Wicksova věta - Wicks theorem - Wikipedia

Wickova věta je metoda snižováníobjednat deriváty do a kombinatorika problém.^[1] Je pojmenována po italském fyzikovi Gian-Carlo Wick.^[2] Používá se značně v kvantová teorie pole snížit svévolné produkty operátory tvorby a zničení na součty produktů párů těchto operátorů. To umožňuje použití Greenovy funkční metody, a následně použití Feynmanovy diagramy ve studovaném oboru. Obecnější myšlenka v teorie pravděpodobnosti je Isserlisova věta.

V perturbativní kvantové teorii pole se Wickova věta používá k rychlému přepsání každé z nich nařízený čas summand v Řada Dyson jako součet normální objednané podmínky. V limitu asymptoticky volných příchozích a odchozích států odpovídají tyto pojmy Feynmanovy diagramy.

Definice kontrakce

Pro dva operátory ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ definujeme jejich kontrakci

{ displaystyle { hat {A}} ^ { bullet} , { hat {B}} ^ { bullet} equiv { hat {A}} , { hat {B}} , - { mathopen {:}} { hat {A}} , { hat {B}} { mathclose {:}}}

kde ${ displaystyle { mathopen {:}} { hat {O}} { mathclose {:}}}$ označuje normální pořadí operátora ${ displaystyle { hat {O}}}$ .

Alternativně lze kontrakce označit spojením čar ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ .

Podíváme se podrobně na čtyři speciální případy, kdy ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ se rovnají operátorům tvorby a zničení. Pro ${ displaystyle N}$ částice označíme operátory tvorby ${ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { dagger}}$ a operátory zničení ${ displaystyle { hat {a}} _ {i}}$ ${ displaystyle (i = 1,2,3 ldots, N)}$ Vyhovují obvyklým komutačním vztahům ${ displaystyle [{ hat {a}} _ {i}, { hat {a}} _ {j} ^ { dagger}] = delta _ {ij}}$ , kde ${ displaystyle delta _ {ij}}$ označuje Kroneckerova delta.

Pak máme

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { bullet} = { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} , - { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} , { mathclose {:}} , = 0}

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { dagger bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} = { hat {a}} _ {i} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , - , { mathopen {:}} { hat {a}} _ {i} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { mathclose {:}} , = 0}

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { dagger bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { bullet} = { hat {a}} _ {i } ^ { dagger} , { hat {a}} _ {j} , - { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {j} , { mathclose {:}} , = 0}

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} = { hat {a}} _ {i } , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , - { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a} } _ {j} ^ { dagger} , { mathclose {:}} , = delta _ {ij}}

kde ${ displaystyle i, j = 1, ldots, N}$ .

Tyto vztahy platí pro bosonické operátory nebo fermionické operátory kvůli způsobu, jakým je definováno normální řazení.

Příklady

Můžeme použít kontrakce a normální uspořádání k vyjádření jakéhokoli produktu operátorů tvorby a zničení jako součet běžných objednaných podmínek. To je základ Wickovy věty. Před úplným uvedením věty se podíváme na několik příkladů.

Předpokládat ${ displaystyle { hat {a}} _ {i}}$ a ${ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { dagger}}$ jsou bosonic provozovatelé vyhovující komutační vztahy:

{ displaystyle left [{ hat {a}} _ {i} ^ { dagger}, { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} right] = 0}

{ displaystyle left [{ hat {a}} _ {i}, { hat {a}} _ {j} right] = 0}

{ displaystyle left [{ hat {a}} _ {i}, { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} right] = delta _ {ij}}

kde ${ displaystyle i, j = 1, ldots, N}$ , ${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] equiv { hat {A}} { hat {B}} - { hat {B}} { klobouk {A}}}$ označuje komutátor, a ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je delta Kronecker.

Tyto vztahy a výše uvedenou definici kontrakce můžeme použít k vyjádření produktů ${ displaystyle { hat {a}} _ {i}}$ a ${ displaystyle { hat {a}} _ {i} ^ { dagger}}$ jinak.

Příklad 1

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {ij} = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} = , { mathopen {:}} , { klobouk {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { mathclose {:}} + { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet}}

Všimněte si, že jsme se nezměnili ${ displaystyle { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger}}$ ale pouze to znovu vyjádřil v jiné formě jako ${ displaystyle , { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { mathclose {: }} + { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet}}$

Příklad 2

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} = ({ hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {ij}) { hat {a}} _ {k} = { hat { a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {k} + delta _ {ij} { hat {a }} _ {k} = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {k} + { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} { hat {a}} _ {k} = , { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} { hat {a}} _ {k} , { mathclose {:}} + { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dýka kulka} , { klobouk {a}} _ {k} { mathclose {:}}}

Příklad 3

{ displaystyle { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} = ({ hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {ij }) ({ hat {a}} _ {l} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} + delta _ {kl})}

{ displaystyle = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {l} ^ { dýka } , { hat {a}} _ {k} + delta _ {kl} { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {ij} { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} { hat {a}} _ {k} + delta _ {ij} delta _ {kl}}

{ displaystyle = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} ({ hat {a}} _ {l} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {il}) { hat {a}} _ {k} + delta _ {kl} { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a} } _ {i} + delta _ {ij} { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} { hat {a}} _ {k} + delta _ {ij} delta _ { kl}}

{ displaystyle = { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} { hat {a}} _ {k} + delta _ {il} { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} + delta _ {kl} { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {i} + delta _ {ij} { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} { hat {a}} _ {k} + delta _ {ij} delta _ {kl}}

{ displaystyle = , { mathopen {:}} { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a} } _ {k} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} , { mathclose {:}} + { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} , { hat {a}} _ { l} ^ { dagger bullet} , { mathclose {:}} + { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ { j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger bullet} , { mathclose {:}} + { mathopen {:}} , { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} , { hat {a}} _ {k} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger} , { mathclose {:}} + , { mathopen {:}} { hat {a}} _ {i} ^ { bullet} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger bullet} , { hat {a}} _ {k} ^ { bullet bullet} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger bullet bullet} { mathclose {:}}}

V posledním řádku jsme použili různý počet ${ displaystyle ^ { bullet}}$ symboly k označení různých kontrakcí. Opakovaným používáním komutačních vztahů je vyjádření hodně práce, jak vidíte ${ displaystyle { hat {a}} _ {i} , { hat {a}} _ {j} ^ { dagger} , { hat {a}} _ {k} , { hat {a}} _ {l} ^ { dagger}}$ ve formě součtu normálně objednaných produktů. U složitějších produktů je to ještě zdlouhavější výpočet.

Naštěstí Wickova věta poskytuje zkratku.

Výrok věty

Produkt operátorů tvorby a zničení ${ displaystyle { hat {A}} { hat {B}} { hat {C}} { hat {D}} { hat {E}} { hat {F}} ldots}$ lze vyjádřit jako

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {A}} { hat {B}} { hat {C}} { hat {D}} { hat {E}} { hat {F} } ldots & = { mathopen {:}} { hat {A}} { hat {B}} { hat {C}} { hat {D}} { hat {E}} { hat {F}} ldots { mathclose {:}} & quad + sum _ { text {singles}} { mathopen {:}} { hat {A}} ^ { bullet} { hat {B}} ^ { bullet} { hat {C}} { hat {D}} { hat {E}} { hat {F}} ldots { mathclose {:}} & quad + sum _ { text {doubles}} { mathopen {:}} { hat {A}} ^ { bullet} { hat {B}} ^ { bullet bullet} { hat { C}} ^ { bullet bullet} { hat {D}} ^ { bullet} { hat {E}} { hat {F}} ldots { mathclose {:}} & quad + ldots end {zarovnáno}}}

Jinými slovy, řetězec operátorů vytváření a zničení lze přepsat jako normálně objednaný produkt řetězce, plus normálně objednaný produkt po všech jednoduchých kontrakcích mezi páry operátorů, plus všechny dvojité kontrakce atd., Plus všechny úplné kontrakce .

Aplikování věty na výše uvedené příklady poskytuje mnohem rychlejší metodu k dosažení konečných výrazů.

Varování: Pokud jde o pravou stranu obsahující více kontrakcí, je třeba dávat pozor, když jsou operátoři fermioničtí. V tomto případě musí být zavedeno vhodné znaménko mínus podle následujícího pravidla: přeskupit operátory (zavedení znaménka minus, když je zaměněno pořadí dvou fermionických operátorů), aby se zajistilo, že smluvní podmínky budou v řetězci sousedit. Potom lze použít kontrakci (viz „Pravidlo C“ ve Wickově článku).

Příklad:

Pokud máme dva fermiony ( ${ displaystyle N = 2}$ ) s operátory vytváření a zničení ${ displaystyle { hat {f}} _ {i} ^ { dagger}}$ a ${ displaystyle { hat {f}} _ {i}}$ ( ${ displaystyle i = 1,2}$ ) pak

{ displaystyle { begin {array} {ll} { hat {f}} _ {1} , { hat {f}} _ {2} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger} , & = , { mathopen {:}} { hat {f}} _ {1} , { klobouk {f}} _ {2} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger} , { mathclose {:}} & - , { hat {f}} _ {1} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger bullet} , , { mathopen {:}} { hat {f}} _ {2} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger} , { mathclose {:}} + , { klobouk {f}} _ {1} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger bullet} , , { mathopen {:}} { hat {f }} _ {2} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger} , { mathclose {:}} + , { hat {f}} _ {2} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger bullet} , , { mathopen {:}} { hat {f}} _ {1} , { hat { f}} _ {2} ^ { dagger} , { mathclose {:}} - { hat {f}} _ {2} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {2 } ^ { dagger bullet} , , { mathopen {:}} { hat {f}} _ {1} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger} , { mathclose {:}} & - { hat {f}} _ {1} ^ { bullet bullet} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger bullet bullet } , { hat {f}} _ {2} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger bullet} , + { hat {f}} _ {1} ^ { bullet bullet} , { hat {f}} _ {2} ^ { dagger bullet bullet} , { hat {f}} _ {2} ^ { bullet} , { hat {f}} _ {1} ^ { dagger bullet} , end {pole}}}

Všimněte si, že termín s kontrakcemi dvou operátorů vytvoření a dvou operátorů zničení není zahrnut, protože jejich kontrakce zmizí.

Wickova věta aplikovaná na pole

Korelační funkce, která se objevuje v teorii kvantového pole, může být vyjádřena kontrakcí na operátorech pole:

{ displaystyle { mathcal {C}} (x_ {1}, x_ {2}) = left langle 0 | { mathcal {T}} phi _ {i} (x_ {1}) phi _ {i} (x_ {2}) | 0 right rangle = langle 0 | { overline { phi _ {i} (x_ {1}) phi _ {i} (x_ {2})}} | 0 rangle = i Delta _ {F} (x_ {1} -x_ {2}) = i int {{ frac {d ^ {4} k} {(2 pi) ^ {4}} } { frac {e ^ {- ik (x_ {1} -x_ {2})}} {(k ^ {2} -m ^ {2}) + i epsilon}}}}

kde operátor ${ displaystyle { overline { phi _ {i} (x_ {1}) phi _ {i} (x_ {2})}}}$ jsou množství, které nezničí vakuový stav ${ displaystyle | 0 rangle}$ . Což znamená, že ${ displaystyle { overline {AB}} = { mathcal {T}} AB - { mathopen {:}} { mathcal {T}} AB { mathclose {:}}}$ . Tohle znamená tamto ${ displaystyle { overline {AB}}}$ je kontrakce u konce ${ displaystyle { mathcal {T}} AB}$ . Všimněte si, že kontrakce časově seřazeného řetězce dvou operátorů pole je c-číslo.

Nakonec dorazíme k Wickově teorému:

T-produkt časově seřazeného řetězce volných polí lze vyjádřit následujícím způsobem:

{ displaystyle { mathcal {T}} Pi _ {k = 1} ^ {m} phi (x_ {k}) = { mathopen {:}} { mathcal {T}} Pi phi _ {i} (x_ {k}) { mathclose {:}} + sum _ { alpha, beta} { overline { phi (x _ { alpha}) phi (x _ { beta})} } { mathopen {:}} { mathcal {T}} Pi _ {k not = alpha, beta} phi _ {i} (x_ {k}) { mathclose {:}} +}

{ displaystyle { mathcal {+}} sum _ {( alpha, beta), ( gamma, delta)} { overline { phi (x _ { alpha}) phi (x _ { beta })}} ; { overline { phi (x _ { gamma}) phi (x _ { delta})}} { mathopen {:}} { mathcal {T}} Pi _ {k not = alpha, beta, gamma, delta} phi _ {i} (x_ {k}) { mathclose {:}} + ldots.}

Použití této věty na S-matice prvků, zjistíme, že normálně uspořádané termíny jednají stav vakua poskytnout nulový příspěvek k částce. Došli jsme k závěru, že m je vyrovnaný a zůstávají pouze zcela smluvně sjednané podmínky.

{ displaystyle F_ {m} ^ {i} (x) = left langle 0 | { mathcal {T}} phi _ {i} (x_ {1}) phi _ {i} (x_ {2 }) | 0 right rangle = sum _ { mathrm {pair}} { overline { phi (x_ {1}) phi (x_ {2})}} cdots { overline { phi ( x_ {m-1}) phi (x_ {m}}})}

{ displaystyle G_ {p} ^ {(n)} = left langle 0 | { mathcal {T}} { mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) { mathclose {:} } dots { mathopen {:}} v_ {i} (y_ {n}) { mathclose {:}} phi _ {i} (x_ {1}) cdots phi _ {i} (x_ { p}) | 0 doprava rangle}

kde p je počet interakčních polí (nebo ekvivalentně počet interagujících částic) a n je vývojová objednávka (nebo počet vrcholů interakce). Například pokud ${ displaystyle v = gy ^ {4} Rightarrow { mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) { mathclose {:}} = { mathopen {:}} phi _ {i} (y_ {1}) phi _ {i} (y_ {1}) phi _ {i} (y_ {1}) phi _ {i} (y_ {1}) { mathclose {:}}}$

To je analogické s odpovídající věta ve statistikách pro momenty a Gaussovo rozdělení.

Všimněte si, že tato diskuse je ve smyslu obvyklé definice normálního uspořádání, která je vhodná pro hodnoty očekávaného vakua (VEV) polí. (Wickova věta poskytuje způsob vyjádření VEV n pole z hlediska VEV dvou polí.^[3]) Existují další možné definice normálního uspořádání a Wickova věta je platná bez ohledu na to. Wickova věta však zjednodušuje výpočty, pouze pokud se definice použitého normálního řazení změní tak, aby odpovídala požadovanému typu očekávané hodnoty. To znamená, že vždy chceme, aby očekávaná hodnota normálního objednaného produktu byla nula. Například vteorie tepelného pole jiný typ očekávané hodnoty, tepelná stopa nad maticí hustoty, vyžaduje jinou definici normální objednávání.^[4]

Viz také

Isserlisova věta

Reference

^ Tony Philips (listopad 2001). „Konečněrozměrné Feynmanovy diagramy“. Co je nového v matematice. Americká matematická společnost. Citováno 2007-10-23.
^ Wick, G. C. (1950). "Hodnocení kolizní matice". Phys. Rev. 80 (2): 268–272. doi:10.1103 / PhysRev.80.268.
^ Viz například také: Mrinal Dasgupta: Úvod do teorie kvantového pole, Přednášky prezentované na RAL School for High Energy Physics, Somerville College, Oxford, září 2008, část 5.1 Wickova věta (staženo 3. prosince 2012)
^ Evans, T. S .; Steer, D. A. (1996). „Wickova věta o konečné teplotě“. Nucl. Phys. B. 474: 481–496. arXiv:hep-ph / 9601268. doi:10.1016/0550-3213(96)00286-6.

Další čtení

Peskin, M. E.; Schroeder, D. V. (1995). Úvod do teorie kvantového pole. Knihy Perseus. (§4.3)
Schweber, Silvan S. (1962). Úvod do relativistické teorie kvantového pole. New York: Harper a Row. (Kapitola 13, bod c)

[1] Tony Philips (listopad 2001). „Konečněrozměrné Feynmanovy diagramy“. Co je nového v matematice. Americká matematická společnost. Citováno 2007-10-23.

[2] Wick, G. C. (1950). "Hodnocení kolizní matice". Phys. Rev. 80 (2): 268–272. doi:10.1103 / PhysRev.80.268.

[3] Viz například také: Mrinal Dasgupta: Úvod do teorie kvantového pole, Přednášky prezentované na RAL School for High Energy Physics, Somerville College, Oxford, září 2008, část 5.1 Wickova věta (staženo 3. prosince 2012)

[4] Evans, T. S .; Steer, D. A. (1996). „Wickova věta o konečné teplotě“. Nucl. Phys. B. 474: 481–496. arXiv:hep-ph / 9601268. doi:10.1016/0550-3213(96)00286-6.

[1]

[2]

[3]

[4]