots + alpha _ {n})} { Gamma ( alpha _ {1}) cdots Gamma ( alpha _ {n})}} int _ {0} ^ {1 } du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ; u_ {1} ^ { alpha _ {1} -1} cdots u_ {n} ^ { alpha _ {n} -1}} { left ( sum _ {k = 1} ^ {n} u_ { k} A_ {k} right) ^ { sum _ {k = 1} ^ {n} alpha _ {k}}}}}

Kde Funkce gama ${ displaystyle Gamma}$ byl použit.^[2]

Derivace

{ displaystyle { frac {1} {AB}} = { frac {1} {AB}} vlevo ({ frac {1} {B}} - { frac {1} {A}} vpravo ) = { frac {1} {AB}} int _ {B} ^ {A} { frac {dz} {z ^ {2}}}.}

Nyní stačí lineárně transformovat integrál pomocí substituce,

{ displaystyle u = (z-B) / (A-B)}

což vede k

{ displaystyle du = dz / (A-B)}

tak

{ displaystyle z = uA + (1-u) B}

a dostaneme požadovaný výsledek:

{ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}} .}

V obecnějších případech lze derivace provádět velmi efektivně pomocí Schwingerova parametrizace. Například za účelem odvození Feynman parametrizované formy ${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ... A_ {n}}}}$ , nejprve znovu vyjádříme všechny faktory ve jmenovateli v jejich Schwinger parametrizované formě:

{ displaystyle { frac {1} {A_ {i}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {i} , e ^ {- s_ {i} A_ {i}} { text {for}} i = 1, ldots, n}

a přepsat,

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} cdots int _ {0} ^ { infty } ds_ {n} exp left (- left (s_ {1} A_ {1} + cdots + s_ {n} A_ {n} right) right).}

Poté provedeme následující změnu integračních proměnných,

{ displaystyle alpha = s_ {1} + ... + s_ {n},}

{ displaystyle alpha _ {i} = { frac {s_ {i}} {s_ {1} + cdots + s_ {n}}}; i = 1, ldots, n-1,}

získat,

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1 } int _ {0} ^ { infty} d alpha alpha ^ {n-1} exp left (- alpha left { alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n-1} right) A_ {n} right } že jo).}

kde ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1}}$ označuje integraci přes region ${ displaystyle 0 leq alpha _ {i} leq 1}$ s ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} alpha _ {i} leq 1}$ .

Dalším krokem je provedení ${ displaystyle alpha}$ integrace.

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} d alpha alpha ^ {n-1} exp (- alpha x) = { frac { částečné ^ {n-1}} { parciální (-x) ^ {n-1}}} left ( int _ {0} ^ { infty} d alpha exp (- alpha x) right) = { frac { left (n -1 right)!} {X ^ {n}}}.}

kde jsme definovali ${ displaystyle x = alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n-1} right) A_ {n}.}$

Dosazením tohoto výsledku se dostaneme do předposlední podoby,

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = left (n-1 right)! int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1} { frac {1} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n-1} right) A_ {n}] ^ {n}}},}

a po zavedení dalšího integrálu se dostáváme k finální podobě Feynmanovy parametrizace, konkrétně

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = left (n-1 right)! int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots int _ {0} ^ {1} d alpha _ {n} { frac { delta left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n} right)} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n} A_ {n}] ^ {n}}}.}

Podobně za účelem odvození Feynmanovy parametrizační formy nejobecnějšího případu: ${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}} ... A_ {n} ^ { alpha _ {n}}}}}$ dalo by se začít s vhodnou jinou Schwingerovou parametrizační formou faktorů ve jmenovateli, jmenovitě,

{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}}}} = { frac {1} { left ( alpha _ {1} -1 right)!}} int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} , s_ {1} ^ { alpha _ {1} -1} e ^ {- s_ {1} A_ {1}} = { frac { 1} { Gamma ( alpha _ {1})}} { frac { částečné ^ { alfa _ {1} -1}} { částečné (-A_ {1}) ^ { alfa _ {1 } -1}}} left ( int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} e ^ {- s_ {1} A_ {1}} right)}

a pak postupujte přesně podle linií předchozího případu.

Alternativní forma

Někdy je užitečná alternativní forma parametrizace

{ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ { infty} { frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {2}} }.}

Tuto formu lze odvodit pomocí změny proměnných ${ displaystyle lambda = u / (1-u)}$ Můžeme použít produktové pravidlo ukázat to ${ displaystyle d lambda = du / (1-u) ^ {2}}$ , pak

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {AB}} & = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right ] ^ {2}}} & = int _ {0} ^ {1} { frac {du} {(1-u) ^ {2}}} { frac {1} { vlevo [{ frac {u} {1-u}} A + B right] ^ {2}}} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {2}}} end {zarovnáno}}}

Obecněji máme

{ displaystyle { frac {1} {A ^ {m} B ^ {n}}} = { frac { Gamma (m + n)} { Gamma (m) Gamma (n)}} int _ {0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {m-1} d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {n + m}}},}

kde ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama.

Tato forma může být užitečná při kombinaci lineárního jmenovatele ${ displaystyle A}$ s kvadratickým jmenovatelem ${ displaystyle B}$ , například v teorie těžkého kvarku (HQET).

Symetrická forma

Občas se používá symetrická forma parametrizace, kde se místo toho provádí integrál na intervalu ${ displaystyle [-1,1]}$ , vedoucí k:

{ displaystyle { frac {1} {AB}} = 2 int _ {- 1} ^ {1} { frac {du} { left [(1 + u) A + (1-u) B right ] ^ {2}}}.}

Reference

^ Weinberg, Steven (2008). Kvantová teorie polí, svazek I. Cambridge: Cambridge University Press. str. 497. ISBN 978-0-521-67053-1.
^ Kristjan Kannike. "Poznámky k Feynmanově parametrizaci a funkci Dirac Delta" (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2007-07-29. Citováno 2011-07-24.

[weinberg-1] Weinberg, Steven (2008). Kvantová teorie polí, svazek I. Cambridge: Cambridge University Press. str. 497. ISBN 978-0-521-67053-1.

[2] Kristjan Kannike. "Poznámky k Feynmanově parametrizaci a funkci Dirac Delta" (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2007-07-29. Citováno 2011-07-24.

[1]

[2]

Richard Feynman
Kariéra	Feynmanův diagram Feynman – Kacův vzorec Teorie absorbérů Wheeler – Feynman Bethe – Feynmanův vzorec Hellmann – Feynmanova věta Feynman lomítko notace Feynmanova parametrizace Integrální formulace cesty Partonův model Argument lepkavých korálků Vesmír s jedním elektronem Kvantový buněčný automat Zpráva Rogersovy komise Feynman šachovnice
Funguje	"Dole je spousta místa " (1959) Feynmanovy přednášky z fyziky (1964) Charakter fyzikálního zákona (1965) QED: Zvláštní teorie světla a hmoty (1985) Určitě si děláte legraci, pane Feynmane! (1985) Co vás zajímá, co si myslí ostatní lidé? (1988) Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun (1997) Význam toho všeho (1999) Potěšení z hledání věcí (1999) Dokonale rozumné odchylky od vyšlapané cesty (2005)
Rodina	Joan Feynman (sestra) Charles Hirshberg (synovec)
Příbuzný	Jmenovec Náboženská kultura vědy Quantum Man: Život Richarda Feynmana ve vědě Tuva nebo poprsí! Feynmanova cena v nanotechnologii Nekonečno (1996 film) QED (2001 hra) Vyzyvatel (2013 film)