Formulace fázového prostoru - Phase-space formulation

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

The formulace fázového prostoru kvantová mechanika umístí pozice a hybnost proměnné za stejných podmínek, v fázový prostor. Naproti tomu Schrödingerův obrázek používá pozici nebo reprezentace hybnosti (viz také poloha a prostor hybnosti ). Dva klíčové rysy formulace fázového prostoru spočívají v tom, že kvantový stav je popsán a rozdělení kvazi pravděpodobnosti (místo a vlnová funkce, státní vektor nebo matice hustoty ) a násobení operátorů je nahrazeno a hvězdný produkt.

Teorie byla plně vyvinuta Hilbrand Groenewold v roce 1946 ve své disertační práci,^[1] a nezávisle na Joe Moyal,^[2] každý staví na dřívějších nápadech od Hermann Weyl^[3] a Eugene Wigner.^[4]

Hlavní výhodou formulace fázového prostoru je to, že díky ní vypadá kvantová mechanika podobně Hamiltoniánská mechanika pokud možno tím, že se vyhnete formalismu provozovatele, čímž "" uvolníte "kvantifikaci" zátěže "systému Hilbertův prostor ".^[5] Tato formulace je statistické povahy a nabízí logická spojení mezi kvantovou mechanikou a klasickou statistickou mechanikou, což umožňuje přirozené srovnání mezi nimi (viz klasický limit ). Kvantová mechanika ve fázovém prostoru je často upřednostňována kvantová optika aplikace (viz optický fázový prostor ), nebo při studiu dekoherence a řada specializovaných technických problémů, i když jinak je formalismus v praktických situacích využíván méně často.^[6]

Koncepční myšlenky, z nichž vychází vývoj kvantové mechaniky ve fázovém prostoru, se rozvětvily na matematické odnože, jako je Kontsevichova deformační kvantifikace (viz Kontsevichův kvantizační vzorec ) a nekomutativní geometrie.

Distribuce ve fázovém prostoru

Distribuce fázového prostoru F(X, p) kvantového stavu je distribuce kvazi-pravděpodobnosti. Ve formulaci fázového prostoru může být distribuce fázového prostoru považována za základní primitivní popis kvantového systému bez jakéhokoli odkazu na vlnové funkce nebo matice hustoty.^[7]

Existuje několik různých způsobů, jak reprezentovat distribuci, všechny spolu souvisí.^[8][9] Nejpozoruhodnější je Reprezentant poutníka, Ž(X, p), objeveno jako první.^[4] Mezi další reprezentace (v literatuře přibližně sestupně podle prevalence) patří Glauber – Sudarshan P,^[10][11] Husimi Q,^[12] Reprezentace Kirkwood – Rihaczek, Mehta, Rivier a Born – Jordan.^[13][14] Tyto alternativy jsou nejužitečnější, když má hamiltonián určitou formu, jako např normální pořadí pro P-zastoupení Glauber – Sudarshan. Protože Wignerova reprezentace je nejběžnější, bude se jej tento článek obvykle držet, pokud není uvedeno jinak.

Distribuce fázového prostoru má vlastnosti podobné hustotě pravděpodobnosti v 2n-dimenzionální fázový prostor. Například je skutečný, na rozdíl od obecně komplexní funkce vlny. Můžeme pochopit pravděpodobnost, že ležíte v polohovém intervalu, například integrací funkce Wigner přes všechny momenty a přes polohový interval:

${ displaystyle operatorname {P} [a leq X leq b] = int _ {a} ^ {b} int _ {- infty} ^ { infty} W (x, p) , dp , dx.}$

Li A(X, p) je operátor představující pozorovatelný, může být mapován do fázového prostoru jako A(X, p) skrz Wignerova transformace. Naopak, tento operátor může být obnoven Weylova transformace.

Očekávaná hodnota pozorovatelného vzhledem k distribuci fázového prostoru je^[2][15]

${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = int A (x, p) W (x, p) , dp , dx.}$

Opatrně však: navzdory podobnosti vzhledu, Ž(X, p) není pravý společné rozdělení pravděpodobnosti, protože regiony pod ním nepředstavují vzájemně se vylučující státy, jak je požadováno v třetí axiom teorie pravděpodobnosti. Navíc to obecně může trvat záporné hodnoty i pro čisté stavy, s jedinečnou výjimkou (volitelně vymačkaný ) koherentní stavy, v rozporu s první axiom.

Je dokázáno, že regiony s takovou zápornou hodnotou jsou „malé“: nemohou se rozšířit do kompaktních oblastí větších než několik ħ, a proto zmizí v klasický limit. Jsou chráněni princip nejistoty, který neumožňuje přesnou lokalizaci v regionech fázového prostoru menších než ħ, a tím činí takové „negativní pravděpodobnosti“ méně paradoxní. Pokud má být levá strana rovnice interpretována jako očekávaná hodnota v Hilbertově prostoru s ohledem na operátora, pak v kontextu kvantová optika tato rovnice je známá jako věta o optické ekvivalenci. (Podrobnosti o vlastnostech a interpretaci funkce Wigner najdete v části Hlavní článek.)

Alternativní přístup k kvantové mechanice ve fázovém prostoru se snaží definovat vlnovou funkci (nejen hustotu kvazik pravděpodobnosti) ve fázovém prostoru, obvykle pomocí Segal – Bargmannova transformace. Aby byla slučitelná s principem neurčitosti, funkce vln fázového prostoru nemůže být libovolná funkce, jinak by mohla být lokalizována do libovolně malé oblasti fázového prostoru. Spíše je Segal – Bargmannova transformace holomorfní funkce z ${ displaystyle x + ip}$. S funkcí vln ve fázovém prostoru je spojena hustota kvazik pravděpodobnosti; to je Husimi Q zastoupení funkce poziční vlny.

Hvězdný produkt

Základní nekomutativní binární operátor ve formulaci fázového prostoru, který nahrazuje standardní násobení operátorů, je hvězdný produkt, představovaný symbolem ★.^[1] Každá reprezentace distribuce fázového prostoru má a odlišný charakteristický hvězdný produkt. Pro úplnost omezíme tuto diskusi na hvězdný produkt relevantní pro reprezentaci Wigner-Weyl.

Pro lepší pohodlí představujeme pojem levý a pravý derivát. Pro dvojici funkcí F a G, levý a pravý derivát jsou definovány jako

${ displaystyle { begin {aligned} f { overleftarrow { částečné}} _ {x} g & = { frac { částečné f} { částečné x}} cdot g [5pt] f { overrightarrow { částečné}} _ {x} g & = f cdot { frac { částečné g} { částečné x}}. end {zarovnáno}}}$

The diferenciální definice hvězdičkového produktu je

${ displaystyle f star g = f , exp { left ({ frac {i hbar} {2}} left ({ overleftarrow { částečné}} _ {x} { overrightarrow { částečné }} _ {p} - { overleftarrow { částečné}} _ {p} { overrightarrow { částečné}} _ {x} vpravo) vpravo)} , g}$

kde argument exponenciální funkce lze interpretovat jako mocninnou řadu. Další diferenciální vztahy umožňují, aby to bylo zapsáno z hlediska změny argumentů F a G:

${ displaystyle { begin {aligned} (f star g) (x, p) & = f left (x + { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { částečné}} _ {p }, p - { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { částečné}} _ {x} vpravo) cdot g (x, p) & = f (x, p) cdot g left (x - { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {p}, p + { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { částečné}} _ {x} pravé) & = f levé (x + { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { částečné}} _ {p}, p pravé) cdot g left (x - { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {p}, p right) & = f left (x, p - { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { částečné}} _ {x} vpravo) cdot g left (x, p + { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { částečné}} _ {x} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Je také možné definovat ★-produkt v konvoluční integrální formě,^[16] v podstatě prostřednictvím Fourierova transformace:

${ displaystyle (f star g) (x, p) = { frac {1} { pi ^ {2} hbar ^ {2}}} , int f (x + x ', p + p ') , g (x + x' ', p + p' ') , exp { left ({ tfrac {2i} { hbar}} (x'p' '- x''p') right)} , dx'dp'dx''dp '~ ~}$

(Tedy např.^[7] Gaussové skládají hyperbolicky,

${ displaystyle exp left (- {a} (x ^ {2} + p ^ {2}) right) ~ star ~ exp left (- {b} (x ^ {2} + p ^ {2}) right) = {1 nad 1+ hbar ^ {2} ab} exp left (- {a + b nad 1+ hbar ^ {2} ab} (x ^ {2} + p ^ {2}) right),}$

nebo

${ displaystyle delta (x) ~ star ~ delta (p) = {2 over h} exp left (2i {xp over hbar} right),}$

atd.)

Energie vlastní stát distribuce jsou známé jako hvězdné státy, ★-genstáty, funkce hvězdných genůnebo ★-genové funkcea související energie jsou známé jako hodnoty hvězd nebo ★-genové hodnoty. Jsou řešeny analogicky s časově nezávislými Schrödingerova rovnice tím, že ★rovnice genové hodnoty,^[17][18]

${ displaystyle H star W = E cdot W,}$

kde H je Hamiltonian, prostá funkce fázového prostoru, nejčastěji identická s klasickým Hamiltonianem.

Vývoj času

The vývoj času distribuce fázového prostoru je dána kvantovou modifikací Průtok Liouville.^[2][9][19] Tento vzorec je výsledkem použití Transformace vládce na verzi matice hustoty kvantová Liouvilleova rovnice, von Neumannova rovnice.

V jakékoli reprezentaci distribuce fázového prostoru s přidruženým hvězdným produktem to je

${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné t}} = - { frac {1} {i hbar}} vlevo (f hvězda H-H hvězda f doprava),}$

nebo, zejména pro funkci Wigner,

${ displaystyle { frac { částečné W} { částečné t}} = - { {W, H } } = - { frac {2} { hbar}} W sin vlevo ({ { frac { hbar} {2}} ({ overset { leftarrow} { partial _ {x}}} { overset { rightarrow} { partial _ {p}}} - { overset { leftarrow} { partial _ {p}}} { overset { rightarrow} { partial _ {x}}})} right) H = - {W, H } + O ( hbar ^ { 2}),}$

kde je Věrný držák, Wignerova transformace kvantového komutátoru, zatímco {,} je klasická Poissonova závorka.^[2]

To poskytuje výstižnou ilustraci zásada korespondence: tato rovnice se v limitu zjevně redukuje na klasickou Liouvilleovu rovnici ħ → 0. V kvantovém prodloužení toku však hustota bodů ve fázovém prostoru není zachována; pravděpodobnostní kapalina se jeví jako „difuzní“ a stlačitelná.^[2] Koncept kvantové trajektorie je zde tedy choulostivý problém.^[20] Podívejte se níže na film o Morseově potenciálu, abyste ocenili nelokálnost toku kvantové fáze.

N.B. Vzhledem k omezením stanoveným zásadou nejistoty na lokalizaci Niels Bohr rázně popřel fyzickou existenci takových trajektorií v mikroskopickém měřítku. Pomocí formálních trajektorií fázového prostoru lze důsledně vyřešit problém časového vývoje funkce Wigner pomocí metody integrace dráhy^[21] a metoda kvantových charakteristik,^[22] ačkoli v obou případech existují závažné praktické překážky.

Příklady

Jednoduchý harmonický oscilátor

Wignerova kvaziprobability distribuce F_n(u) pro jednoduchý harmonický oscilátor s A) n = 0, b) n = 1, a c) n = 5.

Hamiltonián pro jednoduchý harmonický oscilátor v jedné prostorové dimenzi ve Wigner-Weylově znázornění je

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ {2}} {2m}}.}$

The ★-genvalue rovnice pro statický Funkce Wigner pak načte

${ displaystyle { begin {aligned} H star W = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ { 2}} {2m}} vpravo) star W [4pt] = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} left (x + { frac { i hbar} {2}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {p} right) ^ {2} + { frac {1} {2m}} left (p - { frac {i hbar} {2}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x} right) ^ {2} right) ~ W [4pt] = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} vlevo (x ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {4}} { stackrel { rightarrow} { částečný }} _ {p} ^ {2} vpravo) + { frac {1} {2m}} vlevo (p ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {4}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x} ^ {2} right) right) ~ W [4pt] & {} + { frac {i hbar} {2}} left ( m omega ^ {2} x { stackrel { rightarrow} { částečné}} _ {p} - { frac {p} {m}} { stackrel { rightarrow} { částečné}} _ {x } right) ~ W [4pt] = {} & E cdot W. end {zarovnáno}}}$

Časový vývoj kombinované zemní funkce a funkce Wignerova prvního excitovaného stavu pro jednoduchý harmonický oscilátor. Všimněte si strnulého pohybu ve fázovém prostoru, který odpovídá konvenčním kmitům v souřadnicovém prostoru.

Funkce Wigner pro základní stav harmonického oscilátoru, posunutý od počátku fázového prostoru, tj. A soudržný stav. Všimněte si tuhé rotace, identické s klasickým pohybem: toto je speciální vlastnost SHO, ilustrující zásada korespondence. Z webové stránky všeobecné pedagogiky.^[23]

(Kliknutím animujete.)

Zvažte nejprve imaginární část ★rovnice genové hodnoty,

${ displaystyle { frac { hbar} {2}} vlevo (m omega ^ {2} x { stackrel { rightarrow} { částečné _ {p}}} - { frac {p} {m }} { stackrel { rightarrow} { částečný _ {x}}} vpravo) cdot W = 0}$

To znamená, že lze napsat ★-genstates jako funkce jednoho argumentu,

${ displaystyle W (x, p) = F vlevo ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ {2}} {2m} } vpravo) ekviv F (u).}$

S touto změnou proměnných je možné zapsat skutečnou část souboru ★-genvalue rovnice ve formě upravené Laguerrovy rovnice (ne Hermitova rovnice!), jehož řešení zahrnuje Laguerrovy polynomy tak jako^[18]

${ displaystyle F_ {n} (u) = { frac {(-1) ^ {n}} { pi hbar}} L_ {n} vlevo (4 { frac {u} { hbar omega }} vpravo) e ^ {- 2u / hbar omega} ~,}$

představil Groenewold ve svém příspěvku,^[1] s přidruženými ★-hodnoty

${ displaystyle E_ {n} = hbar omega left (n + { frac {1} {2}} right) ~.}$

Pro harmonický oscilátor je časový vývoj libovolného Wignerova rozdělení jednoduchý. Počáteční Ž(X,p; t = 0) = F(u) se vyvíjí podle výše uvedené evoluční rovnice poháněné oscilátorem Hamiltonian, jednoduše pevně rotující ve fázovém prostoru,^[1]

${ Displaystyle W (x, p; t) = W (m omega x cos omega t-p sin omega t, ~ p cos omega t + omega mx sin omega t; 0) ~.}$

Typicky „boule“ (nebo koherentní stav) energie E ≫ ħω může představovat makroskopickou veličinu a vypadat jako klasický objekt rovnoměrně rotující ve fázovém prostoru, prostý mechanický oscilátor (viz animované obrázky). Integrace ve všech fázích (počáteční pozice v t = 0) takových objektů, spojitá „palisáda“, poskytuje časově nezávislou konfiguraci podobnou výše uvedené statice ★-genstates F(u), intuitivní vizualizace klasický limit pro velké akční systémy.^[6]

Moment hybnosti volných částic

Předpokládejme, že částice je zpočátku minimálně nejistá Gaussův stát, s očekávanými hodnotami polohy a hybnosti jak na střed ve počátku ve fázovém prostoru. Funkce Wigner pro takový stát se volně šíří

${ displaystyle W ( mathbf {x}, mathbf {p}; t) = { frac {1} {( pi hbar) ^ {3}}} exp { left (- alpha ^ { 2} r ^ {2} - { frac {p ^ {2}} { alpha ^ {2} hbar ^ {2}}} left (1+ left ({ frac {t} { tau }} right) ^ {2} right) + { frac {2t} { hbar tau}} mathbf {x} cdot mathbf {p} right)} ~,}$

kde α je parametr popisující počáteční šířku Gaussian, a τ = m/α²ħ.

Zpočátku pozice a moment nejsou vzájemně korelované. Takže ve 3 rozměrech očekáváme, že vektory polohy a hybnosti budou dvakrát tak pravděpodobné, že budou na sebe kolmé jako rovnoběžné.

Jak se však stav vyvíjí, pozice a hybnost stále více korelují, protože části distribuce dále od počátku v pozici vyžadují dosažení větší hybnosti: asymptoticky,

${ displaystyle W longrightarrow { frac {1} {( pi hbar) ^ {3}}} exp left [- alpha ^ {2} left ( mathbf {x} - { frac { mathbf {p} t} {m}} vpravo) ^ {2} vpravo] ,.}$

(Tento příbuzný "mačkání" odráží šíření svobodných vlnový paket v souřadnicovém prostoru.)

Je skutečně možné ukázat, že kinetická energie částice se stává pouze asymptoticky radiální, v souladu se standardní kvantově-mechanickou představou nenulového momentu hybnosti základního stavu určujícího orientační nezávislost:^[24]

${ displaystyle K _ { text {rad}} = { frac { alpha ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({ frac {3} {2}} - { frac {1} {1+ (t / tau) ^ {2}}} vpravo)}$

${ displaystyle K _ { text {ang}} = { frac { alpha ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} { frac {1} {1+ (t / tau) ^ { 2}}} ~.}$

Morseův potenciál

The Morseův potenciál se používá k aproximaci vibrační struktury diatomické molekuly.

Přehrát média

The Funkce Wigner časový vývoj Morseův potenciál U(X) = 20(1 − E^−0.16X)² v atomové jednotky (a.u.). Plné čáry představují nastavena úroveň z Hamiltonian H(X, p) = p²/2 + U(X).

Kvantové tunelování

Tunelování je charakteristickým znakem kvantového efektu, kdy kvantová částice, která nemá dostatek energie k letu nad, stále prochází bariérou. Tento efekt v klasické mechanice neexistuje.

Přehrát média

The Funkce Wigner pro tunelování přes potenciální bariéru U(X) = 8E^−0.25X2 v atomové jednotky (a.u.). Plné čáry představují nastavena úroveň z Hamiltonian H(X, p) = p²/2 + U(X).

Kvartický potenciál

Přehrát média

The Funkce Wigner časový vývoj potenciálu U(X) = 0.1X⁴ v atomové jednotky (a.u.). Plné čáry představují nastavena úroveň z Hamiltonian H(X, p) = p²/2 + U(X).

Schrödinger kočičí stát

Wignerova funkce dvou interferujících koherentních stavů vyvíjejících se prostřednictvím SHO Hamiltonian. Odpovídající projekce hybnosti a souřadnic jsou vyneseny vpravo a pod graf fázového prostoru.

Reference