Degenerujte energetické hladiny - Degenerate energy levels - Wikipedia

v kvantová mechanika, an úroveň energie je degenerovat pokud odpovídá dvěma nebo více různým měřitelným stavům a kvantový systém. Naopak se říká, že dva nebo více různých stavů kvantově mechanické soustavy jsou zdegenerovány, pokud při měření dávají stejnou hodnotu energie. Počet různých stavů odpovídajících určité energetické úrovni je znám jako stupeň degenerace této úrovně. Matematicky je reprezentován symbolem Hamiltonian pro systém, který má více než jeden lineárně nezávislé vlastní stát se stejnou energií vlastní číslo.^{[1]:p. 48} V tomto případě samotná energie nestačí k tomu, aby charakterizovala, v jakém stavu se systém nachází a další kvantová čísla jsou potřebné k charakterizaci přesného stavu, když je požadováno rozlišení. v klasická mechanika, lze to chápat z hlediska různých možných trajektorií odpovídajících stejné energii.

Degenerace hraje zásadní roli v kvantová statistická mechanika. Pro N- částicový systém ve třech rozměrech, jediná energetická úroveň může odpovídat několika různým vlnovým funkcím nebo energetickým stavům. Tyto degenerované stavy na stejné úrovni jsou stejně pravděpodobné, že budou naplněny. Počet takových stavů dává degeneraci určité energetické úrovně.

Degenerační stavy v kvantovém systému

Matematika

Možné stavy kvantově mechanického systému lze matematicky považovat za abstraktní vektory v oddělitelném komplexu Hilbertův prostor, zatímco pozorovatelné mohou být zastoupeny lineární Hermitovské operátory jednat podle nich. Výběrem vhodného základ, lze určit komponenty těchto vektorů a maticové prvky operátorů na tomto základě. Li A je N × N matice, X nenulová vektor, a λ je skalární, takový, že ${ displaystyle AX = lambda X}$, pak skalární λ se říká, že je vlastním číslem A a vektor X je považován za vlastní vektor odpovídající λ. Spolu s nulovým vektorem, množinou všech vlastní vektory odpovídající danému vlastnímu číslu λ formulář a podprostor z ℂⁿ, kterému se říká vlastní prostor z λ. Vlastní číslo λ což odpovídá dvěma nebo více různým lineárně nezávislým vlastním vektorům degenerovat, tj., ${ displaystyle AX_ {1} = lambda X_ {1}}$ a ${ displaystyle AX_ {2} = lambda X_ {2}}$, kde ${ displaystyle X_ {1}}$ a ${ displaystyle X_ {2}}$ jsou lineárně nezávislé vlastní vektory. The dimenze vlastního prostoru odpovídající tomuto vlastnímu číslu je známý jako jeho stupeň degenerace, které mohou být konečné nebo nekonečné. Vlastní číslo je považováno za nedegenerované, pokud je jeho vlastní prostor jednorozměrný.

Vlastní čísla matic představujících fyziku pozorovatelné v kvantová mechanika uveďte měřitelné hodnoty těchto pozorovatelných hodnot, zatímco vlastní stavy odpovídající těmto vlastním hodnotám poskytují po měření možné stavy, ve kterých lze systém nalézt. Měřitelné hodnoty energie kvantového systému jsou dány vlastními čísly hamiltonovského operátora, zatímco jeho vlastní stavy udávají možné energetické stavy systému. O hodnotě energie se říká, že se zdegeneruje, pokud s ní souvisejí alespoň dva lineárně nezávislé energetické stavy. Navíc jakékoli lineární kombinace dvou nebo více zdegenerovaných vlastních čísel je také vlastní stav hamiltonovského operátora odpovídající stejné vlastní hodnotě energie. To jasně vyplývá ze skutečnosti, že vlastní prostor energetické hodnoty vlastní hodnoty λ je podprostor (je jádro hamiltonovského mínusu λ krát identita), proto je uzavřena lineárními kombinacemi.

Důkaz výše uvedené věty.[2]:p. 52

Li ${ displaystyle { hat {H}}}$ představuje Hamiltonian provozovatel a ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ a ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ jsou dva vlastní stavy odpovídající stejné vlastní hodnotě E, pak ${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {1} rangle = E | psi _ {1} rangle}$ ${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {2} rangle = E | psi _ {2} rangle}$ Nechat ${ displaystyle | psi rangle = c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} rangle}$, kde ${ displaystyle c_ {1}}$ a ${ displaystyle c_ {2}}$ jsou složité (obecně) konstanty, ať už jde o libovolnou lineární kombinaci ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ a ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$.Pak, ${ displaystyle { hat {H}} | psi rangle = { hat {H}} (c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} zvonit)}$ ${ displaystyle = c_ {1} { hat {H}} | psi _ {1} rangle + c_ {2} { hat {H}} | psi _ {2} rangle}$ ${ displaystyle = E (c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} rangle)}$ ${ displaystyle = E | psi rangle}$ což ukazuje ${ displaystyle | psi rangle}$ je vlastním státem ${ displaystyle { hat {H}}}$ se stejnou vlastní hodnotou E.

Vliv degenerace na měření energie

Pokud nedojde k degeneraci, je-li určena měřená hodnota energie kvantového systému, předpokládá se, že je znám odpovídající stav systému, protože každému vlastnímu číslu energie odpovídá pouze jeden vlastní stav. Pokud však Hamiltonian ${ displaystyle { hat {H}}}$ má zdegenerované vlastní číslo ${ displaystyle E_ {n}}$ stupně g_nvlastní státy s ním spojené tvoří a vektorový podprostor z dimenze G_n. V takovém případě lze ke stejnému výsledku přidružit několik konečných stavů ${ displaystyle E_ {n}}$, z nichž všechny jsou lineární kombinace g_n ortonormální vlastní vektory ${ displaystyle | E_ {n, i} rangle}$.

V tomto případě je pravděpodobnost, že hodnota energie změřená pro systém ve stavu ${ displaystyle | psi rangle}$ přinese hodnotu${ displaystyle E_ {n}}$ je dána součtem pravděpodobností nalezení systému v každém ze států na tomto základě, tj.

${ displaystyle P (E_ {n}) = součet _ {i = 1} ^ {g_ {n}} | langle E_ {n, i} | psi rangle | ^ {2}}$

Degenerace v různých dimenzích

Tato část má za cíl ilustrovat existenci degenerovaných energetických hladin v kvantových systémech studovaných v různých dimenzích. Studium jednorozměrných a dvojrozměrných systémů pomáhá koncepčnímu porozumění složitějších systémů.

Degenerace v jedné dimenzi

V několika případech analytický Výsledky lze snáze získat při studiu jednorozměrných systémů. Pro kvantovou částici s a vlnová funkce ${ displaystyle | psi rangle}$ pohybující se v jednorozměrném potenciálu ${ displaystyle V (x)}$, časově nezávislá Schrödingerova rovnice lze psát jako

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} + V psi = E psi}$

Jelikož se jedná o běžnou diferenciální rovnici, existují dvě nezávislé vlastní funkce pro danou energii ${ displaystyle E}$ nanejvýš tak, aby stupeň degenerace nikdy nepřekročil dva. Je dokázáno, že v jedné dimenzi neexistují žádní zvrhlíci vázané státy pro normalizovatelné vlnové funkce. Dostatečná podmínka po částech spojitého potenciálu ${ displaystyle V}$ a energie ${ displaystyle E}$ je existence dvou reálných čísel ${ displaystyle M, x_ {0}}$ s ${ displaystyle M neq 0}$ takhle ${ displaystyle forall x> x_ {0}}$ my máme ${ displaystyle V (x) -E geq M ^ {2}}$.^[3] Zejména, ${ displaystyle V}$ je v tomto kritériu omezen níže.

Důkaz výše uvedené věty.

Uvažování o jednorozměrném kvantovém systému v potenciálu ${ displaystyle V (x)}$ s degenerovanými stavy ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ a ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ odpovídá stejné vlastní hodnotě energie ${ displaystyle E}$, psaní časově nezávislé Schrödingerovy rovnice pro systém: ${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi _ {1}} {dx ^ {2}}} + V psi _ {1 } = E psi _ {1}}$ ${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi _ {2}} {dx ^ {2}}} + V psi _ {2 } = E psi _ {2}}$ Vynásobení první rovnice ${ displaystyle psi _ {2}}$ a druhý od ${ displaystyle psi _ {1}}$ a odečtením jednoho od druhého dostaneme: ${ displaystyle psi _ {1} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} psi _ {2} - psi _ {2} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} psi _ {1} = 0}$ Integrace obou stran ${ displaystyle psi _ {1} { frac {d psi _ {2}} {dx}} - psi _ {2} { frac {d psi _ {1}} {dx}} = { mbox {stálý}}}$ V případě dobře definovaných a normalizovatelných vlnových funkcí výše uvedená konstanta zmizí, pokud obě vlnové funkce zmizí alespoň v jednom bodě a my najdeme:${ displaystyle psi _ {1} (x) = c psi _ {2} (x)}$kde ${ displaystyle c}$ je obecně složitá konstanta. Pro vázaný stav vlastní funkce (které mají sklon k nule jako ${ displaystyle x rightarrow infty}$) a za předpokladu ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle E}$ splňují podmínku uvedenou výše, lze ji ukázat[3] že také první derivace vlnové funkce se v limitu blíží nule ${ displaystyle x to infty}$, takže výše uvedená konstanta je nula a nemáme žádnou degeneraci.

Degenerace v dvourozměrných kvantových systémech

Dvourozměrné kvantové systémy existují ve všech třech stavech hmoty a mnoho druhů pozorovaných v trojrozměrné hmotě může být vytvořeno ve dvou rozměrech. Skutečné dvourozměrné materiály jsou vyrobeny z monoatomových vrstev na povrchu pevných látek. Některé příklady dvojrozměrných elektronových systémů dosažených experimentálně zahrnují MOSFET, dvourozměrný superlattices z Hélium, Neon, Argon, Xenon atd. a povrch tekuté hélium. Přítomnost degenerovaných energetických hladin je studována v případech částic v krabici a dvourozměrných harmonický oscilátor, které fungují jako užitečné matematické modely pro několik systémů reálného světa.

Částice v obdélníkové rovině

Uvažujme volnou částici v rovině rozměrů ${ displaystyle L_ {x}}$ a ${ displaystyle L_ {y}}$ v rovině neproniknutelných zdí. Časově nezávislá Schrödingerova rovnice pro tento systém s vlnovou funkcí ${ displaystyle | psi rangle}$ lze psát jako

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} psi} {{ částečné x} ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} psi} {{ částečné y} ^ {2}}} vpravo) = E psi}$

Povolené energetické hodnoty jsou

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({ frac {n_ {x} ^ { 2}} {L_ {x} ^ {2}}} + { frac {n_ {y} ^ {2}} {L_ {y} ^ {2}}} vpravo)}$

Funkce normalizovaných vln je

${ displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}} (x, y) = { frac {2} { sqrt {L_ {x} L_ {y}}}} sin left ({ frac {n_ {x} pi x} {L_ {x}}} right) sin left ({ frac {n_ {y} pi y} {L_ {y}}} right)}$

kde ${ displaystyle n_ {x}, n_ {y} = 1,2,3 ...}$

Tak, kvantová čísla ${ displaystyle n_ {x}}$ a ${ displaystyle n_ {y}}$ jsou povinni popisovat vlastní čísla energie a nejnižší energie systému je dána vztahem

${ displaystyle E_ {1,1} = pi ^ {2} { frac { hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({ frac {1} {L_ {x} ^ {2}} } + { frac {1} {L_ {y} ^ {2}}} vpravo)}$

Pro některé přiměřené poměry obou délek ${ displaystyle L_ {x}}$ a ${ displaystyle L_ {y}}$určité páry států jsou zdegenerované. Li ${ displaystyle L_ {x} / L_ {y} = p / q}$, kde p a q jsou celá čísla, stavy ${ displaystyle (n_ {x}, n_ {y})}$ a ${ displaystyle (pn_ {y} / q, qn_ {x} / p)}$ mají stejnou energii, a tak se navzájem degenerují.

Částice ve čtvercové krabici

V tomto případě rozměry krabice ${ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L}$ a vlastní čísla energie jsou dána vztahem

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2})}$

Od té doby ${ displaystyle n_ {x}}$ a ${ displaystyle n_ {y}}$ lze zaměnit bez změny energie, každá energetická úroveň má degeneraci nejméně dvou, když ${ displaystyle n_ {x}}$ a ${ displaystyle n_ {y}}$ jsou rozdílní. Degenerované stavy se také získají, když je součet čtverců kvantových čísel odpovídajících různým energetickým úrovním stejný. Například tři stavy (n_X = 7, n_y = 1), (č_X = 1, n_y = 7) a (n_X = n_y = 5) všichni mají ${ displaystyle E = 50 { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}}}$ a tvoří zdegenerovanou množinu.

Stupně degenerace různých energetických úrovní pro částici ve čtvercovém poli:

${ displaystyle n_ {x}}$	${ displaystyle n_ {y}}$	${ displaystyle E left ({ frac { hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} right)}$	Degenerace
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1

Částice v krychlové krabici

V tomto případě rozměry krabice ${ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L_ {z} = L}$ a vlastní čísla energie závisí na třech kvantových číslech.

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (n_ {x } ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2})}$

Od té doby ${ displaystyle n_ {x}}$, ${ displaystyle n_ {y}}$ a ${ displaystyle n_ {z}}$ mohou být zaměňovány beze změny energie, každá energetická úroveň má degeneraci nejméně tří, když tři kvantová čísla nejsou všechna stejná.

Nalezení jedinečné vlastní základny v případě degenerace

Pokud dva operátory ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ dojíždět, tj. ${ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = 0}$, pak pro každý vlastní vektor ${ displaystyle | psi rangle}$ z ${ displaystyle { hat {A}}}$, ${ displaystyle { hat {B}} | psi rangle}$ je také vlastním vektorem ${ displaystyle { hat {A}}}$ se stejnou vlastní hodnotou. Pokud však toto vlastní číslo, řekněme ${ displaystyle lambda}$, je zdegenerovaný, dá se to říci ${ displaystyle { hat {B}} | psi rangle}$ patří do vlastního prostoru ${ displaystyle E _ { lambda}}$ z ${ displaystyle { hat {A}}}$, o kterém se říká, že je globálně neměnný v důsledku akce ${ displaystyle { hat {B}}}$.

Pro dva dojíždějící pozorovatelé A a B, lze postavit ortonormální základ státního prostoru s vlastními vektory společnými pro oba operátory. Nicméně, ${ displaystyle lambda}$ je zdegenerovaná vlastní hodnota ${ displaystyle { hat {A}}}$, pak je to vlastní vlastní prostor ${ displaystyle { hat {A}}}$ to je neměnné pod akcí ${ displaystyle { hat {B}}}$, takže zastoupení z ${ displaystyle { hat {B}}}$ v eigenbase z ${ displaystyle { hat {A}}}$ není úhlopříčka, ale a bloková diagonální matice, tj. zvrhlé vlastní vektory ${ displaystyle { hat {A}}}$ obecně nejsou vlastní vektory ${ displaystyle { hat {B}}}$. Vždy je však možné si vybrat, v každém zvrhlém vlastním vlastním prostoru ${ displaystyle { hat {A}}}$, základ vlastních vektorů společných pro ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$.

Výběr kompletní sady pozorovatelných informací o dojíždění

Pokud je daný pozorovatelný A je nedegenerovaný, existuje jedinečný základ tvořený jeho vlastními vektory. Na druhou stranu, pokud jedna nebo několik vlastních čísel ${ displaystyle { hat {A}}}$ jsou zdegenerované, určení vlastní hodnoty není dostatečné k charakterizaci základního vektoru. Pokud, výběrem pozorovatelného ${ displaystyle { hat {B}}}$, který dojíždí s ${ displaystyle { hat {A}}}$, je možné sestavit ortonormální základ vlastních vektorů společných pro ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$, což je jedinečné, pro každou z možných dvojic vlastních čísel {a, b} ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ se říká, že tvoří a kompletní sada pozorovatelných informací o dojíždění. Pokud však stále nelze specifikovat jedinečnou sadu vlastních vektorů, pro alespoň jednu z dvojice vlastních čísel, třetí pozorovatelný ${ displaystyle { hat {C}}}$, který dojíždí s oběma ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ lze nalézt tak, že tři tvoří kompletní sadu dojíždějících pozorovatelných.

Z toho vyplývá, že vlastní funkce hamiltoniánu kvantového systému se společnou energetickou hodnotou musí být označeny uvedením některých dalších informací, které lze provést výběrem operátoru, který dojíždí s hamiltoniánem. Tyto další štítky vyžadovaly pojmenování vlastní vlastní energetické funkce a obvykle souvisejí s konstantami pohybu systému.

Degenerujte vlastní stavy energie a operátor parity

Paritní operátor je definován jeho akcí v ${ displaystyle | r rangle}$ reprezentace změny r na -r, tj.

${ displaystyle langle r | P | psi rangle = psi (-r)}$

Je možné ukázat, že vlastní čísla P jsou omezena na ${ displaystyle pm 1}$, což jsou obě degenerovaná vlastní čísla v nekonečně dimenzionálním stavovém prostoru. Vlastní vektor P s vlastní hodnotou +1 se říká, že je sudý, zatímco s vlastním číslem −1 se říká, že je lichý.

Nyní rovnoměrný operátor ${ displaystyle { hat {A}}}$ je ten, který uspokojuje,

${ displaystyle { tilde {A}} = P { hat {A}} P}$

${ displaystyle [P, { hat {A}}] = 0}$

zatímco lichý operátor ${ displaystyle { hat {B}}}$ je ten, který uspokojuje

${ displaystyle P { hat {B}} + { hat {B}} P = 0}$

Od čtverce operátoru hybnosti ${ displaystyle { hat {P}} ^ {2}}$ je sudé, pokud je potenciál V (r) sudý, Hamiltonián ${ displaystyle { hat {H}}}$ je považován za rovnoměrného operátora. V takovém případě, pokud jsou všechny jeho vlastní hodnoty nedegenerovány, je každý vlastní vektor nutně vlastním stavem P, a proto je možné hledat vlastní stavy ${ displaystyle { hat {H}}}$ mezi sudými a lichými stavy. Pokud však jeden z energetických vlastních států nemá definitivní parita, lze tvrdit, že odpovídající vlastní hodnota je zdegenerována, a ${ displaystyle P | psi rangle}$ je vlastní vektor ${ displaystyle { hat {H}}}$ se stejným vlastním číslem jako ${ displaystyle | psi rangle}$.

Degenerace a symetrie

Fyzickým původem degenerace v kvantově-mechanickém systému je často přítomnost některých symetrie v systému. Studium symetrie kvantového systému nám v některých případech může umožnit najít energetické úrovně a degenerace bez řešení Schrödingerovy rovnice, a tím snížit úsilí.

Matematicky lze vztah degenerace se symetrií objasnit následovně. Zvažte a operace symetrie spojené s a nečleněný operátor S. V rámci takové operace souvisí nový Hamiltonian s původním Hamiltonianem a transformace podobnosti generované operátorem S, takový, že ${ displaystyle H '= SHS ^ {- 1} = SHS ^ { dagger}}$, od té doby S je unitární. Pokud Hamiltonian zůstane při transformační operaci nezměněn S, my máme

${ displaystyle SHS ^ { dagger} = H}$

${ displaystyle SHS ^ {- 1} = H}$

${ displaystyle HS = SH}$

${ displaystyle [S, H] = 0}$

Teď když ${ displaystyle | alpha rangle}$ je energetický vlastní stát,

${ displaystyle H | alpha rangle = E | alpha rangle}$

kde E je odpovídající vlastní vlastní hodnota energie.

${ displaystyle HS | alpha rangle = SH | alpha rangle = SE | alpha rangle = ES | alpha rangle}$

což znamená, že ${ displaystyle S | alpha rangle}$ je také vlastní zdroj energie se stejnou vlastní hodnotou E. Pokud dva státy ${ displaystyle | alpha rangle}$ a ${ displaystyle S | alpha rangle}$ jsou lineárně nezávislé (tj. fyzicky odlišné), jsou proto zdegenerované.

V případech, kdy S je charakterizován spojitým parametr ${ displaystyle epsilon}$, všechny stavy formuláře ${ displaystyle S ( epsilon) | alpha rangle}$ mají stejnou vlastní hodnotu energie.

Symetrická skupina Hamiltonianů

Sada všech operátorů, kteří dojíždějí s hamiltoniánem kvantového systému, se říká, že tvoří skupina symetrie Hamiltonian. The komutátory z generátory této skupiny určovat algebra skupiny. N-rozměrná reprezentace skupiny Symmetry zachovává násobilka operátorů symetrie. Možné degenerace hamiltoniánu se zvláštní skupinou symetrie jsou dány rozměrnostmi neredukovatelné reprezentace skupiny. Vlastní funkce odpovídající n-násobnému degenerovanému vlastnímu číslu tvoří základ pro n-dimenzionální neredukovatelné zastoupení skupiny symetrie Hamiltonian.

Druhy degenerace

Degenerace v kvantovém systému mohou být systematické nebo náhodné.

Systematická nebo zásadní degenerace

Tomu se také říká geometrická nebo normální degenerace a vzniká v důsledku přítomnosti nějakého druhu symetrie v uvažovaném systému, tj. Invariance hamiltoniánu při určité operaci, jak je popsáno výše. Reprezentace získaná z normální degenerace je neredukovatelná a odpovídající vlastní funkce tvoří základ pro tuto reprezentaci.

Náhodná degenerace

Jedná se o typ degenerace vyplývající z některých zvláštností systému nebo funkční formy uvažovaného potenciálu a pravděpodobně souvisí se skrytou dynamickou symetrií v systému.^[4] Výsledkem jsou také konzervovaná množství, která často nelze snadno identifikovat. Náhodné symetrie vedou k těmto dalším degeneracím v diskrétním energetickém spektru. Náhodná degenerace může být způsobena skutečností, že skupina Hamiltonianů není úplná. Tyto degenerace souvisejí s existencí vázaných drah v klasické fyzice.

Příklady: Coulombův a harmonický potenciál oscilátoru

Pro částice ve středu 1/r potenciál, Vektor Laplace – Runge – Lenz je konzervované množství vyplývající z náhodné degenerace, kromě zachování moment hybnosti v důsledku rotační invariance.

Pro částice pohybující se na kuželu pod vlivem 1/r a r² potenciály, soustředěné na špičce kužele, budou konzervované veličiny odpovídající náhodné symetrii dvě složky ekvivalentu Runge-Lenzova vektoru, kromě jedné složky vektoru momentu hybnosti. Tato množství se generují SU (2) symetrie pro oba potenciály.

Příklad: Částice v konstantním magnetickém poli

Částice pohybující se pod vlivem konstantního magnetického pole prochází cyklotron pohyb na kruhové dráze je dalším důležitým příkladem náhodné symetrie. Symetrie multiplety v tomto případě jsou Úrovně Landau které jsou nekonečně zvrhlé.

Příklady

Atom vodíku

v atomová fyzika, vázané stavy elektronu v a atom vodíku ukaž nám užitečné příklady degenerace. V tomto případě Hamiltonian dojíždí s celkem orbitální moment hybnosti ${ displaystyle { hat {L ^ {2}}}}$, jeho složka ve směru z, ${ displaystyle { hat {L_ {z}}}}$celkem točit moment hybnosti ${ displaystyle { hat {S ^ {2}}}}$ a jeho složka z ${ displaystyle { hat {S_ {z}}}}$. Kvantová čísla odpovídající těmto operátorům jsou ${ displaystyle l}$, ${ displaystyle m_ {l}}$, ${ displaystyle s}$ (vždy 1/2 pro elektron) a ${ displaystyle m_ {s}}$ resp.

Úrovně energie v atomu vodíku závisí pouze na hlavní kvantové číslo n. Za dané n, všechny státy odpovídají ${ displaystyle l = 0, ldots, n-1}$ mají stejnou energii a jsou zdegenerovaní. Obdobně pro dané hodnoty n a l, ${ displaystyle (2l + 1)}$, uvádí s ${ displaystyle m_ {l} = - l, ldots, l}$ jsou zdegenerovaní. Stupeň degenerace energetické hladiny E_n je tedy:${ displaystyle sum _ {l mathop {=} 0} ^ {n-1} (2l + 1) = n ^ {2}}$, což se zdvojnásobí, pokud je zahrnuta degenerace spinu.^{[1]:p. 267f}

Degenerace s ohledem na ${ displaystyle m_ {l}}$ je zásadní degenerace, která je přítomna pro každého centrální potenciál, a vzniká absencí preferovaného prostorového směru. Degenerace s ohledem na ${ displaystyle l}$ je často popisována jako náhodná degenerace, ale lze ji vysvětlit pomocí speciálních symetrií Schrödingerovy rovnice, které platí pouze pro atom vodíku, ve kterém je potenciální energie dána Coulombův zákon.^{[1]:p. 267f}

Izotropní trojrozměrný harmonický oscilátor

Je to bezpáteřní částice pohybující se hmotnosti m trojrozměrný prostor, s výhradou a centrální síla jehož absolutní hodnota je úměrná vzdálenosti částice od středu síly.

${ displaystyle F = -kr}$

Říká se, že je izotropní, protože potenciál ${ displaystyle V (r)}$ jeho působení je rotačně neměnné, tj .:${ displaystyle V (r) = 1/2 (m omega ^ {2} r ^ {2})}$

kde ${ displaystyle omega}$ je úhlová frekvence dána ${ displaystyle { sqrt {k / m}}}$.

Protože stavový prostor takové částice je tenzorový produkt stavových prostorů spojených s jednotlivými jednorozměrnými vlnovými funkcemi je časově nezávislá Schrödingerova rovnice pro takový systém dána vztahem

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} psi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné z ^ {2}}} vpravo) + (1 / 2) {m omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) psi} = E psi}$

Vlastní čísla energie tedy jsou ${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = (n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} +3/2) hbar omega}$

nebo, ${ displaystyle E_ {n} = (n + 3/2) hbar omega}$

kde n je nezáporné celé číslo. Energetické hladiny jsou zdegenerované a stupeň degenerace se rovná počtu různých sad ${ displaystyle {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}}$ uspokojující

${ displaystyle n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} = n}$

což se rovná

${ displaystyle sum _ {n_ {x} = 0} ^ {n} (n-n_ {x} +1) = (n + 1) (n + 2) / 2}$

Pouze základní stav je nedegenerovaný.

Odstranění degenerace

Degeneraci v kvantově mechanickém systému lze odstranit, pokud je externí symetrie narušena rozrušení. To způsobuje rozdělení degenerovaných energetických hladin. Jedná se v zásadě o rozdělení původních neredukovatelných reprezentací na níže dimenzionální reprezentace narušeného systému.

Matematicky lze rozdělení pomocí aplikace malého poruchového potenciálu vypočítat pomocí časově nezávislé degenerace teorie poruch. Toto je aproximační schéma, které lze použít k nalezení řešení rovnice vlastních čísel pro Hamiltonovu H kvantového systému s aplikovanou odchylkou, vzhledem k řešení pro Hamiltonovu H₀ pro nerušený systém. Zahrnuje rozšíření vlastních čísel a vlastních čísel Hamiltonovské H v poruchové sérii. Degenerované vlastní stavy s danou vlastní hodnotou energie tvoří vektorový podprostor, ale ne každý základ vlastních stavů tohoto prostoru je dobrým výchozím bodem pro poruchovou teorii, protože v jejich blízkosti by zpravidla nebyly žádné vlastní stavy narušeného systému. Správný základ pro výběr je ten, který diagonalizuje narušení hamiltoniánů v degenerovaném podprostoru.

Zrušení degenerace teorií poruch degenerace prvního řádu.

Vezměme si nerušeného Hamiltoniana ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ a poruchy ${ displaystyle { hat {V}}}$, takže rozrušený Hamiltonian ${ displaystyle { hat {H}} = { hat {H_ {0}}} + { hat {V}}}$ Narušený vlastní stát, bez degenerace, je dán - ${ displaystyle | psi _ {0} rangle = | n_ {0} rangle + sum _ {k neq 0} V_ {k0} / (E_ {0} -E_ {k}) | n_ {k } rangle}$ Narušená vlastní energie a energetické posuny vyššího řádu se rozcházejí, když ${ displaystyle E_ {0} = E_ {k}}$, tj. za přítomnosti degenerace v energetických úrovních. Za předpokladu ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ vlastní N zvrhlých vlastních států ${ displaystyle | m rangle}$ se stejnou vlastní hodnotou energie E a také obecně s některými nedegenerovanými vlastními stavy. Narušený vlastní stát ${ displaystyle | psi _ {j} rangle}$ lze psát jako lineární expanzi v neporušených zvrhlých vlastních stavech as- ${ displaystyle | psi _ {j} rangle = sum _ {i} | m_ {i} rangle langle m_ {i} | psi _ {j} rangle = sum _ {i} c_ { ji} | m_ {i} rangle}$ ${ displaystyle [{ hat {H_ {0}}} + { hat {V}}] psi _ {j} rangle = [{ hat {H_ {0}}} + { hat {V} }] sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle = E_ {j} sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle}$ kde ${ displaystyle E_ {j}}$ odkazují na narušená vlastní čísla energie. Od té doby ${ displaystyle E}$ je zdegenerovaná vlastní hodnota ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$, ${ displaystyle sum _ {i} c_ {ji} { hat {V}} | m_ {i} rangle = (E_ {j} -E) sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i } rangle = Delta E_ {j} sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle}$ Premultiplying jiným nerušeným zvrhlým eigenketem ${ displaystyle langle m_ {k} |}$ dává- ${ displaystyle sum _ {i} c_ {ji} [ langle m_ {k} | { hat {V}} | m_ {i} rangle - delta _ {ik} (E_ {j} -E) ] = 0}$ Toto je problém vlastních čísel a psaní ${ displaystyle V_ {ik} = langle m_ {i} | { hat {V}} | m_ {k} rangle}$, my máme- ${ displaystyle { begin {vmatrix} V_ {11} - Delta E_ {j} & V_ {12} & dots & V_ {1N} V_ {21} & V_ {22} - Delta E_ {j} & tečky & V_ {2N} vdots & vdots & ddots & vdots V_ {N1} & V_ {N2} & dots & V_ {NN} - Delta E_ {j} end {vmatrix}}. ,}$ Vlastní čísla N získaná řešením této rovnice dávají posuny v úrovni degenerované energie v důsledku aplikované poruchy, zatímco vlastní vektory dávají narušené stavy v neporušené degenerované bázi ${ displaystyle | m rangle}$. Chcete-li vybrat dobré vlastní stavy od začátku, je užitečné najít operátora ${ displaystyle { hat {V}}}$ který dojíždí s původním Hamiltonianem ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ a má současně vlastní čísla.

Fyzikální příklady odstranění degenerace poruchami

Níže jsou uvedeny některé důležité příklady fyzických situací, kdy jsou degenerované energetické úrovně kvantového systému rozděleny použitím vnější poruchy.

Symetrie narušení ve dvouúrovňových systémech

A dvouúrovňový systém v podstatě odkazuje na fyzický systém, který má dva stavy, jejichž energie jsou blízko sebe a velmi odlišné od ostatních stavů systému. Všechny výpočty pro takový systém se provádějí na dvourozměrném podprostor státního prostoru.

Pokud je základní stav fyzického systému dvojnásobně zdegenerovaný, jakékoli propojení mezi dvěma odpovídajícími stavy snižuje energii základního stavu systému a činí jej stabilnějším.

Li ${ displaystyle E_ {1}}$ a ${ displaystyle E_ {2}}$ jsou energetické úrovně systému, takové ${ displaystyle E_ {1} = E_ {2} = E}$a rušení ${ displaystyle W}$ je reprezentován v dvourozměrném podprostoru jako následující matice 2 × 2

${ displaystyle mathbf {W} = { begin {bmatrix} 0 & W_ {12} W_ {12} ^ {*} & 0 end {bmatrix}}.}$

pak jsou narušené energie

${ displaystyle E _ {+} = E + | W_ {12} |}$

${ displaystyle E _ {-} = E- | W_ {12} |}$

Příklady dvoustavových systémů, ve kterých je degenerace v energetických stavech narušena přítomností mimiagonálních termínů v hamiltoniánu vyplývajících z vnitřní interakce v důsledku inherentní vlastnosti systému, zahrnují:

• Benzen, se dvěma možnými dispozicemi tří dvojných vazeb mezi sousedními Uhlík atomy.
• Amoniak molekula, kde atom dusíku může být buď nad nebo pod rovinou definovanou těmito třemi Vodík atomy.
• H⁺
  ₂ molekula, ve které může být elektron lokalizován kolem kteréhokoli ze dvou jader.

Štípání jemné struktury

Opravy Coulombovy interakce mezi elektronem a protonem v atomu vodíku v důsledku relativistického pohybu a spin-orbitová vazba vést k prolomení degenerace v energetických úrovních pro různé hodnoty l odpovídající jednomu hlavnímu kvantovému číslu n.

Poruchy hamiltoniánu způsobené relativistickou korekcí jsou dány vztahem

${ displaystyle H_ {r} = - p ^ {4} / 8 m ^ {3} c ^ {2}}$

kde ${ displaystyle p}$ je operátor hybnosti a ${ displaystyle m}$ je hmotnost elektronu. Korekce relativistické energie prvního řádu v ${ displaystyle | nlm rangle}$ základ je dán

${ displaystyle E_ {r} = (- 1 / 8m ^ {3} c ^ {2}) langle nlm | p ^ {4} | nlm rangle}$

Nyní ${ displaystyle p ^ {4} = 4m ^ {2} (H ^ {0} + e ^ {2} / r) ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {r} & = (- 1 / 2mc ^ {2}) [E_ {n} ^ {2} + 2E_ {n} e ^ {2} langle 1 / r rangle + e ^ {4} langle 1 / r ^ {2} rangle] & = (- 1/2) mc ^ {2} alpha ^ {4} [- 3 / (4n ^ {4} ) + 1 / {n ^ {3} (l + 1/2)}] end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury.

Interakce spin-orbita se týká interakce mezi vnitřní magnetický moment elektronu s magnetickým polem, které zažívá v důsledku relativního pohybu s protonem. Interakce Hamiltonian je

${ displaystyle H_ {so} = - (e / mc) {{ vec {m}} cdot { vec {L}} / r ^ {3}} = [(e ^ {2} / (m ^ {2} c ^ {2} r ^ {3})) { vec {S}} cdot { vec {L}}]}$

které lze zapsat jako

${ displaystyle H_ {so} = (e ^ {2} / (4m ^ {2} c ^ {2} r ^ {3})) [{ vec {J}} ^ {2} - { vec { L}} ^ {2} - { vec {S}} ^ {2}]}$

Korekce energie prvního řádu v ${ displaystyle | j, m, l, 1/2 rangle}$ základ, kde je perturbační hamiltonián diagonální, je dán vztahem

${ displaystyle E_ {so} = ( hbar ^ {2} e ^ {2}) / (4m ^ {2} c ^ {2}) [j (j + 1) -l (l + 1) -3 / 4] / ((a_ {0}) ^ {3} n ^ {3} (l (l + 1/2) (l + 1))]}$

kde ${ displaystyle a_ {0}}$ je Bohrův poloměr Celkový posun energie jemné struktury je dán vztahem

${ displaystyle E_ {fs} = - (mc ^ {2} alpha ^ {4} / (2n ^ {3})) [1 / (j + 1/2) -3 / 4n]}$

pro ${ displaystyle j = l pm 1/2}$.

Zeemanův efekt

Rozdělení energetických hladin atomu při umístění do vnějšího magnetického pole kvůli interakci magnetický moment ${ displaystyle { vec {m}}}$ atomu s aplikovaným polem je známé jako Zeemanův efekt.

Vezmeme-li v úvahu orbitální a spinový moment, ${ displaystyle { vec {L}}}$ a ${ displaystyle { vec {S}}}$, respektive jediného elektronu v atomu vodíku, je porucha Hamiltonian dána vztahem

${ displaystyle { hat {V}} = - ({ vec {m_ {l}}} + { vec {m_ {s}}}) cdot { vec {B}}}$

kde ${ displaystyle m_ {l} = - e { vec {L}} / 2 m}$ a ${ displaystyle m_ {s} = - e { vec {S}} / m}$.Tím pádem,

${ displaystyle { hat {V}} = e ({ vec {L}} + 2 { vec {S}}) cdot { vec {B}} / 2m}$

Nyní, v případě Zeemanova efektu slabého pole, když je aplikované pole slabé ve srovnání s vnitřním polem, spin-orbitová vazba dominuje a ${ displaystyle { vec {L}}}$ a ${ displaystyle { vec {S}}}$ nejsou samostatně konzervovány. The dobrá kvantová čísla jsou n, l, j a m_j, a na tomto základě lze ukázat, že energetická korekce prvního řádu je dána vztahem

${ displaystyle E_ {z} = - mu _ {B} g_ {j} Bm_ {j}}$, kde

${ displaystyle mu _ {B} = {e hbar} / 2 m}$ se nazývá Bohr Magneton V závislosti na hodnotě ${ displaystyle m_ {j}}$, každá zdegenerovaná energetická úroveň se rozdělí na několik úrovní.

Zrušení degenerace vnějším magnetickým polem

V případě Zeemanova efektu silného pole, když je aplikované pole dostatečně silné, aby se oddělil orbitální a spinový úhlový moment, jsou nyní dobrá kvantová čísla n, l, m_l, a m_s. Tady, L_z a S_z jsou zachovány, takže perturbace Hamiltonian je dána -

${ displaystyle { hat {V}} = eB (L_ {z} + 2S_ {z}) / 2 m}$

za předpokladu, že magnetické pole bude podél z-směr. Tak,

${ displaystyle { hat {V}} = eB (m_ {l} + 2m_ {s}) / 2m}$

Pro každou hodnotu m_l, existují dvě možné hodnoty m_s, ${ displaystyle pm 1/2}$.

Stark efekt

Rozdělení energetických hladin atomu nebo molekuly při vystavení vnějšímu elektrickému poli je známé jako Stark efekt.

Pro atom vodíku je porucha Hamiltonian

${ displaystyle { hat {H}} _ {s} = - | e | Ez}$

pokud je elektrické pole zvoleno podél z-směr.

Energetické korekce způsobené použitým polem jsou dány očekávanou hodnotou ${ displaystyle { hat {H}} _ {s}}$ v ${ displaystyle | nlm rangle}$ základ. To lze ukázat podle pravidel výběru, které ${ displaystyle langle nlm_ {l} | z | n_ {1} l_ {1} m_ {l1} rangle neq 0}$ když ${ displaystyle l = l_ {1} pm 1}$ a ${ displaystyle m_ {l} = m_ {l1}}$.

Degenerace je zrušena pouze u určitých států, které se řídí pravidly výběru, v prvním pořadí. Rozdělení energetických úrovní prvního řádu v degenerovaných stavech ${ displaystyle | 2,0,0 rangle}$ a ${ displaystyle | 2,1,0 rangle}$, oba odpovídají n = 2, je dáno ${ displaystyle Delta E_ {2,1, m_ {l}} = pm | e | ( hbar ^ {2}) / (m_ {e} e ^ {2}) E}$.

Viz také

• Hustota stavů

Reference

Další čtení

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard & Laloë, Franck. Kvantová mechanika. 1. Hermann. ISBN  9782705683924.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)^{[úplná citace nutná ]}
• Shankar, Ramamurti (2013). Principy kvantové mechaniky. Springer. ISBN  9781461576754.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)^{[úplná citace nutná ]}
• Larson, Ron; Falvo, David C. (30. března 2009). Elementární lineární algebra, rozšířené vydání. Cengage Learning. str. 8–. ISBN  978-1-305-17240-1.
• Hobson; Riley. Matematické metody pro fyziku a inženýrství (Clpe) 2Ed. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-61296-8.
• Hemmer (2005). Kvantemekanikk: P.C. Hemmer. Tapir akademisk forlag. Tillegg 3: doplněk k částem 3.1, 3.3 a 3.5. ISBN  978-82-519-2028-5.
• Kvantová degenerace ve dvourozměrných systémech, Debnarayan Jana, Katedra fyziky, University College of Science and Technology
• Al-Hashimi, Munir (2008). Náhodná symetrie v kvantové fyzice.