Vlastní čísla a vlastní vektory druhé derivace - Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative - Wikipedia

Explicitní vzorce pro vlastní čísla a vlastní vektory druhá derivace s různými okrajovými podmínkami jsou poskytovány jak pro spojité, tak pro diskrétní případy. V diskrétním případě standard střední diferenční aproximace druhé derivace se používá na jednotné mřížce.

Tyto vzorce se používají k odvození výrazů pro vlastní funkce z Laplacian v případě oddělení proměnných, stejně jako najít vlastní čísla a vlastní vektory vícerozměrného diskrétní Laplacian na pravidelná mřížka, který je prezentován jako Kroneckerův součet diskrétních Laplaciánů v jednorozměru.

Kontinuální případ

Index j představuje j-tou vlastní hodnotu nebo vlastní vektor a běží od 1 do ${ displaystyle infty}$. Za předpokladu, že rovnice je definována v doméně ${ displaystyle x v [0, L]}$, následují vlastní čísla a normalizované vlastní vektory. Vlastní čísla jsou seřazeny v sestupném pořadí.

Čisté Dirichletovy okrajové podmínky

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right)}$

Čisté okrajové podmínky Neumanna

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = left {{ begin {array} {lr} L ^ {- { frac {1} {2}}} & j = 1 { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {jinak}} end {array}} right. }$

Periodické okrajové podmínky

${ displaystyle lambda _ {j} = left {{ begin {pole} {lr} - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j je sudé.}} - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j je liché.} } end {pole}} vpravo.}$

(To je: ${ displaystyle 0}$ je jednoduchá vlastní hodnota a všechny další vlastní hodnoty jsou dány ${ displaystyle { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$, ${ displaystyle j = 1,2, ldots}$, každý s multiplicitou 2).

${ displaystyle v_ {j} (x) = { begin {cases} L ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right) & { mbox {pokud j je sudé.}} { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {pokud j je liché.}} end {případy }}}$

Smíšené okrajové podmínky Dirichlet-Neumann

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} right) }$

Smíšené okrajové podmínky Neumann-Dirichlet

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} cos vlevo ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} vpravo) }$

Diskrétní případ

Zápis: Index j představuje j-té vlastní číslo nebo vlastní vektor. Index i představuje i-tou složku vlastního vektoru. I i j jdou od 1 do n, kde matice má velikost n x n. Vlastní vektory jsou normalizovány. Vlastní čísla jsou seřazeny v sestupném pořadí.

Čisté Dirichletovy okrajové podmínky

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi j} {2 (n + 1)} }že jo)}$

${ displaystyle v_ {i, j} = { sqrt { frac {2} {n + 1}}} sin left ({ frac {ij pi} {n + 1}} right)}$ ^[1]

Čisté okrajové podmínky Neumanna

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1)} {2n}} že jo)}$

${ displaystyle v_ {i, j} = { begin {cases} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {j = 1}} { sqrt { frac { 2} {n}}} cos left ({ frac { pi (j-1) (i-0,5)} {n}} right) & { mbox {jinak}} end {cases}} }$

Periodické okrajové podmínky

${ displaystyle lambda _ {j} = { begin {cases} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1 )} {2n}} vpravo) & { mbox {pokud j je liché.}} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} vlevo ({ frac { pi j} {2n}} right) & { mbox {pokud j je sudé.}} end {cases}}}$

(Všimněte si, že se vlastní čísla opakují s výjimkou 0 a největšího, pokud je n sudé.)

${ displaystyle v_ {i, j} = { begin {cases} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. n ^ {- { frac {1} {2}}} (- 1) ^ {i} & { mbox {if}} j = n { mbox {an je sudé.}} { sqrt { frac {2 } {n}}} sin left ({ frac { pi (i-0,5) j} {n}} right) & { mbox {jinak je-li j sudé.}} { sqrt { frac {2} {n}}} cos left ({ frac { pi (i-0,5) (j-1)} {n}} right) & { mbox {jinak, pokud j je liché. }} end {cases}}}$

Smíšené okrajové podmínky Dirichlet-Neumann

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1} { 2}})} {2n + 1}} vpravo)}$

${ displaystyle v_ {i, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} sin left ({ frac { pi i (2j-1)} {2n + 1}} že jo)}$

Smíšené okrajové podmínky Neumann-Dirichlet

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1} { 2}})} {2n + 1}} vpravo)}$

${ displaystyle v_ {i, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} cos left ({ frac { pi (i-0,5) (2j-1)} {2n +1}} vpravo)}$

Odvození vlastních čísel a vlastních vektorů v diskrétním případě

Dirichletův případ

V 1D diskrétním případě s Dirichletovými okrajovými podmínkami to řešíme

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v_ {0} = v_ {n + 1} = 0.}$

Přeuspořádání podmínek, máme

${ displaystyle v_ {k + 1} = (2 + h ^ {2} lambda) v_ {k} -v_ {k-1}. !}$

Tak teď ${ displaystyle 2 alpha = (2 + h ^ {2} lambda)}$. Také za předpokladu ${ displaystyle v_ {1} neq 0}$, můžeme škálovat vlastní vektory libovolným nenulovým skalárem, takže měřítko ${ displaystyle v}$ aby ${ displaystyle v_ {1} = 1}$.

Pak najdeme opakování

${ displaystyle v_ {0} = 0 , !}$

${ displaystyle v_ {1} = 1. , !}$

${ displaystyle v_ {k + 1} = 2 alpha v_ {k} -v_ {k-1} , !}$

S ohledem na ${ displaystyle alpha}$ jako neurčitý,

${ displaystyle v_ {k + 1} = U_ {k} ( alpha) , !}$

kde ${ displaystyle U_ {k}}$ je kth Čebyševův polynom druhého druhu.

Od té doby ${ displaystyle v_ {n + 1} = 0}$, máme to

${ displaystyle U_ {n} ( alfa) = 0 , !}$.

Je jasné, že vlastní čísla našeho problému budou nuly n-tého Čebyševova polynomu druhého druhu se vztahem ${ displaystyle 2 alpha = (2 + h ^ {2} lambda)}$.

Tyto nuly jsou dobře známé a jsou:

${ displaystyle alpha _ {k} = cos vlevo ({ frac {k pi} {n + 1}} vpravo). , !}$

Zapojením těchto do vzorce pro ${ displaystyle lambda}$,

${ displaystyle 2 cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} right) = h ^ {2} lambda _ {k} +2 , !}$

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {2} {h ^ {2}}} left [1- cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} dobře dobře].,!}$

Zjistili jsme, že k zjednodušení použijeme vzorec trigu

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {k pi} {2 (n + 1)} }že jo).,!}$

Neumannův případ

V případě Neumanna řešíme

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v '_ {0.5} = v' _ {n + 0,5} = 0. , !}$

Ve standardní diskretizaci představujeme ${ displaystyle v_ {0} , !}$ a ${ displaystyle v_ {n + 1} , !}$ a definovat

${ displaystyle v '_ {0.5}: = { frac {v_ {1} -v_ {0}} {h}}, v' _ {n + 0,5}: = { frac {v_ {n + 1 } -v_ {n}} {h}} , !}$

Okrajové podmínky jsou poté ekvivalentní

${ displaystyle v_ {1} -v_ {0} = 0, v_ {n + 1} -v_ {n} = 0.}$

Pokud provedeme změnu proměnných,

${ displaystyle w_ {k} = v_ {k + 1} -v_ {k}, k = 0, ..., n , !}$

můžeme odvodit následující:

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} & = lambda v_ {k } v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1} & = h ^ {2} lambda v_ {k} (v_ {k + 1} -v_ {k}) - (v_ {k} -v_ {k-1}) & = h ^ {2} lambda v_ {k} w_ {k} -w_ {k-1} & = h ^ {2} lambda v_ { k} & = h ^ {2} lambda w_ {k-1} + h ^ {2} lambda v_ {k-1} & = h ^ {2} lambda w_ {k-1} + w_ {k-1} -w_ {k-2} w_ {k} & = (2 + h ^ {2} lambda) w_ {k-1} -w_ {k-2} w_ { k + 1} & = (2 + h ^ {2} lambda) w_ {k} -w_ {k-1} & = 2 alpha w_ {k} -w_ {k-1}. end { alignedat}}}$

s ${ displaystyle w_ {n} = w_ {0} = 0}$ jako okrajové podmínky.

Toto je přesně Dirichletův vzorec s ${ displaystyle n-1}$ vnitřní body mřížky a rozteč mřížky ${ displaystyle h}$. Podobně jako to, co jsme viděli výše, za předpokladu ${ displaystyle w_ {1} neq 0}$, dostaneme

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} vlevo ({ frac {k pi} {2n}} vpravo), k = 1, ..., n-1.}$

To nám dává ${ displaystyle n-1}$ vlastní čísla a jsou ${ displaystyle n}$. Pokud upustíme od předpokladu, že ${ displaystyle w_ {1} neq 0}$, zjistíme, že existuje také řešení s ${ displaystyle v_ {k} = mathrm {konstantní} forall k = 0, ..., n + 1,}$ a to odpovídá vlastní hodnotě ${ displaystyle 0}$.

Relabeling the indexs in the formula above and combineing with the zero eigenvalue, we obtain,

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {(k-1) pi} {2n}} right), k = 1, ..., n.}$

Dirichlet-Neumann Case

V případě Dirichlet-Neumann řešíme

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v_ {0} = v '_ {n + 0,5} = 0.}$,

kde ${ displaystyle v '_ {n + 0.5}: = { frac {v_ {n + 1} -v_ {n}} {h}}.}$

Musíme zavést pomocné proměnné ${ displaystyle v_ {j + 0.5}, j = 0, ..., n.}$

Zvažte opakování

${ displaystyle v_ {k + 0,5} = 2 beta v_ {k} -v_ {k-0,5}, { text {pro některé}} beta , !}$.

Víme také ${ displaystyle v_ {0} = 0}$ a za předpokladu ${ displaystyle v_ {0,5} neq 0}$, můžeme škálovat ${ displaystyle v_ {0,5}}$ aby ${ displaystyle v_ {0.5} = 1.}$

Můžeme také psát

${ displaystyle v_ {k} = 2 beta v_ {k-0,5} -v_ {k-1} , !}$

${ displaystyle v_ {k + 1} = 2 beta v_ {k + 0,5} -v_ {k}. , !}$

Správnou kombinací těchto tří rovnic můžeme získat

${ displaystyle v_ {k + 1} = (4 beta ^ {2} -2) v_ {k} -v_ {k-1}. , !}$

A tak naše nové opakování vyřeší náš problém s vlastní hodnotou, když

${ displaystyle h ^ {2} lambda + 2 = (4 beta ^ {2} -2). , !}$

Řešení pro ${ displaystyle lambda}$ dostaneme

${ displaystyle lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}.}$

Naše nová recidiva dává

${ displaystyle v_ {n + 1} = U_ {2n + 1} ( beta), v_ {n} = U_ {2n-1} ( beta), , !}$

kde ${ displaystyle U_ {k} ( beta)}$ opět je kth Čebyševův polynom druhého druhu.

A v kombinaci s naší Neumannovou okrajovou podmínkou ano

${ displaystyle U_ {2n + 1} ( beta) -U_ {2n-1} ( beta) = 0. , !}$

Známý vzorec se týká Čebyševovy polynomy prvního druhu, ${ displaystyle T_ {k} ( beta)}$, druhému druhu od

${ displaystyle U_ {k} ( beta) -U_ {k-2} ( beta) = T_ {k} ( beta). , !}$

Tím se vyřeší naše vlastní čísla

${ displaystyle T_ {2n + 1} ( beta) = 0, lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}. , !}$

Je také známo, že nuly tohoto polynomu jsou

${ displaystyle beta _ {k} = cos vlevo ({ frac { pi (k-0,5)} {2n + 1}} vpravo), k = 1, ..., 2n + 1 , !}$

A tudíž

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} lambda _ {k} & = { frac {4} {h ^ {2}}} left [ cos ^ {2} left ({ frac { pi (k-0,5)} {2n + 1}} vpravo) -1 vpravo] & = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} vlevo ( { frac { pi (k-0,5)} {2n + 1}} vpravo). end {aligned}}}$

Všimněte si, že existují 2n + 1 těchto hodnot, ale pouze první n + 1 jsou jedinečné. Hodnota (n + 1) nám dává nulový vektor jako vlastní vektor s vlastní hodnotou 0, což je triviální. To lze vidět návratem k původnímu opakování. Považujeme tedy pouze první n z těchto hodnot za vlastní čísla Dirichlet - Neumannova problému.

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (k-0,5)} {2n + 1 }} vpravo), k = 1, ..., n.}$

Reference