Multiplikátorová algebra - Multiplier algebra
v matematika, multiplikační algebra, označeno M(A), a C * -algebra A je unital C * -algebra, což je největší unital C * -algebra, která obsahuje A jako ideál „nedegenerovaným“ způsobem. To je nekomutativní zobecnění Zhutnění Stone – Čech. Multiplikátor algebry byly zavedeny Busby (1968).
Například pokud A je C * -algebra kompaktní operátory na oddělitelném Hilbertově prostoru, M(A) je B(H), C * -algebra všech omezené operátory na H.
Definice
Ideál Já v algebře C * B se říká, že je nezbytný -li Já ∩ J je netriviální pro všechny ideální J. Ideál Já je zásadní právě tehdy Já⊥, "ortogonální doplněk" Já v Hilbert C * -modul B je {0}.
Nechat A být C * -algebra. Jeho multiplikační algebra M(A) je jakákoli C * -algebra splňující následující univerzální vlastnictví: pro všechny C * -algebra D obsahující A jako ideál existuje jedinečný * -homomorfismus φ: D → M(A) takové, že φ rozšiřuje homomorfismus identity na A a φ(A⊥) = {0}.
Jedinečnost až izomorfismus je určeno univerzální vlastností. Když A je unital, M(A) = A. Z definice také vyplývá, že pro všechny D obsahující A jako základní ideál, multiplikátorová algebra M(A) obsahuje D jako C * -subalgebra.
Existence M(A) lze zobrazit několika způsoby.
A dvojitý centralizátor C * -algebry A je pár (L, R) ohraničených lineárních map na A takhle aL(b) = R(A)b pro všechny A a b v A. To znamená, že ||L|| = ||R||. Sada dvojitých centralizátorů A může být dána struktura C * -algebra. Tato C * -algebra obsahuje A jako základní ideál a lze jej identifikovat jako multiplikátorovou algebru M(A). Například pokud A je kompaktní operátor K.(H) na oddělitelném Hilbertově prostoru, pak každý X ∈ B(H) definuje dvojitý centralizátor A jednoduchým násobením zleva a zprava.
Alternativně, M(A) lze získat prostřednictvím zastoupení. Bude zapotřebí následující skutečnost:
Lemma. Li Já je ideální v C * -algebře B, pak jakékoli věrné zastoupení bez potomků π z Já lze prodloužit jedinečně na B.
Nyní vezměte jakékoli věrné zastoupení bez potomků π z A v Hilbertově prostoru H. Výše uvedené lemma, spolu s univerzální vlastností multiplikační algebry, to dává M(A) je izomorfní s idealista z π(A) v B(H). Je to okamžité M(K.(H)) = B(H).
Nakonec nechte E být Hilbertovým C * modulem a B(E) (resp. K.(E)) být přidruženými (resp. kompaktními) operátory E M(A) lze identifikovat pomocí * -homomorfismu z A do B(E). Platí něco podobného výše uvedenému lemmatu:
Lemma. Li Já je ideální v C * -algebře B, pak jakýkoli věrný nedgenerovaný * -homomorfismus π z Já do B(E) lze prodloužit jedinečně na B.
V důsledku toho, pokud π je věrný nedgenerovaný * -homomorfismus A do B(E), pak M(A) je izomorfní s idealizátorem π(A). Například, M(K.(E)) = B(E) pro jakýkoli modul Hilbert E.
C * -algebra A je izomorfní vůči kompaktním operátorům na modulu Hilbert A. Proto, M(A) je přidružený operátor na A.
Přísná topologie
Zvažte topologii na M(A) specifikovaný semináře {lA, rA}A ∈ A, kde
Výsledná topologie se nazývá přísná topologie na M(A). A je přísně hustá M(A) .
Když A je unital, M(A) = Aa přísná topologie se shoduje s topologií normy. Pro B(H) = M(K.(H)), přísná topologie je σ silná * topologie. Z výše uvedeného vyplývá B(H) je kompletní v σ-silné * topologii.
Komutativní případ
Nechat X být místně kompaktní Hausdorffův prostor, A = C0(X), komutativní C * -algebra spojitých funkcí, která zmizet v nekonečnu. Pak M(A) je Cb(X), spojité ohraničené funkce na X. Podle Gelfand-Naimarkova věta, jeden má izomorfismus C * -algeber
kde Y je spektrum z Cb(X). Y je ve skutečnosti homeomorfní s Zhutnění Stone – Čech βX z X.
Corona algebra
The koróna nebo koronová algebra z A je podíl M(A)/ANapříklad koronová algebra algebry kompaktních operátorů v Hilbertově prostoru je Calkinova algebra.
Koronová algebra je nekomutativní analogie koronová sada topologického prostoru.
Reference
- B. Blackadar, K-teorie pro operátorské algebry, MSRI Publications, 1986.
- Busby, Robert C. (1968), „Double centralizers and extensions of C * -algebras“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 132: 79–99, doi:10.2307/1994883, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994883, PAN 0225175
- Pedersen, Gert K. (2001) [1994], „Multiplikátory C * -algeber“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS