Funkce rozdělení (teorie kvantového pole) - Partition function (quantum field theory)

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Slabá síla Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Symetrie překladu prostoru Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentzova symetrie Poincarého symetrie Symetrie měřidla Explicitní narušení symetrie Spontánní narušení symetrie Teorie Yang – Mills Noether poplatek Topologický náboj
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Očekávaná hodnota Pole duchů Faddeev – Popovští duchové Feynmanův diagram Teorie mřížky LSZ redukční vzorec Funkce oddílu Propagátor Kvantování Regulace Renormalizace Stav vakua Wickova věta Wightmanovy axiomy Feynmanova parametrizace
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca rovnice Wheeler – DeWittova rovnice Bargmann – Wignerovy rovnice Joos – Weinbergova rovnice Weylova rovnice
Standardní model Stav kvantového vakua Kvantová dynamika Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtuální částice
Neúplné teorie Kauzální dynamická triangulace Příčinné fermionové systémy Kauzální sady Konformní teorie pole Diracké moře Poruchová teorie Teorie dvourozměrného konformního pole Teorie kvantového pole v zakřiveném časoprostoru Teorie tepelného kvantového pole Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Poloklasická gravitace Odstředivá pěna Teorie strun Teorie superstrun M-teorie Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Kanonická kvantová gravitace Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Smyčková kvantová kosmologie Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Colemane Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

v kvantová teorie pole, funkce oddílu ${ displaystyle Z [J]}$ je generující funkční ze všech korelační funkce, zobecňující charakteristická funkce teorie pravděpodobnosti.

Obvykle se vyjadřuje následovně funkční integrál:

${ displaystyle Z [J] = int { mathcal {D}} phi , e ^ {i (S [ phi] + int d ^ {4} xJ (x) phi (x))} ~,}$

kde S je akce funkční.

Funkce rozdělení v teorii kvantového pole je zvláštním případem funkce matematického oddílu, a souvisí s funkce statistického rozdělení ve statistické mechanice. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že počitatelný sbírka náhodné proměnné viděný v definici takových jednodušších funkcí oddílu byl nahrazen nespočetnou sadou, což vyžaduje použití funkční integrály přes pole ${ displaystyle phi}$.

Použití

Korelační funkce n-bodu ${ displaystyle G_ {n}}$ lze vyjádřit pomocí integrálního formalizmu cesty jako

${ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) equiv langle Omega | T { phi (x_ {1}) cdots phi (x_ {n}) } | Omega rangle = { frac { int { mathcal {D}} phi , phi (x_ {1}) cdots phi (x_ {n}) exp (iS [ phi ] / hbar)}} { int { mathcal {D}} phi , exp (iS [ phi] / hbar)}}}$

kde levá strana je časově seřazený produkt použitý k výpočtu S-matice elementy. The ${ displaystyle { mathcal {D}} phi}$ na pravé straně znamená integraci přes všechny možné konfigurace klasického pole ${ displaystyle phi (x)}$ s fází danou klasickou akcí ${ displaystyle S [ phi]}$ v této konfiguraci pole.^[1]

Generující funkční ${ displaystyle Z [J]}$ lze použít k výpočtu výše uvedených integrálů cesty pomocí pomocné funkce ${ displaystyle J}$ (volala proud v tomto kontextu).

Z definice (v 4D kontextu)

${ displaystyle Z [J] = int { mathcal {D}} phi exp left {{ frac {i} { hbar}} left [S [ phi] + int d ^ { 4} xJ (x) phi (x)) right] right }}$

pomocí funkčních derivací je vidět, že korelace n-bodu funguje ${ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ... ,, x_ {n})}$ jsou dány

${ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = (- i hbar) ^ {n} { frac {1} {Z [0]}} vlevo. { frac { částečné ^ {n} Z} { částečné J (x_ {1}) cdots částečné J (x_ {n})}} vpravo | _ {J = 0}}$

Spojení se statistickou mechanikou

Generující funkce je kvantová teorie pole analogická rozdělení funkcí ve statistické mechanice: říká nám to všechno mohli bychom možná chtít vědět o systému. Generující funkčnost je svatý grál jakékoli konkrétní teorie pole: pokud máte přesný výraz v uzavřené formě pro ${ displaystyle Z [J]}$ pro konkrétní teorii jste to vyřešili úplně.^[2]

Na rozdíl od funkce rozdělení ve statistické mechanice obsahuje funkce rozdělení v teorii kvantového pole další faktor i před akcí, takže integrand je komplex, není skutečný. Tento i poukazuje na hlubokou souvislost mezi kvantovou teorií pole a statistickou teorií polí. Toto spojení lze vidět tím, že Wick otáčí integrand v exponenciálu integrálu cesty.^[3] The i vyplývá ze skutečnosti, že funkce oddílu v QFT počítá kvantově-mechanicky amplitudy pravděpodobnosti mezi státy, které nabývají hodnot v a složitý projektivní prostor (komplex Hilbertův prostor, ale důraz je kladen na slovo projektivní, protože pravděpodobnostní amplitudy jsou stále normalizovány na jednu). Pole ve statistické mechanice jsou náhodné proměnné, které mají skutečnou hodnotu na rozdíl od operátorů v Hilbertově prostoru.

Reference

Další čtení

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia, 4(2): 8674.
• Kleinert, Hagen, Integrály cesty v kvantové mechanice, statistice, fyzice polymerů a finančních trzích, 4. vydání, World Scientific (Singapur, 2004); brožura ISBN  981-238-107-4 (k dispozici také online: Soubory PDF ).