Absolutní geometrie - Absolute geometry

Geometrie
Stereografická projekce ve formátu 3D.svg
Geometry

Absolutní geometrie je geometrie na základě axiomový systém pro Euklidovská geometrie bez paralelní postulát nebo některou z jeho alternativ. Tradičně to znamenalo použít pouze první čtyři z Euklidovy postuláty, ale protože to není dostatečné jako základ euklidovské geometrie, jiné systémy, jako např Hilbertovy axiomy bez paralelního axiomu.[1] Termín zavedl János Bolyai v roce 1832.[2] Někdy je označován jako neutrální geometrie,[3] protože je neutrální vzhledem k paralelnímu postulátu.

Vlastnosti

Lze si představit, že absolutní geometrie je poměrně slabý systém, ale není tomu tak. Opravdu, v Euklidova Elementy, prvních 28 Propozic a Proposition 31 se vyhýbají použití paralelního postulátu, a proto jsou platné v absolutní geometrii. Dá se také dokázat v absolutní geometrii teorém o vnějším úhlu (vnější úhel trojúhelníku je větší než jeden ze vzdálených úhlů), stejně jako Věta Saccheri – Legendre, který uvádí, že součet měr úhlů v trojúhelníku má nejvýše 180 °.[4]

Návrh 31 je výstavba a paralelní linie k dané přímce bodem, který není na dané přímce.[5] Protože důkaz vyžaduje pouze použití Proposition 27 (Alternate Interior Angle Theorem), jedná se o platnou konstrukci v absolutní geometrii. Přesněji řečeno, vzhledem k libovolnému řádku l a jakýkoli bod P ne na l, tady je alespoň jeden řádek P který je paralelní s l. To lze dokázat pomocí známé konstrukce: dané linky l a bod P ne na l, upustit kolmici m z P na l, potom postavte kolmo n na m přes P. Alternativní větou o vnitřním úhlu, l je paralelní s n. (Alternativní věta o vnitřním úhlu uvádí, že pokud jsou přímky A a b jsou řezány příčně t takže existuje tedy pár shodných alternativních vnitřních úhlů A a b jsou paralelní.) Výše ​​uvedená konstrukce a alternativní věta o vnitřním úhlu nezávisí na paralelním postulátu, a proto jsou platné v absolutní geometrii.[6]

V absolutní geometrii je to také dokázatelné dvě čáry kolmé na stejnou čáru se nemohou protínat (díky čemuž jsou dvě čáry rovnoběžné podle definice rovnoběžek), což dokazuje, že vrcholové úhly a Saccheri čtyřúhelník nemůže být tupý, a to sférická geometrie není absolutní geometrie.

Vztah k jiným geometriím

Věty o absolutní geometrii se drží hyperbolická geometrie, což je neeuklidovská geometrie, stejně jako v Euklidovská geometrie.[7]

Absolutní geometrie je v rozporu s eliptická geometrie: v této teorii neexistují vůbec žádné paralelní čáry, ale existuje věta o absolutní geometrii, že paralelní čáry existují. Je však možné upravit systém axiomu tak, aby absolutní geometrie, jak je definována upraveným systémem, obsahovala sférické a eliptické geometrie, které nemají žádné rovnoběžky.[8]

Absolutní geometrie je rozšířením uspořádaná geometrie, a tedy všechny věty v uspořádané geometrii platí v absolutní geometrii. Opak není pravdivý. Absolutní geometrie předpokládá, že první čtyři Euklidovy axiomy (nebo jejich ekvivalenty) budou kontrastovány s afinní geometrie, který nepředpokládá Euklidův třetí a čtvrtý axiom. (3: „Popsat a kruh s jakýmkoli středem a vzdáleností poloměr. ", 4:" To vše správné úhly jsou si navzájem rovnocenné. “) Uspořádaná geometrie je společným základem absolutní i afinní geometrie.[9]

The geometrie speciální relativity byl vyvinut počínaje devíti axiomy a jedenácti výroky absolutní geometrie.[10][11] Autoři Edwin B.Wilson a Gilbert N. Lewis pak pokračujte nad absolutní geometrii, když se zavedou hyperbolická rotace jako transformace týkající se dvou referenční rámce.

Hilbertova letadla

Letadlo, které uspokojí Hilberta Incidence, Betweeness a Shoda axiomy se nazývají a Hilbertovo letadlo.[12] Hilbertovy roviny jsou modely absolutní geometrie.[13]

Neúplnost

Absolutní geometrie je neúplný axiomatický systém, v tom smyslu, že lze přidat další nezávislé axiomy, aniž by byl systém axiomů nekonzistentní. Jeden může rozšířit absolutní geometrii přidáním různých axiomů o paralelních liniích a získat nekompatibilní, ale konzistentní systémy axiomu, což vede k euklidovské nebo hyperbolické geometrii. Každá věta absolutní geometrie je tedy teorémem hyperbolické geometrie a euklidovské geometrie. Opak však není pravdivý.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Faber 1983, str. 131
  2. ^ V "Příloha s absolutní vědou o vesmíru: nezávislá na pravdivosti nebo nepravdivosti Euklidova Axiomu XI (v žádném případě nebyla dříve rozhodnuta)" (Faber 1983, str. 161)
  3. ^ Greenberg cituje W. Prenowitze a M. Jordana (Greenberg, s. Xvi) za použití tohoto výrazu neutrální geometrie odkazovat na tu část euklidovské geometrie, která nezávisí na Euklidově paralelním postulátu. Říká, že slovo absolutní v absolutní geometrie zavádějícím způsobem znamená, že na něm závisí všechny ostatní geometrie.
  4. ^ Jeden vidí nekompatibilitu absolutní geometrie s eliptickou geometrií, protože ve druhé teorii mají všechny trojúhelníky součet úhlů větší než 180 °.
  5. ^ Faber 1983, str. 296
  6. ^ Greenberg 2007, str. 163
  7. ^ Absolutní geometrie je ve skutečnosti průsečík hyperbolické geometrie a euklidovské geometrie, pokud jsou považovány za množiny výroků.
  8. ^ Ewald, G. (1971), Geometrie: An Introduction, Wadsworth
  9. ^ Coxeter 1969, str. 175–6
  10. ^ Edwin B.Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) „Časoprostorový rozdělovač relativity. Neeuklidovská geometrie mechaniky a elektromagnetiky“ Sborník Americká akademie umění a věd 48:387–507
  11. ^ Syntetický časoprostor, shrnutí použitých axiomů a věty prokázané Wilsonem a Lewisem. Archivováno uživatelem WebCite
  12. ^ Hartshorne 2005, str. 97
  13. ^ Greenberg 2010, s. 200

Reference

externí odkazy