Extrémně odpojený prostor - Extremally disconnected space
V matematice, an extrémně odpojený prostor je topologický prostor ve kterém je otevřeno uzavření každé otevřené sady. (Termín „extrémně odpojen“ je správný, i když se slovo „extrémně odpojeno“ ve většině slovníků neobjevuje.[1] Termín extrémně odpojen se někdy používá, ale je to nesprávné.)
Extrémně odpojený prostor, který je také kompaktní a Hausdorff se někdy nazývá a Kamenný prostor. To se liší od a Kamenný prostor, což je obvykle a úplně odpojen kompaktní Hausdorffův prostor. V dualitě mezi kamennými prostory a Booleovy algebry, kamenné prostory odpovídají kompletní booleovské algebry.
Extrémně odpojen nejdříve spočítatelné sbírkově Hausdorffův prostor musí být diskrétní. Zejména pro metrické prostory, vlastnost extrémního odpojení (uzavření každé otevřené sady je otevřené) je ekvivalentní vlastnosti bytí diskrétní (každá sada je otevřená).
Příklady
- Každý diskrétní prostor je extrémně odpojen.
- The Zhutnění Stone – Čech diskrétního prostoru je extrémně odpojen.
- Spektrum abelian von Neumann algebra je extrémně odpojen.
- Jakékoli komutativní AW * -algebra je izomorfní s kde je extrémně odpojený, kompaktní a Hausdorff.
- Jakákoli sada s cofinite topologie je extrémně odpojen, ale pokud je sada nekonečná, je tento prostor připojen. Obecněji, každý hyperpropojený prostor je extrémně odpojen.
Ekvivalentní charakterizace
Věta kvůli Gleason (1958) říká, že projektivní objekty kategorie kompaktních Hausdorffových prostorů jsou přesně extrémně odpojené kompaktní Hausdorffovy prostory. Zjednodušený důkaz této skutečnosti poskytuje Dešťová voda (1959).
Kompaktní Hausdorffův prostor je extrémně odpojen, právě když je zatáhnout Stone-Čechova zhutnění diskrétního prostoru.[2]
Aplikace
Hartig (1983) dokazuje Věta o reprezentaci Riesz – Markov – Kakutani jeho redukcí na případ extrémně odpojených prostorů, přičemž v tomto případě lze teorém reprezentace dokázat elementárními prostředky.
Viz také
Reference
- ^ „extrémně“ v O.E.D.
- ^ Semadeni (1971, Thm. 24.7.1)
- A. V. Arkhangelskii (2001) [1994], „Extrémně odpojený prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Gleason, Andrew M. (1958), "Projektivní topologické prostory", Illinois Journal of Mathematics, 2 (4A): 482–489, doi:10.1215 / ijm / 1255454110, PAN 0121775
- Hartig, Donald G. (1983), „Rieszova věta o reprezentaci se znovu objevila“, Americký matematický měsíčník, 90 (4): 277–280, doi:10.2307/2975760
- Johnstone, Peter T. (1982). Kamenné prostory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
- Rainwater, John (1959), „Poznámka k projektivním řešením“, Proceedings of the American Mathematical Society, 10 (5): 734–735, doi:10.2307/2033466, JSTOR 2033466
- Semadeni, Zbigniew (1971), Banachovy prostory spojitých funkcí. Sv. Já, PWN --- polští vědečtí vydavatelé, Varšava, PAN 0296671