Překladatel (kvantová mechanika) - Translation operator (quantum mechanics) - Wikipedia

v kvantová mechanika, a překladatel je definován jako operátor který posouvá částice a pole o určitou částku určitým směrem.

Přesněji řečeno pro všechny vektor posunutí ${ displaystyle mathbf {x}}$ , existuje odpovídající operátor překladu ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ který posune částice a pole o částku ${ displaystyle mathbf {x}}$ .

Například pokud ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ působí na částice umístěnou v dané poloze ${ displaystyle mathbf {r}}$ , výsledkem je částice v dané poloze ${ displaystyle mathbf {r + x}}$ .

Překladatelské operátory jsou unitární.

Provozovatelé překladu úzce souvisí s operátor hybnosti; například operátor překladu, který se pohybuje o nekonečně malou částku v ${ displaystyle y}$ směr má jednoduchý vztah k ${ displaystyle y}$ - složka operátoru hybnosti. Kvůli tomuto vztahu zachování hybnosti platí, když operátoři překladu dojíždějí s hamiltoniánem, tj. když jsou zákony fyziky překladově invariantní. Toto je příklad Noetherova věta.

Akce na vlastní polohové a vlnové funkce pozic

Operátor překladu ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ posune částice a pole o částku ${ displaystyle mathbf {x}}$ . Pokud je tedy částice v vlastní stát ${ displaystyle | mathbf {r} rangle}$ z operátor polohy (tj. přesně umístěn v poloze ${ displaystyle mathbf {r}}$ ), takže potom ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ působí na něj, částice je v poloze ${ displaystyle mathbf {r} + mathbf {x}}$ :

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = | mathbf {r} + mathbf {x} rangle.}

Alternativní (a ekvivalentní) způsob, jak popsat, co určuje operátor překladu, je založen na pozičním prostoru vlnové funkce. Pokud má částice vlnovou funkci v prostoru a prostoru ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$ , a ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ působí na částice, je to nová vlnová funkce polohového prostoru ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = { hat {T}} ( mathbf {x}) psi ( mathbf {r})}$ definován

{ displaystyle psi '( mathbf {r}) = psi ( mathbf {r} - mathbf {x})}

.

Tento vztah je snadněji zapamatovatelný jako ${ displaystyle psi '( mathbf {r} + mathbf {x}) = psi ( mathbf {r}),}$ kterou lze číst jako: „Hodnota nové vlnové funkce v novém bodě se rovná hodnotě staré vlnové funkce ve starém bodě“.^[1]

Zde je příklad ukazující, že tyto dva popisy jsou rovnocenné. Stát ${ displaystyle | mathbf {a} rangle}$ odpovídá vlnové funkci ${ displaystyle psi ( mathbf {r}) = delta ( mathbf {r} - mathbf {a})}$ (kde ${ displaystyle delta}$ je Diracova delta funkce ), zatímco stát ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {a} rangle = | mathbf {a} + mathbf {x} rangle}$ odpovídá vlnové funkci ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = delta ( mathbf {r} - ( mathbf {a} + mathbf {x}))}}$ Ty opravdu uspokojují ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = psi ( mathbf {r} - mathbf {x}).}$

Hybnost jako generátor překladů

V úvodní fyzice je hybnost obvykle definována jako hmotnost krát rychlost. Existuje však zásadnější způsob, jak definovat hybnost, pokud jde o operátory překladu. Toto se konkrétněji nazývá kanonická hybnost, a obvykle, ale ne vždy, se rovná hromadné rychlosti času; jeden protipříklad je nabitá částice v magnetickém poli.^[1] Tato definice hybnosti je obzvláště důležitá, protože zákon z zachování hybnosti platí pouze pro kanonickou hybnost a není univerzálně platný, pokud je hybnost definována místo toho jako hmotnostní rychlost času (tzv. „kinetická hybnost“), a to z důvodů vysvětlených níže.

(Kanonický) operátor hybnosti je definován jako spád překladatelských operátorů blízko původu:

{ displaystyle mathbf { hat {p}} = i hbar left ( nabla { hat {T}} ( mathbf {x}) right) _ {{ text {at}} mathbf { x} = mathbf {0}}}

kde ${ displaystyle hbar}$ je snížila Planckovu konstantu. Například jaký je výsledek, když ${ displaystyle { hat {p}} _ {x}}$ operátor působí na kvantový stav? Chcete-li najít odpověď, přeložit stav o nekonečně malé množství v ${ displaystyle x}$ -direction, a vypočítat rychlost, kterou se stav mění, a vynásobit ji ${ displaystyle i hbar}$ . Například pokud se stát vůbec nezmění, když je přeložen do ${ displaystyle x}$ -směr, pak jeho ${ displaystyle x}$ -komponent hybnosti je 0.

Přesněji řečeno, ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ je vektorový operátor (tj. vektor skládající se ze tří operátorů ${ displaystyle ({ hat {p}} _ {x}, { hat {p}} _ {y}, { hat {p}} _ {z})}$ ), definován:

{ displaystyle { hat {p}} _ {x} = i hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac {{ hat {T}} (a mathbf { hat {x}}) - { hat { mathbb {I}}}} {a}}}

kde ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ je operátor identity a ${ displaystyle mathbf { hat {x}}}$ je jednotkový vektor v ${ displaystyle x}$ -směr. ( ${ displaystyle { hat {p}} _ {y}, { hat {p}} _ {z}}$ jsou definovány analogicky.)

Rovnice nahoře je nejobecnější definicí ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ . Ve zvláštním případě jedné částice s vlnovou funkcí ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$ , ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ lze napsat konkrétnější a užitečnější formou. V jedné dimenzi:

{ displaystyle { begin {aligned} ({ hat {p}} psi) (r) & = i hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac {({ hat {T}} ( a) psi) (r) - psi (r)} {a}} & = i hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac { psi (ra) - psi (r) } {a}} & = - i hbar left ({ frac { částečné psi} { částečné r}} pravé) (r) end {zarovnáno}}}

nebo ve třech rozměrech,

{ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}

jako operátor působící na vlnové funkce v prostoru a prostoru. Toto je známý kvantově-mechanický výraz pro ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ , ale odvozili jsme to zde od základnějšího výchozího bodu.

Nyní jsme definovali ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ pokud jde o operátory překladu. Je také možné napsat operátor překladu jako funkci ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ . Metoda spočívá ve vyjádření daného překladu jako velkého počtu ${ displaystyle N}$ po sobě jdoucích drobných překladů a pak využijte faktu, že nekonečně malé překlady lze psát ve smyslu ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {T}} ( mathbf {x}) & = lim _ {N to infty} ({ hat {T}} ( mathbf {x} / N)) ^ {N} & = lim _ {N rightarrow infty} left [1 - { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}}} N hbar}} right] ^ {N} end {zarovnáno}}}

což dává konečný výraz:

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) = exp left (- { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}} { hbar} } right) = 1 - { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}} { hbar}} - { frac {( mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}) ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} + { frac {i ( mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}) ^ {3} } {6 hbar ^ {3}}} + cdots}$

kde ${ displaystyle exp}$ je exponenciální operátor a pravá strana je Taylor série expanze. Pro velmi malé ${ displaystyle mathbf {x}}$ , lze použít aproximaci:

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) přibližně 1-i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}} / hbar}

Proto je operátor hybnosti se označuje jako generátor překladu.^[2]

Pěkným způsobem, jak zkontrolovat, zda jsou tyto vztahy správné, je provést Taylorovo rozšíření operátoru překladu působícího na vlnovou funkci polohový prostor. Rozšířením exponenciálu na všechny objednávky generuje operátor překladu přesně celou Taylorova expanze testovací funkce:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} psi ( mathbf {r} - mathbf {x}) & = { hat {T}} ( mathbf {x}) psi ( mathbf {r}) & = exp left (- { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}} { hbar}} right) psi ( mathbf {r}) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} (- { frac {i} { hbar}} mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}) ^ {n} vpravo) psi ( mathbf {r}) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 } {n!}} (- mathbf {x} cdot mathbf { nabla}) ^ {n} vpravo) psi ( mathbf {r}) & = psi ( mathbf {r} ) - mathbf {x} cdot mathbf { nabla} psi ( mathbf {r}) + { frac {1} {2!}} ( mathbf {x} cdot mathbf { nabla} ) ^ {2} psi ( mathbf {r}) - dots end {zarovnáno}}}

Takže každý operátor překladu generuje přesně očekávaný překlad na testovací funkci, pokud je funkce analytický v nějaké oblasti komplexní roviny.

Vlastnosti

Postupné překlady

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) = { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2})}$

Jinými slovy, pokud se částice a pole pohybují o částku ${ displaystyle mathbf {x} _ {2}}$ a poté podle částky ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}}$ , celkově byly přesunuty o částku ${ displaystyle mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2}}$ . Pro matematický důkaz se můžeme podívat na to, co tito operátoři dělají s částicemi v polohovém vlastním stavu:

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) | mathbf {r} rangle = { klobouk {T}} ( mathbf {x} _ {1}) | mathbf {x} _ {2} + mathbf {r} rangle = | mathbf {x} _ {1} + mathbf {x } _ {2} + mathbf {r} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2}) | mathbf {r} rangle }

Protože operátoři ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2})}$ a ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2})}$ mít stejný účinek na každý stav v eigenbasis, z toho vyplývá, že operátoři jsou si rovni.

Inverzní

Překladatelské operátory jsou invertibilní a jejich inverze jsou:

${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} = { hat {T}} (- mathbf {x})}$

To vyplývá z výše uvedené vlastnosti „postupné překlady“ a ze skutečnosti ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {0}) = { hat { mathbb {I}}}}$ , tj. překlad do vzdálenosti 0 je stejný jako operátor identity, který ponechává všechny stavy beze změny.

Překladatelé mezi sebou dojíždějí

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) { hat {T}} ( mathbf {y}) = { hat {T}} ( mathbf {y}) { hat { T}} ( mathbf {x})}$

protože obě strany jsou si rovny ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} + mathbf {y})}$ .^[1]

Překladatelé jsou jednotní

Li ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$ a ${ displaystyle phi ( mathbf {r})}$ jsou dvě polohové prostorové vlnové funkce, pak vnitřní produkt z ${ displaystyle psi}$ s ${ displaystyle phi}$ je:

{ displaystyle int d ^ {3} mathbf {r} , psi ^ {*} ( mathbf {r}) phi ( mathbf {r})}

zatímco vnitřní produkt ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) psi}$ s ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) phi}$ je:

{ displaystyle int d ^ {3} mathbf {r} , psi ^ {*} ( mathbf {r} - mathbf {a}) phi ( mathbf {r} - mathbf {a} )}

Změnou proměnných jsou tyto dva vnitřní produkty naprosto stejné. Proto jsou operátory překladu unitární, a zejména:

${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1}.}$

Skutečnost, že operátory překladu jsou jednotné, znamená, že operátor hybnosti je Hermitian.^[1]

Překlad fungující na podprsence

Překladatel operující na podprsence v poloze eigenbasis dává:

${ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ( mathbf {x}) = langle mathbf {r} - mathbf {x} |}$

Důkaz:

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = | mathbf {r} + mathbf {x} rangle}

Své adjoint výraz je:

{ displaystyle langle mathbf {r} | ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = langle mathbf {r} + mathbf {x} |}

Pomocí výše uvedených výsledků ${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} = { hat {T}} (- mathbf {x})}$ :

{ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} (- mathbf {x}) = langle mathbf {r} + mathbf {x} |}

Výměna ${ displaystyle mathbf {x}}$ podle ${ displaystyle - mathbf {x}}$ ,

{ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ( mathbf {x}) = langle mathbf {r} - mathbf {x} |}

Rozdělení překladu na jeho součásti

Podle výše uvedené vlastnosti „po sobě jdoucí překlady“ je překlad vektorem ${ displaystyle mathbf {x} = (x, y, z)}$ lze napsat jako produkt překladů ve směrech komponent:

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) = { hat {T}} (x mathbf { hat {x}}) , { hat {T}} (y mathbf { hat {y}}) , { hat {T}} (z mathbf { hat {z}})}$

kde ${ displaystyle mathbf { hat {x}}, mathbf { hat {y}}, mathbf { hat {z}}}$ jsou jednotkové vektory.

Komutátor s pozičním operátorem

Předpokládat ${ displaystyle | mathbf {r} rangle}$ je vlastní vektor operátora polohy ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ s vlastní číslo ${ displaystyle mathbf {r}}$ . My máme

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf { hat {r}} | mathbf {r} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf {r} | mathbf {r} rangle = mathbf {r} | mathbf {x} + mathbf {r} rangle}

zatímco

{ displaystyle mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = { hat { mathbf {r}}} | mathbf { x} + mathbf {r} rangle = ( mathbf {x} + mathbf {r}) | mathbf {x} + mathbf {r} rangle}

Proto komutátor mezi operátorem překladu a operátorem polohy je:

${ displaystyle [ mathbf { hat {r}}, { hat {T}} ( mathbf {x})] equiv mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) - { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf { hat {r}} = mathbf {x} { hat {T}} ( mathbf {x})}$

To lze také zapsat (pomocí výše uvedených vlastností) jako:

${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) = mathbf { hat {r}} + mathbf {x} { hat { mathbb {I}}}}$

kde ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ je operátor identity.

Komutátor s operátorem hybnosti

Vzhledem k tomu, že všichni operátoři překládají navzájem (viz výše) a protože každá složka operátoru hybnosti je součtem dvou škálovaných operátorů překladu (např ${ displaystyle { hat {p}} _ {y} = lim _ { epsilon rightarrow 0} { frac {i hbar} { epsilon}} left ({ hat {T}} (( 0, epsilon, 0)) - { hat {T}} ((0,0,0)) right)}$ ), z toho vyplývá, že všichni operátoři překladu dojíždějí s operátorem hybnosti, tj.

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) { hat { mathbf {p}}} = { hat { mathbf {p}}} { hat {T}} ( mathbf {X} )}$

Tato komutace s operátorem hybnosti platí obecně, i když systém není izolovaný, kde nemusí být zachována energie nebo hybnost.

Překladatelská skupina

Sada ${ displaystyle { mathfrak {T}}}$ překladatelských operátorů ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ pro všechny ${ displaystyle mathbf {x}}$ , s operací násobení definovanou jako výsledek po sobě jdoucích překladů (tj. složení funkce ), splňuje všechny axiomy a skupina:

Uzavření: Když provedete dva překlady za sebou, výsledkem bude jeden odlišný překlad. (Viz výše vlastnost „následné překlady“.)
Existence identity: Překlad vektorem ${ displaystyle mathbf {0}}$ je operátor identity, tj. operátor, který na nic nemá vliv. Funguje jako prvek identity skupiny.
Každý prvek má inverzní: Jak bylo prokázáno výše, jakýkoli překladatelský operátor ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ je inverzní k reverznímu překladu ${ displaystyle { hat {T}} (- mathbf {x})}$ .
Asociativita: Toto je tvrzení ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) left ({ hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {3}) right) = left ({ hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ { 2}) right) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {3})}$ . Je to pravda z definice, jako je tomu v případě jakékoli skupiny založené na složení funkce.

Proto sada ${ displaystyle { mathfrak {T}}}$ překladatelských operátorů ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ pro všechny ${ displaystyle mathbf {x}}$ tvoří a skupina.^[3] Protože existuje nepřetržitě nekonečné množství prvků, je překladatelská skupina je spojitá skupina. Provozovatelé překladu navíc dojíždějí mezi sebou, tj. Produkt dvou překladů (překlad následovaný dalším) nezávisí na jejich pořadí. Překladová skupina je tedy abelianská skupina.^[4]

Překladatelská skupina jednající na Hilbertův prostor vlastních pozic je izomorfní do skupiny vektor dodatky v Euklidovský prostor.

Očekávané hodnoty polohy a hybnosti v přeloženém stavu

Zvažte jednu částici v jedné dimenzi. Na rozdíl od klasická mechanika, v kvantové mechanice nemá částice ani dobře definovanou polohu ani dobře definovanou hybnost. V kvantové formulaci je očekávané hodnoty^[5] hrají roli klasických proměnných. Například pokud je částice ve stavu ${ displaystyle | psi rangle}$ , pak je očekávaná hodnota pozice ${ displaystyle langle psi | mathbf { hat {r}} | psi rangle}$ , kde ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ je operátor polohy.

Pokud je překladatel ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ působí na stát ${ displaystyle | psi rangle}$ , vytvoření nového stavu ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ pak očekávaná hodnota pozice pro ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ se rovná očekávané hodnotě pozice pro ${ displaystyle | psi rangle}$ plus vektor ${ displaystyle mathbf {x}}$ . Tento výsledek je v souladu s tím, co byste očekávali od operace, která posune částici o tuto částku.

Důkaz, že operátor překladu změní očekávanou hodnotu pozice tak, jak byste očekávali:

Převzít

{ displaystyle | psi _ {2} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x}) | psi rangle}

jak je uvedeno výše.

{ displaystyle { begin {zarovnané} langle psi _ {2} | { hat { mathbf {r}}} | psi _ {2} rangle & = ( langle psi | ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger}) { hat { mathbf {r}}} ({ hat {T}} ( mathbf {x}) | psi rangle) & = langle psi | { hat { mathbf {r}}} | psi rangle + mathbf {x} end {zarovnáno}}}

pomocí normalizační podmínky ${ displaystyle langle psi | psi rangle = 1}$ a výsledek komutátoru prokázaný v předchozí části.

Na druhou stranu, když operátor překladu působí na stav, je očekávaná hodnota hybnosti ne změněno. To lze prokázat podobným způsobem jako výše, ale s využitím skutečnosti, že operátory překladu dojíždějí s operátorem hybnosti. Tento výsledek je opět v souladu s očekáváním: překlad částice nemění její rychlost ani hmotnost, takže její hybnost by se neměla měnit.

Translační invariance

V kvantové mechanice Hamiltonian představuje energii a dynamiku systému. Nechat ${ displaystyle | mathbf {r} _ {T} rangle equiv { hat {T}} | mathbf {r} rangle}$ být nově přeloženým stavem (argument ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ zde není relevantní a kvůli stručnosti je dočasně zrušeno). Hamiltonian se říká, že je neměnný, pokud

{ displaystyle langle mathbf {r} _ {T} | { hat {H}} | mathbf {r} _ {T} rangle = langle mathbf {r} | { hat {H}} | mathbf {r} rangle}

nebo

{ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ^ {- 1} { hat {H}} { hat {T}} | mathbf {r} rangle = langle mathbf {r} | { hat {H}} | mathbf {r} rangle}

To z toho vyplývá

{ displaystyle { hat {T}} ^ {- 1} { hat {H}} { hat {T}} = { hat {H}}}

{ displaystyle { hat {H}} { hat {T}} - { hat {T}} { hat {H}} = [{ hat {H}}, { hat {T}}] = 0}

Pokud je tedy Hamiltonián při překladu invariantní, Hamiltonián dojíždí s operátorem překladu (volně řečeno, pokud překládáme systém, pak měříme jeho energii, pak ji překládáme zpět, znamená to totéž, jako když přímo měříme jeho energii) .

Kontinuální translační symetrie

Nejprve uvažujeme případ, kdy Všechno operátory překladu jsou symetrie systému. Jak uvidíme, v tomto případě zachování hybnosti dojde.

Například pokud ${ displaystyle { hat {H}}}$ je Hamiltonián popisující všechny částice a pole ve vesmíru a ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ je operátor překladu, který posouvá všechny částice a pole ve vesmíru současně o stejné množství, pak se vždy jedná o symetrii: ${ displaystyle { hat {H}}}$ popisuje úplné zákony fyziky v našem vesmíru, které jsou nezávislé na umístění. Jako následek, zachování hybnosti je všeobecně platný.

Na druhou stranu možná ${ displaystyle { hat {H}}}$ a ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ odkazují pouze na jednu částici. Pak operátory překladu ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ jsou přesné symetrie pouze v případě, že je částice sama ve vakuu. Odpovídajícím způsobem není hybnost jedné částice obvykle zachována (mění se, když částice narazí na jiné objekty), ale je je zachována, pokud je částice sama ve vakuu.

Protože Hamiltonian dojíždí s operátorem překladu, když je překlad neměnný

${ displaystyle left [{ hat {H}}, { hat {T}} ( mathbf {x}) right] = 0 ,,}$

dojíždí také s operátorem nekonečně malého překladu

${ displaystyle { begin {aligned} & left [{ hat {H}}, 1 - { frac {i mathbf {x} cdot { hat { mathbf {p}}}} {N hbar}} right] = 0 & Rightarrow [{ hat {H}}, { hat { mathbf {p}}}] = 0 & Rightarrow { frac {d} {dt} } langle { hat { mathbf {p}}} rangle = { frac {i} { hbar}} [{ hat {H}}, { hat { mathbf {p}}}] = 0 end {zarovnáno}}}$

Stručně řečeno, kdykoli Hamiltonian pro systém zůstane invariantní při kontinuálním překladu, pak systém má zachování hybnosti, což znamená, že očekávaná hodnota hybnosti operátor zůstává konstantní. Toto je příklad Noetherova věta.

Diskrétní translační symetrie

Existuje další speciální případ, kdy může být Hamiltonián translačně neměnný. Tento typ translační symetrie je pozorován, kdykoli je potenciál periodicky:^[6]

{ displaystyle V (r_ {j} pm a) = V (r_ {j})}

Hamiltonián obecně není invariantní při žádném překladu představovaném ${ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j})}$ s ${ displaystyle x_ {j}}$ libovolný, kde ${ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j})}$ má vlastnost:

{ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j}) | r_ {j} rangle = | r_ {j} + x_ {j} rangle}

a,

{ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (x_ {j})) ^ { dagger} { hat {r}} _ {j} { hat {T}} _ {j} ( x_ {j}) = { hat {r}} _ {j} + x_ {j} { hat { mathbb {I}}}}

(kde ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ je operátor identity; viz důkaz výše).

Ale kdykoli ${ displaystyle x_ {j}}$ se shoduje s obdobím potenciálu ${ displaystyle a}$ ,

{ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (a)) ^ { dagger} V ({ hat {r}} _ {j}) { hat {T}} _ {j} ( a) = V ({ hat {r}} _ {j} + a { hat { mathbb {I}}}) = V ({ hat {r}} _ {j})}

Vzhledem k tomu, že kinetická energie je součástí Hamiltonian ${ displaystyle { hat {H}}}$ je již neměnný při libovolném překladu, je funkcí ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ , uspokojuje celý Hamiltonian,

{ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (a)) ^ { dagger} { hat {H}} { hat {T}} _ {j} (a) = { hat { H}}}

Nyní Hamiltonian dojíždí s operátorem překladu, tj. Mohou být současně úhlopříčně. Proto je Hamiltonián při takovém překladu neměnný (který již nezůstává spojitý). Překlad se stává diskrétním s obdobím potenciálu.

Diskrétní překlad v periodickém potenciálu: Blochova věta

Ionty v a dokonalý krystal jsou uspořádány v pravidelném pravidelném poli. Jsme tedy vedeni k problému elektronu v potenciálu ${ displaystyle V ( mathbf {r})}$ s periodicitou podkladového aktiva Bravaisova mříž

{ displaystyle V ( mathbf {r + R}) = V ( mathbf {r})}

pro všechny Bravaisovy mřížkové vektory ${ displaystyle mathbf {R}}$

Dokonalá periodicita je však idealizace. Skutečné pevné látky nejsou nikdy absolutně čisté a v sousedství atomů nečistot není pevná látka stejná jako jinde v krystalu. Navíc ionty nejsou ve skutečnosti stacionární, ale neustále procházejí tepelnými vibracemi kolem jejich rovnovážných poloh. Ty ničí dokonalé translační symetrie krystalu. Pro řešení tohoto typu problémů je hlavní problém uměle rozdělen na dvě části: (a) ideální fiktivní dokonalý krystal, ve kterém je potenciál skutečně periodický, a (b) účinky na vlastnosti hypotetického dokonalého krystalu všech odchylky od dokonalé periodicity, považovány za malé poruchy.

I když je problém elektronů v pevné látce v zásadě problémem s mnoha elektrony, v nezávislá aproximace elektronů každý elektron je vystaven jednom elektronu Schrödingerova rovnice s periodickým potenciálem a je znám jako Bloch elektron^[7] (na rozdíl od volné částice, na které se Blochovy elektrony redukují, když je periodický potenciál shodně nulový.)

Pro každý mřížový vektor Bravais ${ displaystyle mathbf {R}}$ definujeme operátor překladu ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ které při práci na jakékoli funkci ${ displaystyle f ( mathbf {r})}$ posune argument o ${ displaystyle mathbf {R}}$ :

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} f ( mathbf {r}) = f ( mathbf {r} + mathbf {R})}

Jelikož všechny překlady tvoří abelianskou skupinu, výsledek použití dvou po sobě jdoucích překladů nezávisí na pořadí, v jakém jsou použity, tj.

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} = { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} = { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ { 2}}}}

Navíc, protože hamiltonián je periodický, máme,

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} { hat {H}} = { hat {H}} { hat {T}} _ { mathbf {R}}}

Proto je ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ pro všechny Bravaisovy mřížkové vektory ${ displaystyle mathbf {R}}$ a Hamiltonian ${ displaystyle { hat {H}}}$ tvoří a sada komutujících operátorů. Proto vlastní státy z ${ displaystyle { hat {H}}}$ lze zvolit jako současné vlastní stavy všech ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ :

{ displaystyle { hat {H}} psi = { mathcal {E}} psi}

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} psi = c ( mathbf {R}) psi}

Vlastní čísla ${ displaystyle c ( mathbf {R})}$ překladatelských operátorů souvisí kvůli podmínce:

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} = { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} = { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ { 2}}}}

My máme,

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} psi & = c ( mathbf {R} _ {1}) { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} psi & = c ( mathbf {R} _ {1}) c ( mathbf {R} _ {2}) psi end {zarovnáno}}}

A,

{ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ {2}}} psi = c ( mathbf {R} _ {1} + mathbf {R} _ {2} ) psi}

Z toho tedy vyplývá, že

{ displaystyle c ( mathbf {R} _ {1} + mathbf {R} _ {2}) = c ( mathbf {R} _ {1}) c ( mathbf {R} _ {2}) }

Nyní nechte ${ displaystyle mathbf {a} _ {i}}$ Budou tři primitivní vektor pro Bravaisovu mříž. Vhodným výběrem ${ displaystyle x_ {i}}$ , můžeme vždy psát ${ displaystyle c ( mathbf {a} _ {i})}$ ve formě

{ displaystyle c ( mathbf {a} _ {i}) = e ^ {2 pi ix_ {i}}}

Li ${ displaystyle mathbf {R}}$ je obecný Bravaisův mřížkový vektor, daný

{ displaystyle mathbf {R} = n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3} }

z toho vyplývá,

{ displaystyle { begin {aligned} c ( mathbf {R}) & = c (n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3}) & = c (n_ {1} mathbf {a} _ {1}) c (n_ {2} mathbf {a} _ {2}) c (n_ {3} mathbf {a} _ {3}) & = c ( mathbf {a} _ {1}) ^ {n_ {1}} c ( mathbf {a} _ {2}) ^ {n_ {2}} c ( mathbf {a} _ {3}) ^ {n_ {3}} end {zarovnáno}}}

Střídání ${ displaystyle c ( mathbf {a} _ {i}) = e ^ {2 pi ix_ {i}}}$ jeden dostane

{ displaystyle { begin {zarovnáno} c ( mathbf {R}) & = e ^ {2 pi i (n_ {1} x_ {1} + n_ {2} x_ {2} + n_ {3} x_ {3})} & = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle mathbf {k} = x_ {1} mathbf {b} _ {1} + x_ {2} mathbf {b} _ {2} + x_ {3} mathbf {b} _ {3} }$ a ${ displaystyle mathbf {b} _ {i}}$ jsou reciproční mříž vektory splňující rovnici ${ displaystyle mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {a} _ {j} = 2 pi delta _ {ij}}$

Proto je možné zvolit souběžné vlastní stavy ${ displaystyle psi}$ Hamiltonian ${ displaystyle { hat {H}}}$ a ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ takže pro každý Bravaisův příhradový vektor ${ displaystyle mathbf {R}}$ ,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} psi ( mathbf {r + R}) & = { hat {T}} _ { mathbf {R}} psi ( mathbf {r}) & = c ( mathbf {R}) psi ( mathbf {r}) & = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} psi ( mathbf {r}) konec { zarovnaný}}}

Tak,

${ displaystyle psi ( mathbf {r + R}) = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} psi ( mathbf {r})}$

Tento výsledek je znám jako Blochova věta.

Vývoj času a translační invariance

Translační invariance: Časový vývoj vlnových funkcí.

Na obrázku pasivní transformace translační invariance vyžaduje,

{ displaystyle [{ hat {T}} ( mathbf {x}), { hat {H}}] = 0}

Z toho vyplývá, že

{ displaystyle [{ hat {T}} ( mathbf {x}), { hat {U}} (t)] = 0}

kde ${ displaystyle { hat {U}} (t)}$ je jednotkový operátor vývoje času.^[8] Když je Hamiltonian nezávislý na čase,

{ displaystyle { hat {U}} (t) = exp left ({ frac {-i { hat {H}} t} { hbar}} right)}

Pokud je Hamiltonián závislý na čase, výše uvedený komutační vztah je splněn, pokud ${ displaystyle { hat {p}}}$ nebo ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ dojíždí s ${ displaystyle { hat {H}} (t)}$ pro všechny t.

Příklad

Předpokládejme v ${ displaystyle t = 0}$ dva pozorovatelé A a B připravují stejné systémy v ${ displaystyle x = 0}$ a ${ displaystyle x = a}$ (obr. 1). Li ${ displaystyle | psi (0) rangle}$ být stavovým vektorem systému připraveným A, pak bude stavový systém systému připraveného B dán vztahem

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) | psi (0) rangle}

Oba systémy vypadají shodně s pozorovateli, kteří je připravili. Po čase ${ displaystyle t}$ , se vektory stavu vyvinou do ${ displaystyle { hat {U}} (t) | psi (0) rangle}$ a ${ displaystyle { hat {U}} (t) { hat {T}} ( mathbf {a}) | psi (0) rangle}$ Použitím výše uvedeného komutačního vztahu lze pozdější zapsat jako,

{ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) { hat {U}} (t) | psi (0) rangle}

což je pouze přeložená verze systému připravená A v čase ${ displaystyle t}$ . Proto dva systémy, které se lišily pouze překladem v ${ displaystyle t = 0}$ , se liší pouze stejným překladem v kterémkoli okamžiku. Časový vývoj obou systémů se zdá stejný pozorovatelům, kteří je připravili. Lze dospět k závěru, že translační invariance Hamiltonian znamená, že stejný experiment opakovaný na dvou různých místech dá stejný výsledek (jak je vidět u místních pozorovatelů).

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Poznámky k přednášce Roberta Littlejohna
^ http://www.nat.vu.nl/~mulders/AQM2015.pdf
^ Strana-816, kapitola 17, Matematické metody pro fyziky, sedmé vydání, Arfken, Weber a Harris
^ Strana-47, Kapitola-1, Moderní kvantová mechanika, Druhé vydání, J.J. Sakurai, Jim J. Napolitano
^ Stránka č. 127, Oddíl 4.2, R. Shankar, Principy kvantové mechaniky
^ Kapitola 8, Fyzika pevných látek, autor Neil W. Ashcroft a N. David Mermin
^ P-133, kapitola-8, Fyzika pevných látek, autor: Neil W. Ashcroft a N. David Mermin
^ Strana č. 308, kapitola 3, svazek 1, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

[littlejohn-1] A ^b ^C ^d Poznámky k přednášce Roberta Littlejohna

[2] ttp://www.nat.vu.nl/~mulders/AQM2015.pdf

[3] Strana-816, kapitola 17, Matematické metody pro fyziky, sedmé vydání, Arfken, Weber a Harris

[4] Strana-47, Kapitola-1, Moderní kvantová mechanika, Druhé vydání, J.J. Sakurai, Jim J. Napolitano

[5] Stránka č. 127, Oddíl 4.2, R. Shankar, Principy kvantové mechaniky

[6] Kapitola 8, Fyzika pevných látek, autor Neil W. Ashcroft a N. David Mermin

[7] P-133, kapitola-8, Fyzika pevných látek, autor: Neil W. Ashcroft a N. David Mermin

[8] Strana č. 308, kapitola 3, svazek 1, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]