Neeuklidovská geometrie - Non-Euclidean geometry

v matematika, neeuklidovská geometrie se skládá ze dvou geometrií založených na axiomy úzce souvisí s těmi, které specifikují Euklidovská geometrie. Protože euklidovská geometrie leží na křižovatce metrická geometrie a afinní geometrie, neeuklidovská geometrie vzniká buď uvolněním metrického požadavku, nebo nahrazením paralelní postulát s alternativou. V druhém případě jeden získá hyperbolická geometrie a eliptická geometrie, tradiční neeuklidovské geometrie. Když se metrický požadavek uvolní, pak jsou afinní roviny spojené s rovinné algebry, které vedou k kinematické geometrie které se také nazývají neeuklidovská geometrie.
Podstatný rozdíl mezi metrickými geometriemi je povaha paralelní řádky. Euklid pátý postulát, paralelní postulát, je ekvivalentní s Playfairův postulát, který uvádí, že v dvourozměrné rovině pro jakoukoli danou čáru l a bod A, který není zapnutý l, prochází přesně jeden řádek A to se neprotíná l. V hyperbolické geometrii naopak existují nekonečně mnoho řádků A neprotínají se l, zatímco je v eliptické geometrii, prochází libovolnou čarou A protíná se l.
Dalším způsobem, jak popsat rozdíly mezi těmito geometriemi, je uvažovat o dvou přímkách neomezeně prodloužených v dvourozměrné rovině, které jsou obě kolmý na třetí řádek (ve stejné rovině):
- V euklidovské geometrii zůstávají čáry konstantní vzdálenost od sebe navzájem (což znamená, že čára nakreslená kolmo na jednu čáru v kterémkoli bodě protne druhou čáru a délka úsečky spojující průsečíky zůstane konstantní) a jsou známé jako rovnoběžky.
- V hyperbolické geometrii se od sebe „zakřivují“ a zvyšují se ve vzdálenosti, jak se člověk pohybuje dále od průsečíků se společnou kolmicí; tyto linky se často nazývají ultraparalely.
- V eliptické geometrii se čáry „křiví směrem k sobě“ a protínají se.
Dějiny
Pozadí
Euklidovská geometrie, pojmenoval podle Řecký matematik Euklid, zahrnuje některé z nejstarších známých matematik a geometrie, které se od toho odchýlily, byly až do 19. století široce přijímány jako legitimní.
Debata, která nakonec vedla k objevu neeuklidovských geometrií, začala téměř jakmile Euclid napsal Elementy. V Elementy, Euclid začíná omezeným počtem předpokladů (23 definic, pět běžných pojmů a pět postulátů) a snaží se dokázat všechny ostatní výsledky (propozice ) v práci. Nejznámější z postulátů se často označuje jako „Euklidův pátý postulát“ nebo jednoduše paralelní postulát, což je v původní formulaci Euklida:
Pokud přímka spadne na dvě přímky takovým způsobem, že vnitřní úhly na stejné straně jsou spolu menší než dva pravé úhly, pak se přímky, jsou-li vytvořeny na neurčito, setkávají na té straně, na které jsou úhly menší než dva pravé úhly.
Jiní matematici vymysleli jednodušší formy této vlastnosti. Bez ohledu na formu postulátu se však vždy zdá komplikovanější než Euklidovy další postuláty:
1. Nakreslit přímku z libovolného bodu do libovolného bodu.
2. Vytvářet [prodlužovat] konečnou přímku spojitě v přímce.
3. Popsat kružnici s jakýmkoli středem a vzdáleností [poloměrem].
4. Že všechny pravé úhly jsou si navzájem rovny.
Po dobu nejméně tisíc let geometry byli znepokojeni nesourodou složitostí pátého postulátu a věřili, že to lze dokázat jako větu od ostatních čtyř. Mnoho lidí se pokusilo najít důkaz rozporem, počítaje v to Ibn al-Haytham (Alhazen, 11. století),[1] Omar Khayyám (12. století), Nasir al-Din al-Tusi (13. století) a Giovanni Girolamo Saccheri (18. století).
Věty Ibn al-Haythama, Khayyama a al-Tusiho dále čtyřúhelníky, včetně Lambertův čtyřúhelník a Saccheri čtyřúhelník, bylo „prvních několik vět z hyperbolický a eliptické geometrie Tyto věty spolu s jejich alternativními postuláty, jako např Playfairův axiom, hrála důležitou roli v pozdějším vývoji neeuklidovské geometrie. Tyto rané pokusy napadnout pátý postulát měly značný vliv na jeho vývoj mezi pozdějšími evropskými geometry, včetně Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis a Saccheri.[2] Všechny tyto rané pokusy o pokus o formulaci neeuklidovské geometrie však poskytly chybné důkazy paralelního postulátu, obsahující předpoklady, které byly v zásadě ekvivalentní paralelnímu postulátu. Tyto rané pokusy však poskytly některé rané vlastnosti hyperbolické a eliptické geometrie.
Například Khayyam se to snažil odvodit z ekvivalentního postulátu, který formuloval z „principů Filozofa“ (Aristoteles ): "Dvě konvergentní přímky se protínají a je nemožné, aby se dvě konvergentní přímky rozcházely ve směru, ve kterém se sbíhají."[3] Khayyam poté považoval tři případy za správné, tupé a akutní, které vrcholové úhly Saccheriho čtyřúhelníku mohou trvat, a poté, co o nich prokázal řadu vět, správně vyvrátil tupé a akutní případy na základě svého postulátu, a proto odvodil klasický postulát Euklida, o kterém si neuvědomil, že je ekvivalentní jeho vlastnímu postulátu. Dalším příkladem je syn al-Tusiho, Sadr al-Din (někdy známý jako „Pseudo-Tusi“), který o tomto tématu napsal knihu v roce 1298 na základě pozdějších myšlenek al-Tusi, které představovaly další hypotézu ekvivalentní paralelnímu postulátu . „V zásadě revidoval euklidovský systém axiomů a postulátů a důkazy mnoha tvrzení z Elementy."[4][5] Jeho práce byla publikována v Řím v roce 1594 a byl studován evropskými geometry, včetně Saccheriho[4] který kritizoval tuto práci i práci Wallise.[6]
Giordano Vitale, ve své knize Euklid restituo (1680, 1686) použil Saccheriho čtyřúhelník k prokázání, že pokud jsou tři body ve stejné vzdálenosti na základně AB a na vrcholu CD, pak jsou AB a CD všude ve stejné vzdálenosti.
V díle s názvem Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid osvobozen od všech nedostatků), publikovaný v roce 1733, Saccheri rychle zahodil eliptickou geometrii jako možnost (některé další Euklidovy axiomy musí být upraveny, aby eliptická geometrie fungovala) a pustil se do práce, což dokazuje velké množství výsledků v hyperbolické geometrii.
Nakonec dosáhl bodu, kdy věřil, že jeho výsledky prokázaly nemožnost hyperbolické geometrie. Zdá se, že jeho tvrzení bylo založeno na euklidovských předpokladech, protože ne logický rozpor byl přítomen. V tomto pokusu dokázat euklidovskou geometrii místo toho neúmyslně objevil novou životaschopnou geometrii, ale neuvědomil si to.
V roce 1766 Johann Lambert napsal, ale nepublikoval, Theorie der Parallellinien ve kterém se pokusil, stejně jako Saccheri, dokázat pátý postulát. Pracoval s postavou, které dnes říkáme a Lambertův čtyřúhelník, čtyřúhelník se třemi pravými úhly (lze považovat za polovinu Saccheriho čtyřúhelníku). Rychle vyloučil možnost, že čtvrtý úhel je tupý, stejně jako Saccheri a Khayyam, a poté pokračoval v dokazování mnoha vět za předpokladu ostrého úhlu. Na rozdíl od Saccheriho nikdy nepocítil, že by s tímto předpokladem dosáhl rozporu. Dokázal neeuklidovský výsledek, že součet úhlů v trojúhelníku se zvětšuje, jak se plocha trojúhelníku zmenšuje, a to ho vedlo ke spekulacím o možnosti modelu akutního případu na sféře imaginárního poloměru. Tuto myšlenku dále nenesl.[7]
V této době se všeobecně věřilo, že vesmír funguje podle principů euklidovské geometrie.[8]
Objev neeuklidovské geometrie
Začátek 19. století by byl konečně svědkem rozhodných kroků při vytváření neeuklidovské geometrie. Circa 1813, Carl Friedrich Gauss a nezávisle kolem roku 1818 německý profesor práva Ferdinand Karl Schweikart[9] nechali vypracovat klíčové myšlenky neeuklidovské geometrie, ale ani jeden nezveřejnil žádné výsledky. Schweikartův synovec Franz Taurinus publikoval důležité výsledky hyperbolické trigonometrie ve dvou dokumentech v letech 1825 a 1826, přestože připouštěl vnitřní konzistenci hyperbolické geometrie, stále věřil ve zvláštní roli euklidovské geometrie.[10]
Poté, v letech 1829–1830 ruština matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevskij a v roce 1832 maďarský matematik János Bolyai samostatně a nezávisle publikovaná pojednání o hyperbolické geometrii. V důsledku toho se hyperbolická geometrie nazývá Lobachevskian nebo Bolyai-Lobachevskian geometrie, protože oba matematici, nezávisle na sobě, jsou základními autory neeuklidovské geometrie. Gauss zmínil se o Bolyai otci, když ukázal práci mladšího Bolyai, že vyvinul takovou geometrii před několika lety,[11] i když nepublikoval. Zatímco Lobachevskij vytvořil neeuklidovskou geometrii negací paralelního postulátu, Bolyai vypracoval geometrii, kde je možná euklidovská i hyperbolická geometrie v závislosti na parametruk. Bolyai končí svou práci zmínkou, že není možné pouze na základě matematického uvažování rozhodnout, zda je geometrie fyzického vesmíru euklidovská nebo neeuklidovská; toto je úkol pro fyzikální vědy.
Bernhard Riemann, na slavné přednášce v roce 1854, založil obor Riemannova geometrie, diskutovat zejména o nyní volaných myšlenkách rozdělovače, Riemannova metrika, a zakřivení Zkonstruoval nekonečnou rodinu neeuklidovských geometrií tím, že na jednotkové kouli dal vzorec pro rodinu Riemannovských metrik. Euklidovský prostor. Nejjednodušší z nich se nazývá eliptická geometrie a je považována za neeuklidovskou geometrii kvůli nedostatku paralelních linií.[12]
Formulováním geometrie z hlediska zakřivení tenzor, Riemann dovolil aplikovat neeuklidovskou geometrii na vyšší dimenze. Beltrami (1868) jako první použil Riemannovu geometrii na prostory se záporným zakřivením.
Terminologie
Byl to Gauss, kdo vytvořil termín „neeuklidovská geometrie“.[13] Mluvil o své vlastní práci, kterou dnes nazýváme hyperbolická geometrie. Několik moderních autorů stále uvažuje neeuklidovská geometrie a hyperbolická geometrie synonyma.
Arthur Cayley poznamenal, že vzdálenost mezi body uvnitř kuželosečky lze definovat pomocí logaritmus a projektivní křížový poměr funkce. Metoda se stala tzv Cayley – Kleinová metrika protože Felix Klein využil jej k popisu neeuklidovských geometrií v článcích[14] v roce 1871 a 1873 a později v knižní podobě. Metriky Cayley – Klein poskytly funkční modely hyperbolických a eliptických metrických geometrií i euklidovské geometrie.
Klein je zodpovědný za výrazy „hyperbolický“ a „eliptický“ (v jeho systému nazval euklidovskou geometrii parabolický, což je termín, který se obvykle nepoužívá[15]). Jeho vliv vedl k současnému použití termínu „neeuklidovská geometrie“ ve smyslu „hyperbolické“ nebo „eliptické“ geometrie.
Existuje několik matematiků, kteří by různými způsoby rozšířili seznam geometrií, které by se měly nazývat „neeuklidovské“.[16]
Axiomatický základ neeuklidovské geometrie
Euklidovskou geometrii lze axiomaticky popsat několika způsoby. Bohužel Euklidův původní systém pěti postulátů (axiomů) není jedním z nich, protože jeho důkazy se opíraly o několik nevyjádřených předpokladů, které měly být rovněž brány jako axiomy. Hilbertův systém skládající se z 20 axiomů[17] nejpřesněji sleduje přístup Euclida a poskytuje ospravedlnění pro všechny Euclidovy důkazy. Jiné systémy využívající různé sady nedefinované pojmy získat stejnou geometrii různými cestami. Všechny přístupy však mají axiom, který je logicky ekvivalentní s Euklidovým pátým postulátem, paralelním postulátem. Hilbert používá formulář axiom Playfair, zatímco Birkhoff například používá axiom, který říká, že „existuje dvojice podobných, ale ne shodných trojúhelníků.“ V kterémkoli z těchto systémů, odstranění jednoho axiomu ekvivalentního paralelnímu postulátu v jakékoli formě, který má, a ponechání všech ostatních axiomů neporušených, produkuje absolutní geometrie. Jako prvních 28 propozic Euclida (v Elementy) nevyžadují použití paralelního postulátu nebo něčeho ekvivalentního, jsou to všechna pravdivá tvrzení v absolutní geometrii.[18]
Chcete-li získat neeuklidovskou geometrii, paralelní postulát (nebo jeho ekvivalent) musí být nahrazen jeho negace. Negace Playfairův axiom formulář, protože jde o složený příkaz (... existuje jeden a jediný ...), lze provést dvěma způsoby:
- Buď bude existovat více než jedna přímka procházející bodem rovnoběžným s danou přímkou, nebo nebude existovat žádná přímka procházející bodem rovnoběžným s danou přímkou. V prvním případě nahrazení paralelního postulátu (nebo jeho ekvivalentu) výrokem „V rovině daný bod P a úsečka l neprochází P, existují dvě čáry přes P, které se nesetkávají l„a zachování všech ostatních axiomů, výnosy hyperbolická geometrie.[19]
- Druhý případ se nevyřeší tak snadno. Jednoduše nahraďte paralelní postulát tvrzením: „V rovině daný bod P a přímka l neprochází P, všechny čáry přes P se setkávají l", neposkytuje konzistentní sadu axiomů. Toto vyplývá, protože v absolutní geometrii existují rovnoběžky,[20] ale toto tvrzení říká, že neexistují žádné paralelní linie. Tento problém byl znám (v jiné podobě) Khayyamovi, Saccherimu a Lambertovi a byl základem pro jejich odmítnutí toho, co bylo známé jako „případ tupého úhlu“. Chcete-li získat konzistentní sadu axiomů, která obsahuje tento axiom o tom, že nemáte žádné paralelní čáry, je třeba vyladit některé další axiomy. Tyto úpravy závisí na použitém systému axiomu. Tyto vylepšení mimo jiné ovlivňují úpravu druhého Euklidova druhého postulátu z tvrzení, že úsečkové segmenty lze rozšířit na neurčito až k tvrzení, že úsečky jsou neomezené. Riemann je eliptická geometrie se jeví jako nejpřirozenější geometrie splňující tento axiom.
Modely neeuklidovské geometrie


Dvourozměrná euklidovská geometrie je modelován naší představou „bytu letadlo ".
Eliptická geometrie
Nejjednodušší model pro eliptická geometrie je koule, kde jsou čáry "velké kruhy " (tak jako rovník nebo meridiány na zeměkoule ) a body proti sobě (tzv antipodální body ) jsou identifikovány (považovány za stejné). Toto je také jeden ze standardních modelů skutečná projektivní rovina. Rozdíl je v tom, že jako model eliptické geometrie je zavedena metrika umožňující měření délek a úhlů, zatímco jako model projektivní roviny taková metrika neexistuje.
V eliptickém modelu pro danou linii l a bod A, který není zapnutý l, všechny řádky prošly A protne se l.
Hyperbolická geometrie
I po práci Lobachevského, Gaussa a Bolyai zůstala otázka: „Existuje takový model pro hyperbolická geometrie ? ". Model pro hyperbolická geometrie odpověděl Eugenio Beltrami, v roce 1868, který nejprve ukázal, že povrch zvaný pseudosféra má odpovídající zakřivení vymodelovat část hyperbolický prostor a ve druhém příspěvku ve stejném roce definoval Klein model, který modeluje celý hyperbolický prostor a pomocí toho ukazuje, že euklidovská geometrie a hyperbolická geometrie byly ekvikonzistentní takže hyperbolická geometrie byla logicky konzistentní právě tehdy, kdyby byla euklidovská geometrie. (Opačná implikace vyplývá z horosféra model euklidovské geometrie.)
V hyperbolickém modelu v dvourozměrné rovině pro jakoukoli danou čáru l a bod A, který není zapnutý l, existují nekonečně mnoho řádků A které se neprotínají l.
V těchto modelech jsou koncepty neeuklidovských geometrií reprezentovány euklidovskými objekty v euklidovském prostředí. Tím se zavádí percepční zkreslení, při kterém jsou přímky neeuklidovské geometrie reprezentovány euklidovskými křivkami, které se vizuálně ohýbají. Toto „ohýbání“ není vlastnost neeuklidovských linií, je to jen rafinovanost způsobu, jakým jsou reprezentovány.
Trojrozměrná neeuklidovská geometrie
Ve třech rozměrech existuje osm modelů geometrií.[21] Existují euklidovské, eliptické a hyperbolické geometrie, jako v dvourozměrném případě; smíšené geometrie, které jsou částečně euklidovské a částečně hyperbolické nebo sférické; zkroucené verze smíšených geometrií; a jedna neobvyklá geometrie, která je úplně anizotropní (tj. každý směr se chová jinak).
Méně časté vlastnosti


Euklidovská a neeuklidovská geometrie má přirozeně mnoho podobných vlastností, zejména těch, které nezávisí na povaze paralelismu. Tato obecnost je předmětem absolutní geometrie (také zvaný neutrální geometrie). Největší pozornost však historicky získaly vlastnosti, které odlišují jednu geometrii od ostatních.
Kromě chování čar vzhledem ke společné kolmici, zmíněné v úvodu, máme také následující:
- A Lambertův čtyřúhelník je čtyřúhelník se třemi pravými úhly. Čtvrtý úhel Lambertova čtyřúhelníku je akutní pokud je geometrie hyperbolická, a pravý úhel pokud je geometrie euklidovská nebo tupý pokud je geometrie eliptická. Tudíž, obdélníky existují (prohlášení ekvivalentní paralelnímu postulátu) pouze v euklidovské geometrii.
- A Saccheri čtyřúhelník je čtyřúhelník se dvěma stranami stejné délky, obě kolmé ke straně zvané základna. Další dva úhly čtyřúhelníku Saccheri se nazývají vrcholové úhly a mají stejnou míru. Úhly vrcholu čtyřúhelníku Saccheri jsou ostré, pokud je geometrie hyperbolická, pravé úhly, pokud je geometrie euklidovská, a tupé úhly, pokud je geometrie eliptická.
- Součet měr úhlů libovolného trojúhelníku je menší než 180 °, pokud je geometrie hyperbolická, rovná 180 °, pokud je geometrie euklidovská, a větší než 180 °, pokud je geometrie eliptická. The přeběhnout trojúhelníku je číselná hodnota (180 ° - součet měr úhlů trojúhelníku). Tento výsledek lze také konstatovat jako: defekt trojúhelníků v hyperbolické geometrii je pozitivní, defekt trojúhelníků v euklidovské geometrii je nulový a defekt trojúhelníků v eliptické geometrii je negativní.
Důležitost
Předtím, než Beltrami, Klein a Poincaré představili modely neeuklidovské roviny, zůstala euklidovská geometrie nezpochybnitelná jako matematický model z prostor. Kromě toho, protože podstata subjektu v syntetická geometrie byl hlavním exponátem racionality, euklidovské hledisko představovalo absolutní autoritu.
Objev neeuklidovských geometrií měl zvlněný efekt, který šel daleko za hranice matematiky a vědy. Filozof Immanuel Kant Zpracování lidských znalostí mělo pro geometrii zvláštní roli. Byl to jeho hlavní příklad syntetických apriorních znalostí; není odvozeno od smyslů ani odvozeno logikou - naše znalosti vesmíru byly pravdou, se kterou jsme se narodili. Bohužel pro Kanta byl jeho koncept této nezměnitelně pravdivé geometrie euklidovský. Teologie byla také ovlivněna změnou absolutní pravdy na relativní ve způsobu, jakým matematika souvisí se světem kolem ní, což bylo výsledkem tohoto posunu paradigmatu.[22]
Neeuklidovská geometrie je příkladem a vědecká revoluce v historie vědy, ve kterém matematici a vědci změnili pohled na své předměty.[23] Někteří geometři volali Lobachevsky „Copernicus Geometry “díky revolučnímu charakteru jeho díla.[24][25]
Existence neeuklidovských geometrií ovlivnila intelektuální život Viktoriánská Anglie v mnoha ohledech[26] a zejména byl jedním z hlavních faktorů, které způsobily přezkoumání výuky geometrie na základě Euklidovy prvky. O tomto kurikulárním čísle se v té době živě diskutovalo a bylo dokonce předmětem knihy, Euclid a jeho novodobí soupeři, autor Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), lépe známý jako Lewis Carroll, autor Alenka v říši divů.
Planární algebry
v analytická geometrie A letadlo je popsán pomocí Kartézské souřadnice : C = { (x, y) : X, y ∈ ℝ}. The bodů jsou někdy označeny komplexními čísly z = X + y ε kde ε2 ∈ { –1, 0, 1}.
Euklidovská rovina odpovídá případu ε2 = −1 od modulu z je dána
a toto množství je druhou mocninou Euklidovská vzdálenost mezi z a původ. Například {z | z z* = 1} je jednotkový kruh.
U rovinné algebry vzniká neeuklidovská geometrie v ostatních případech ε2 = +1, pak z je rozdělené komplexní číslo a konvenčně j nahrazuje epsilon. Pak
a {z | z z* = 1} je jednotka hyperbola.
Když ε2 = 0, pak z je dvojí číslo.[27]
Tento přístup k neeuklidovské geometrii vysvětluje neeuklidovské úhly: parametry sklon v rovině dvojího čísla a hyperbolický úhel v rovině děleného komplexu odpovídají úhel v euklidovské geometrii. Ve skutečnosti každý z nich vzniká polární rozklad komplexního čísla z.[28]
Kinematické geometrie
Hyperbolická geometrie našla aplikaci v kinematika s fyzikální kosmologie představil Hermann Minkowski v roce 1908. Minkowski představil pojmy jako světová linka a správný čas do matematická fyzika. Uvědomil si, že podmanifold událostí lze považovat za jeden okamžik správného času do budoucnosti hyperbolický prostor tří dimenzí.[29][30]Již v 90. letech 19. století Alexander Macfarlane mapoval tento podmanifer prostřednictvím svého Algebra fyziky a hyperbolické čtveřice, ačkoli Macfarlane nepoužíval kosmologický jazyk jako Minkowski v roce 1908. Příslušná struktura se nyní nazývá hyperboloidní model hyperbolické geometrie.
Neeuklidovské planární algebry podporují kinematické geometrie v rovině. Například rozdělené komplexní číslo z = eAj může představovat událost časoprostoru jeden okamžik do budoucnosti a referenční rámec z rychlost A. Násobení dále z činí a Lorentzova podpora mapování rámce s rychlostí nula na to s rychlostí A.
Kinematická studie využívá duální čísla reprezentovat klasický popis pohybu v absolutní čas a prostor: Rovnice jsou ekvivalentní a smykové mapování v lineární algebře: