Teorie KK - KK-theory

v matematika, KK-teorie je společné zobecnění obou K-homologie a K-teorie jako přísada bivariantní funktor na oddělitelný C * -algebry. Tuto představu představil ruský matematik Gennadi Kasparov^[1] v roce 1980.

To bylo ovlivněno Atiyahovým konceptem Moduly Fredholm pro Atiyah – Singerova věta o indexu a klasifikace rozšíření z C * -algebry podle Lawrence G. Brown, Ronald G. Douglas a Peter Arthur Fillmore v roce 1977.^[2] Na druhé straně měl velký úspěch v operátorově algebraickém formalismu směrem k teorii indexů a klasifikaci jaderné C * -algebry, protože to byl klíč k řešení mnoha problémů v operátorově K-teorii, jako je například pouhý výpočet K.-skupiny. Dále to bylo zásadní při vývoji Baum – Connesova domněnka a hraje zásadní roli v nekomutativní topologie.

KK- po teorii následovala řada podobných bifunktorových konstrukcí, jako je E-teorie a bivariantní periodická cyklická teorie, většina z nich má více teoretická kategorie příchutě, nebo týkající se spíše jiné třídy algeber než oddělitelné C* -algebry, nebo začlenění skupinové akce.

Definice

Následující definice je docela blízká definici původně dané Kasparovem. To je forma, ve které většina KK prvků vzniká v aplikacích.

Nechat A a B být oddělitelné C* -algebry, kde B také se předpokládá, že je σ-unital. Sada cyklů je sada trojic (H, ρ, F), kde H je spočítatelně vygenerovaný Hilbertův modul přes B, ρ je * reprezentace A na H jako dokonce omezené operátory, které dojíždějí s B, a F je omezený operátor na H stupně 1, který opět dojíždí s B. Jsou povinni splnit podmínku, že

${displaystyle [F, ho (a)], (F ^ {2} -1) ho (a), (F-F ^ {*}) ho (a)}$

pro A v A všichni jsou B-kompaktní operátory. Říká se, že cyklus je zdegenerovaný, pokud jsou všechny tři výrazy 0 pro všechny A.

Dva cykly se považují za homologní nebo homotopické, pokud mezi nimi existuje cyklus A a IB, kde IB označuje C* -algebra spojitých funkcí od [0,1] do B, takže existuje rovnoměrný jednotný operátor od 0 konce homotopy do prvního cyklu a jednotný operátor od 1 konce homotopy do druhého cyklu.

The KK-skupina KK (A, B) mezi A a B je pak definována jako množina cyklů modulo homotopy. Stává se abelianskou skupinou v rámci operace přímého součtu bimodul jako doplněk a třídy degenerovaných modulů jako neutrálního prvku.

Existují různé, ale ekvivalentní definice teorie KK, zejména ta kvůli Joachim Cuntz^[3] což vylučuje bimodul a 'Fredholmův' operátor F z obrázku a akcent zcela na homomorfismus ρ. Přesněji jej lze definovat jako sadu tříd homotopy

${displaystyle KK (A, B) = [qA, K (H) často B]}$,

* -homomorfismů z klasifikační algebry qA kvazihomomorfismů k C* -algebra kompaktních operátorů nekonečného dimenzionálního oddělitelného Hilbertovho prostoru s tenzí B. Tady, qA je definováno jako jádro mapy z C* -algebraický produkt zdarma A*A z A sama se sebou A definována identitou na obou faktorech.

Vlastnosti

Když člověk vezme C*-algebra C komplexních čísel jako první argument KK jako v KK(C, B) tato skupina přísad je přirozeně izomorfní s K.₀-skupina K.₀(B) druhého argumentu B. Z pohledu Cuntz, a K.₀-třída B není nic jiného než homotopická třída * -homomorfismů od komplexních čísel po stabilizaci B. Podobně, když vezmeme algebru C₀(R) spojitých funkcí na reálné linii rozpadajících se v nekonečnu jako první argument, získaná skupina KK(C₀(R), B) je přirozeně izomorfní na K.₁(B).

Důležitá vlastnost KK-teorie je tzv Produkt Kasparovnebo složení produktu,

${displaystyle KK (A, B) imes KK (B, C) o KK (A, C)}$,

což je bilineární vzhledem ke skupinovým strukturám aditiv. Zejména každý prvek KK(A, B) dává homomorfismus z K._*(A) → K._*(B) a další homomorfismus K.*(B) → K.*(A).

Produkt lze mnohem lépe definovat na obrázku Cuntz, protože existují přírodní mapy z QA na Aa od B na K.(H) ⊗ B které indukují KK-ekvivalence.

Produkt složení dává nový kategorie ${displaystyle {mathsf {KK}}}$, jejichž objekty jsou dány oddělitelným C* -algebry, zatímco morfismy mezi nimi jsou dány prvky odpovídajících skupin KK. Navíc jakýkoli * -homomorfismus z A do B indukuje prvek KK(A, B) a tato korespondence dává funktor z původní kategorie oddělitelného C* -algebry do ${displaystyle {mathsf {KK}}}$. Přibližně vnitřní automorfismy algeber se stávají morfismem identity v ${displaystyle {mathsf {KK}}}$.

Tento funktor ${displaystyle {mathsf {C ^ {*}! -! alg}} o {mathsf {KK}}}$ je univerzální mezi split-exact, homotopy invariantní a stabilní aditivní funktory v kategorii separable C* -algebry. Každá taková teorie vyhovuje Bottova periodicita v příslušném smyslu od té doby ${displaystyle {mathsf {KK}}}$ dělá.

Produkt Kasparov lze dále zobecnit do následující formy:

${displaystyle KK (A, Botimes E) je KK (Botimes D, C) o KK (Aotimes D, Cotimes E).}$

Obsahuje jako zvláštní případy nejen K-teoretika pohárový produkt, ale také K-teoretik víčko, křížové a šikmé produkty a produkt rozšíření.

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Teorie KK v nLab
• E-teorie v nLab