Pauli – Lubanski pseudovektor - Pauli–Lubanski pseudovector

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Slabá síla Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Symetrie překladu prostoru Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentzova symetrie Poincarého symetrie Symetrie měřidla Explicitní narušení symetrie Spontánní narušení symetrie Teorie Yang – Mills Noether poplatek Topologický náboj
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Očekávaná hodnota Pole duchů Faddeev – Popovští duchové Feynmanův diagram Teorie mřížky LSZ redukční vzorec Funkce oddílu Propagátor Kvantování Regulace Renormalizace Stav vakua Wickova věta Wightmanovy axiomy Feynmanova parametrizace
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca rovnice Wheeler – DeWittova rovnice Bargmann – Wignerovy rovnice Joos – Weinbergova rovnice Weylova rovnice
Standardní model Stav kvantového vakua Kvantová dynamika Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtuální částice
Neúplné teorie Kauzální dynamická triangulace Příčinné fermionové systémy Kauzální sady Konformní teorie pole Diracké moře Poruchová teorie Teorie dvourozměrného konformního pole Teorie kvantového pole v zakřiveném časoprostoru Teorie tepelného kvantového pole Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Poloklasická gravitace Odstředivá pěna Teorie strun Teorie superstrun M-teorie Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Kanonická kvantová gravitace Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Smyčková kvantová kosmologie Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Colemane Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

v fyzika, Pauli – Lubanski pseudovektor je operátor definované z hybnosti a moment hybnosti, použitý v kvantově relativistické popis momentu hybnosti. Je pojmenován po Wolfgang Pauli a Józef Lubański,^[1]

Popisuje stavy rotace pohybujících se částic.^[2] Je to generátor malá skupina z Poincaré skupina, to je maximální podskupina (se čtyřmi generátory) opouštějící vlastní čísla čtyři momenty vektor P_μ neměnný.^[3]

Definice

To je obvykle označeno Ž (nebo méně často S) a definováno:^[4][5][6]

kde

• ${ displaystyle varepsilon _ { mu nu rho sigma}}$ je čtyřrozměrný naprosto antisymetrický Symbol Levi-Civita;
• ${ displaystyle J ^ { nu rho}}$ je relativistický tenzor momentu hybnosti operátor (${ displaystyle M ^ { nu rho}}$);
• ${ displaystyle P ^ { sigma}}$ je čtyři momenty operátor.

V jazyce vnější algebra, lze jej zapsat jako Hodge dual a trivector,^[7]

${ displaystyle mathbf {W} = hvězda ( mathbf {J} klín mathbf {p}).}$

Poznámka ${ displaystyle W_ {0} = { vec {J}} cdot { vec {P}}}$, a ${ displaystyle { vec {W}} = E { vec {J}} - { vec {P}} časy { vec {K}}.}$

Ž_μ evidentně uspokojuje

${ displaystyle P ^ { mu} W _ { mu} = 0,}$

stejně jako následující komutátor vztahy,

${ displaystyle left [P ^ { mu}, W ^ { nu} right] = 0,}$

${ displaystyle left [J ^ { mu nu}, W ^ { rho} right] = i left (g ^ { rho nu} W ^ { mu} -g ^ { rho mu} W ^ { nu} right),}$

Tudíž,

${ displaystyle left [W _ { mu}, W _ { nu} right] = - i epsilon _ { mu nu rho sigma} W ^ { rho} P ^ { sigma}.}$

Skalární Ž_μŽ^μ je Lorentzův invariantní operátor a dojíždí se čtyřmi momenty, a může tak sloužit jako štítek pro neredukovatelné jednotné reprezentace skupiny Poincaré. To znamená, že může sloužit jako štítek pro roztočit, rys struktury časoprostoru reprezentace, nad a relativisticky invariantní označení P_μP^μ pro množství všech států v reprezentaci.

Malá skupina

Ve vlastním prostoru ${ displaystyle S}$ z 4-momentový operátor ${ displaystyle P}$ s vlastní hodnotou 4 hybnosti ${ displaystyle k}$ hilbertovského prostoru kvantového systému (nebo v tomto ohledu standardní reprezentace s ℝ⁴ interpretováno jako hybný prostor působí 5 × 5 matic s levým horním 4 × 4 blokuje běžnou Lorentzovu transformaci, poslední sloupec vyhrazený pro překlady a akci provedenou na prvcích ${ displaystyle p}$ (vektory sloupců) prostoru hybnosti s 1 připojeno jako pátý řádek, viz standardní texty^[8][9]) platí:^[10]

• Součásti ${ displaystyle W}$ s ${ displaystyle P ^ { mu}}$ nahrazen ${ displaystyle k ^ { mu}}$ tvoří algebru lži. Je to lže algebra malé skupiny ${ displaystyle L_ {k}}$z ${ displaystyle k}$, tj. podskupina homogenní Lorentzovy skupiny, která opouští ${ displaystyle k}$ neměnný.
• Pro každou neredukovatelnou jednotnou reprezentaci ${ displaystyle L_ {k}}$ existuje neredukovatelné jednotné zastoupení celé Poincarého skupiny zvané an indukovaná reprezentace.
• Reprezentační prostor indukované reprezentace lze získat postupnou aplikací prvků celé skupiny Poincaré na nenulový prvek ${ displaystyle S}$ a rozšiřuje se o linearitu.

Neredukovatelné jednotné zastoupení skupiny Poincaré se vyznačuje vlastními hodnotami dvou Casimirových operátorů ${ displaystyle P ^ {2}}$ a ${ displaystyle W ^ {2}}$. Nejlepší způsob, jak zjistit, že se ve skutečnosti získá neredukovatelná jednotná reprezentace, je vystavit svou akci prvku s libovolnou vlastní hodnotou 4 momentu ${ displaystyle p}$ v takto získaném reprezentačním prostoru.^{[11] :62–74}Neredukovatelnost vyplývá z konstrukce reprezentačního prostoru.

Masivní pole

v kvantová teorie pole, v případě masivního pole, Kazimír neměnný Ž_μŽ^μ popisuje celkem roztočit částice, s vlastní čísla

${ displaystyle W ^ {2} = W _ { mu} W ^ { mu} = - m ^ {2} s (s + 1),}$

kde s je točit kvantové číslo částice a m je jeho odpočinková hmota.

Je to přímé vidět v zbytek rámu částice, výše uvedený komutátor působící na stav částice činí [Ž_j , Ž_k] = já ε_jkl Ž_l m; proto Ž→ = mJ→ a Ž⁰ = 0, takže malá skupina odpovídá rotační skupině,

${ displaystyle W _ { mu} W ^ { mu} = - m ^ {2} { vec {J}} cdot { vec {J}}.}$

Protože se jedná o Lorentzův invariant množství, bude to stejné ve všech ostatních referenční snímky.

Je také obvyklé brát Ž³ popsat projekci rotace ve třetím směru v klidovém rámci.

V pohyblivých rámech se rozkládá Ž = (Ž₀, Ž→) do komponent (Ž₁, Ž₂, Ž₃), s Ž₁ a Ž₂ kolmo na P→, a Ž₃ paralela k P→, vektor Pauli – Lubanski může být vyjádřen jako spinový vektor S→ = (S₁, S.₂, S.₃) (podobně rozloženo) jako

${ displaystyle W_ {0} = PS_ {3}, qquad W_ {1} = mS_ {1}, qquad W_ {2} = mS_ {2}, qquad W_ {3} = { frac {E} {c ^ {2}}} S_ {3},}$

kde

${ displaystyle E ^ {2} = P ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}$

je vztah energie a hybnosti.

Příčné složky Ž₁, Ž₂, spolu s S₃, uspokojit následující vztahy komutátoru (které platí obecně, nejen pro reprezentace nenulové hmotnosti),

${ displaystyle [W_ {1}, W_ {2}] = { frac {ih} {2 pi}} left ( left ({ frac {E} {c ^ {2}}} right) ^ {2} - left ({ frac {P} {c}} right) ^ {2} right) S_ {3}, qquad [W_ {2}, S_ {3}] = { frac {ih} {2 pi}} W_ {1}, qquad [S_ {3}, W_ {1}] = { frac {ih} {2 pi}} W_ {2}.}$

Pro částice s nenulovou hmotností a pole spojená s těmito částicemi

${ displaystyle [W_ {1}, W_ {2}] = { frac {ih} {2 pi}} m ^ {2} S_ {3}.}$

Bezhmotná pole

Obecně lze u nemasivních zobrazení rozlišit dva případy. U nehmotných částic ^[11]:71–72

${ displaystyle W ^ {2} = W _ { mu} W ^ { mu} = - E ^ {2} left ((K_ {2} -J_ {1}) ^ {2} + (K_ {1 } + J_ {2}) ^ {2} vpravo) ; { stackrel { mathrm {def}} {=}} ; - E ^ {2} (A ^ {2} + B ^ {2} ),}$

kde K.→ je vektor dynamického hromadného momentu. Matematicky tedy P² = 0 neznamená Ž² = 0.

Kontinuální rotace

V obecnějším případě komponenty Ž→ příčně k P→ může být nenulová, čímž se získá rodina reprezentací označovaných jako válcovitý luxony („luxon“ je další termín pro „bezhmotné částice“), jejich identifikační vlastností je, že komponenty Ž→ tvoří Lieovu subalgebru isomorfní s 2-dimenzionální euklidovskou skupinou ISO (2), s podélnou složkou Ž→ hraje roli generátoru rotace a příčné komponenty roli generátorů translace. To činí a skupinová kontrakce z SO (3)a vede k tomu, co je známé jako nepřetržité otáčení reprezentace. V této rodině však nejsou známy žádné fyzické případy základních částic nebo polí. Lze prokázat, že stavy spojitého otáčení jsou nefyzické.^{[11]:69–74[12]}

Helicity reprezentace

Ve zvláštním případě Ž→ je paralelní s P→; nebo ekvivalentně Ž→ × P→ = 0→. Pro nenulovou Ž→, toto omezení lze důsledně uvalit pouze na luxony, protože komutátor dvou příčných složek Ž→ je úměrný m² J→ · P→. Pro tuto rodinu Ž ² = 0 a Ž^μ = λP^μ; invariant je místo toho (Ž⁰)² = (Ž³)², kde

${ displaystyle W ^ {0} = - { vec {J}} cdot { vec {P}} ~,}$

takže invariant je reprezentován helicita operátor

${ displaystyle W ^ {0} / P ~.}$

Všechny částice, které interagují s Slabá jaderná síla například spadají do této rodiny, protože definice slabého jaderného náboje (slabý isospin ) zahrnuje helicitu, která výše musí být neměnná. Vzhled nenulové hmotnosti v takových případech musí být poté vysvětlen jinými prostředky, například Higgsův mechanismus. I po zohlednění takových mechanismů generujících masu však foton (a tedy elektromagnetické pole) nadále spadá do této třídy, i když ostatní hromadné vlastní stavy nosných elektroslabá síla (dále jen Ž částice a anti-částice a Z částice) získají nenulovou hmotnost.

Neutrinos byl dříve považován za spadající také do této třídy. Avšak skrz kmitání neutrin, je nyní známo, že alespoň dva ze tří hmotných vlastních stavů levého a helicitního neutrina a každého musí mít nenulovou hmotnost.

Viz také

• Těžiště (relativistické)
• Wignerova klasifikace
• Operátor momentu hybnosti
• Provozovatel kasimíru
• Chirality
• Pseudovektor
• Pseudotenzor
• Vyvolané zastoupení

Poznámky

Reference

• Bogolyubov, N.N. (1989). Obecné principy teorie kvantového pole (2. vyd.). Springer Verlag. ISBN  0-7923-0540-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Brown, L. S. (1994). Teorie kvantového pole. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-46946-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Hall, Brian C. (2015), Lie skupiny, Lie algebry a Reprezentace: Elementární úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN  978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Lubański, J. K. (1942A). „Sur la theorie des particules élémentaires de spin quelconque. Já.“ Physica (francouzsky). 9 (3): 310–324. Bibcode:1942Phy ..... 9..310L. doi:10.1016 / S0031-8914 (42) 90113-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lubanski, J. K. (1942B). „Sur la théorie des particules élémentaires de spin quelconque. II“. Physica (francouzsky). 9 (3): 325–338. Bibcode:1942Phy ..... 9..325L. doi:10.1016 / S0031-8914 (42) 90114-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Ohlsson, T. (2011). Relativistická kvantová fyzika: Od pokročilé kvantové mechaniky po úvodní teorii kvantového pole. Cambridge University Press. ISBN  1-139-50432-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Penrose, R. (2005). Cesta do reality. Vintage knihy. ISBN  978-0-09-944068-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, Oxford Science Publications, ISBN  0 19 859683 9
• Ryder, L. H. (1996). Teorie kvantového pole (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-47814-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Tung, Wu-Ki (1985). Skupinová teorie ve fyzice (1. vyd.). New Jersey · Londýn · Singapur · Hongkong: World Scientific. ISBN  978-9971966577.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weinberg, S. (2002) [1995], NadaceKvantová teorie polí, 1, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-55001-7
• Wigner, E. P. (1939). "Na jednotných reprezentacích nehomogenní skupiny Lorentz". Annals of Mathematics. 40 (1): 149 204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. PAN  1503456.CS1 maint: ref = harv (odkaz)