Věta o uniformizaci - Uniformization theorem

V matematice je věta o uniformizaci říká, že každý jednoduše připojeno Riemannův povrch je shodně ekvivalentní na jeden ze tří Riemannův povrchů: otevřený jednotka disku, složité letadlo, nebo Riemannova koule. Zejména to znamená, že každá Riemannova plocha připouští a Riemannova metrika z konstantní zakřivení. Pro kompaktní Riemannovy povrchy jsou povrchy s univerzálním pokrytím jednotkového disku přesně hyperbolické povrchy rodu větší než 1, všechny s neabelovskou základní skupinou; ti s univerzálním pokrytím komplexní roviny jsou Riemannovy povrchy rodu 1, konkrétně komplexní tori nebo eliptické křivky se základní skupinou Z²; a ti, kteří univerzálně pokrývají Riemannovu sféru, jsou ti rodu nula, konkrétně samotná Riemannova sféra, s triviální základní skupinou.

Věta o uniformizaci je zobecněním Riemannova věta o mapování od správného jednoduše připojeného otevřeno podmnožiny roviny na libovolné jednoduše spojené Riemannovy povrchy. Věta o uniformizaci má také ekvivalentní prohlášení, pokud jde o uzavřené Riemannovy 2-potrubí: každé takové potrubí má konformně ekvivalentní Riemannovu metriku s konstantním zakřivením.

Mnoho klasických důkazů věty o uniformizaci se spoléhá na konstrukci skutečné hodnoty harmonická funkce na jednoduše spojené Riemannově ploše, možná se singularitou v jednom nebo dvou bodech a často odpovídající formě Greenova funkce. Široce se používají čtyři metody konstrukce harmonické funkce: Perronova metoda; the Schwarzova alternativní metoda; Dirichletův princip; a Weyl metoda ortogonální projekce. V kontextu uzavřených Riemannovských 2-variet, několik moderních důkazů vyvolává nelineární diferenciální rovnice v prostoru konformně ekvivalentních metrik. Mezi ně patří Beltramiho rovnice z Teichmüllerova teorie a ekvivalentní formulace ve smyslu harmonické mapy; Liouvilleova rovnice, již studoval Poincaré; a Ricciho tok spolu s dalšími nelineárními toky.

Dějiny

Felixe Klein  (1883 ) a Henri Poincaré  (1882 ) se domníval, že věta o uniformizaci pro (Riemannovy povrchy) algebraických křivek. Henri Poincaré (1883 ) rozšířil to na libovolné analytické funkce s více hodnotami a dal neformální argumenty ve svůj prospěch. První důkladné důkazy obecné věty o uniformizaci byly poskytnuty autorem Poincaré  (1907 ) a Paul Koebe  (1907a, 1907b, 1907c ). Paul Koebe později poskytl několik dalších důkazů a zevšeobecnění. Historie je popsána v Šedá (1994); kompletní popis uniformizace až do roku 1907 prací Koebeho a Poincarého je uveden s podrobnými důkazy v de Saint-Gervais (2016) (dále jen Bourbaki - pseudonym skupiny patnácti matematiků, kteří společně vytvořili tuto publikaci).

Klasifikace spojených Riemannův povrchů

Každý Riemannův povrch je podíl volného, ​​správného a holomorfního působení a diskrétní skupina na svém univerzálním potahu a tento univerzální potah je holomorfně izomorfní (jeden také říká: „konformně ekvivalentní“ nebo „biholomorfní“) s jedním z následujících:

1. the Riemannova koule
2. komplexní rovina
3. disk jednotky v komplexní rovině.

Radova věta ukazuje, že každý povrch Riemanna je automaticky druhý spočetný. Ačkoli Radova věta je často používána v důkazech o uniformizační větě, některé důkazy byly formulovány tak, aby se Radova věta stala důsledkem. Druhá spočetnost je u kompaktních povrchů Riemann automatická.

Klasifikace uzavřených orientovaných Riemannovských 2-variet

Na orientovaném 2-potrubí, a Riemannova metrika indukuje složitou strukturu pomocí průchodu do izotermické souřadnice. Pokud je Riemannova metrika dána místně jako

${ displaystyle ds ^ {2} = E , dx ^ {2} + 2F , dx , dy + G , dy ^ {2},}$

pak ve složité souřadnici z = X + iy, má formu

${ displaystyle ds ^ {2} = lambda | dz + mu , d { overline {z}} | ^ {2},}$

kde

${ displaystyle lambda = {1 nad 4} vlevo (E + G + 2 { sqrt {EG-F ^ {2}}} vpravo), , , , mu = (E-G + 2iF) / 4 lambda,}$

aby λ a μ jsou hladké s λ > 0 a |μ| <1. V izotermických souřadnicích (u, proti) metrika by měla mít podobu

${ displaystyle ds ^ {2} = rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

s ρ > 0 hladké. Složitá souřadnice w = u + i proti splňuje

${ displaystyle rho , | dw | ^ {2} = rho | w_ {z} | ^ {2} vlevo | dz + {w _ { overline {z}} nad w_ {z}} , d { overline {z}} doprava | ^ {2},}$

takže souřadnice (u, proti) bude izotermicky místně za předpokladu, že Beltramiho rovnice

${ displaystyle { částečné w over částečné { overline {z}}} = mu { částečné w over částečné z}}$

má lokálně diffeomorphic řešení, tj. řešení s nezmizející Jacobian.

Tyto podmínky lze formulovat rovnocenně, pokud jde o vnější derivace a Operátor hvězd Hodge ∗.^[1]u a proti budou izotermické souřadnice, pokud ∗du = dv, kde ∗ je definován na diferenciálech pomocí ∗(p dx + q dy) = −q dx + p dy.Nechat ∆ = ∗d∗d být Operátor Laplace – Beltrami. Podle standardní eliptické teorie u lze zvolit být harmonický blízko daného bodu, tj. Δ u = 0, s du nemizející. Podle Poincaré lemma dv = ∗du má lokální řešení proti přesně kdy d(∗du) = 0. Tato podmínka je ekvivalentní k Δ u = 0, takže lze vždy vyřešit lokálně. Od té doby du je nenulová a čtverec Hodgeova hvězdného operátoru je −1 na 1-formách, du a dv musí být lineárně nezávislé, takže u a proti dát místní izotermické souřadnice.

Existenci izotermických souřadnic lze prokázat jinými metodami, například pomocí metody obecná teorie Beltramiho rovnice, jako v Ahlfors (2006), nebo přímými elementárními metodami, jako v Chern (1955) a Jost (2006).

Z této korespondence s kompaktními Riemannovými povrchy vyplývá klasifikace uzavřených orientovatelných Riemannovských 2 variet. Každý takový je shodně ekvivalentní jedinečnému uzavřenému 2-potrubí konstantní zakřivení, takže a kvocient jednoho z následujících a akce zdarma a diskrétní podskupina z izometrická skupina:

1. the koule (zakřivení +1)
2. the Euklidovské letadlo (zakřivení 0)
3. the hyperbolická rovina (zakřivení -1).

• 

  rod 0

• 

  rod 1

• 

  rod 2

• 

  rod 3

První případ dává 2-kouli, jedinečné 2-potrubí s konstantním kladným zakřivením, a tedy kladným Eulerova charakteristika (rovná se 2). Druhý dává všechny ploché 2-potrubí, tj Tori, které mají Eulerovu charakteristiku 0. Třetí případ pokrývá všechny 2-potrubí s konstantním záporným zakřivením, tj hyperbolický 2-rozdělovače, z nichž všechny mají negativní Eulerovu charakteristiku. Klasifikace je v souladu s Věta o Gauss-Bonnetovi, což znamená, že pro uzavřený povrch s konstantním zakřivením se musí znaménko tohoto zakřivení shodovat se znamením Eulerovy charakteristiky. Eulerova charakteristika se rovná 2 - 2G, kde G je rod dvojitého potrubí, tj. počet „děr“.

Způsoby dokazování

Hilbertovy vesmírné metody

V roce 1913 vydal Hermann Weyl svou klasickou učebnici „Die Idee der Riemannschen Fläche“, která vychází z jeho přednášek v Göttingenu v letech 1911 až 1912. Byla to první kniha, která představila teorii Riemannův povrchů v moderním prostředí a prostřednictvím svých tří vydání zůstala vlivná. Věnovaná Felix Klein, zapracováno první vydání Hilberta léčba Dirichletův problém použitím Hilbertův prostor techniky; Brouwer příspěvky k topologii; a Koebe důkaz věty o uniformizaci a jejích následných vylepšení. O hodně později Weyl (1940) vyvinul svou metodu ortogonální projekce, která poskytla efektivní přístup k Dirichletovu problému, rovněž založený na Hilbertově prostoru; tato teorie, která zahrnovala Weylovo lemma na eliptická pravidelnost, souviselo s Hodge teorie harmonických integrálů; a obě teorie byly zahrnuty do moderní teorie eliptické operátory a L² Sobolevovy prostory. Ve třetím vydání své knihy z roku 1955, přeložené do angličtiny v Weyl (1964) Weyl přijal moderní definici diferenciálního potrubí, přednostně triangulace, ale rozhodl se nepoužívat jeho metodu ortogonální projekce. Springer (1957) následoval Weylův popis věty o uniformizaci, ale k léčbě Dirichletova problému použil metodu ortogonální projekce. Tento přístup bude popsán níže. Kodaira (2007) popisuje přístup v Weylově knize a také to, jak jej zkrátit pomocí metody ortogonální projekce. Související účet najdete v Donaldson (2011).

Nelineární toky

Při zavádění Ricciho tok, Richard S. Hamilton ukázal, že Ricciho tok na uzavřeném povrchu uniformizuje metriku (tj. tok konverguje k metrice konstantního zakřivení). Jeho důkaz se však opíral o větu o uniformizaci. Chybějící krok zahrnoval Ricciho tok na 2 sféře: způsob, jak se vyhnout odvolání k teorému uniformizace (pro rod 0), poskytl Chen, Lu & Tian (2006);^[2] byl uveden krátký samostatný popis toku Ricciho ve 2 sféře Andrews & Bryan (2010).

Zobecnění

Koebe prokázal obecná uniformizační věta že pokud je Riemannova plocha homeomorfní s otevřenou podmnožinou komplexní sféry (nebo ekvivalentně, pokud ji odděluje každá Jordanova křivka), pak je konformně ekvivalentní otevřené podmnožině komplexní sféry.

Ve 3 rozměrech existuje 8 geometrií nazývaných osm Thurstonových geometrií. Ne každé 3-potrubí připouští geometrii, ale Thurston domněnka o geometrizaci prokázáno Grigori Perelman uvádí, že každé 3 potrubí může být rozřezáno na kusy, které jsou geometrizovatelné.

The simultánní věta o uniformizaci z Lipman Bers ukazuje, že je možné současně uniformizovat dva kompaktní Riemannovy povrchy stejného rodu> 1 se stejnými kvazi-fuchsiová skupina.

The měřitelná Riemannova věta o mapování obecněji ukazuje, že mapu k otevřené podmnožině komplexní sféry v teorému uniformizace lze zvolit jako a kvazikonformní mapa s jakýmkoli daným omezeným měřitelným koeficientem Beltrami.

Viz také

• p-adická uniformizační věta.

Poznámky

Reference

Historické odkazy

• Schwarz, H. A. (1870), „Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren“, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft v Curychu, 15: 272–286, JFM  02.0214.02.
• Klein, Felix (1883), „Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie“, Mathematische Annalen, 21 (2): 141–218, doi:10.1007 / BF01442920, ISSN  0025-5831, JFM  15.0351.01, S2CID  120465625
• Koebe, P. (1907a), „Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven“, Göttinger Nachrichten: 177–190, JFM  38.0453.01
• Koebe, P. (1907b), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven“, Göttinger Nachrichten: 191–210, JFM  38.0454.01
• Koebe, P. (1907c), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)“, Göttinger Nachrichten: 633–669, JFM  38.0455.02
• Koebe, Paul (1910a), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 138: 192–253, doi:10.1515 / crll.1910.138.192, S2CID  120198686
• Koebe, Paul (1910b), „Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode“ (PDF), Göttinger Nachrichten: 61–65
• Poincaré, H. (1882), "Mémoire sur les fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica, 1: 193–294, doi:10.1007 / BF02592135, ISSN  0001-5962, JFM  15.0342.01
• Poincaré, Henri (1883), „Sur un théorème de la théorie générale des fonctions“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 11: 112–125, doi:10,24033 / bsmf.261, ISSN  0037-9484, JFM  15.0348.01
• Poincaré, Henri (1907), „Sur l'uniformisation des fonctions analytiques“, Acta Mathematica, 31: 1–63, doi:10.1007 / BF02415442, ISSN  0001-5962, JFM  38.0452.02
• Hilbert, David (1909), „Zur Theorie der konformen Abbildung“ (PDF), Göttinger Nachrichten: 314–323
• Perron, O. (1923), „Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0“, Mathematische Zeitschrift, 18 (1): 42–54, doi:10.1007 / BF01192395, ISSN  0025-5874, S2CID  122843531
• Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (dotisk 1997 německého originálu z roku 1913), Teubner, ISBN  978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), „Metoda ortogonálních projekcí v teorii potenciálu“, Vévoda Math. J., 7: 411–444, doi:10.1215 / s0012-7094-40-00725-6

Historické průzkumy

• Abikoff, William (1981), „Věta o uniformizaci“, Amer. Matematika. Měsíční, 88 (8): 574–592, doi:10.2307/2320507, JSTOR  2320507
• Gray, Jeremy (1994), „K historii Riemannovy věty o mapování“ (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Série II. Dodatek (34): 47–94, PAN  1295591
• Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony — Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function TheoryZdroje a studie z dějin matematiky a fyzikálních věd, Springer, ISBN  978-1461457251
• de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revizi sto let staré věty, přeložil Robert G. Burns, Evropská matematická společnost, doi:10.4171/145, ISBN  978-3-03719-145-3, překlad Francouzský text (připraveno v roce 2007 během stého výročí 1907 prací Koebeho a Poincarého)

Harmonické funkce

Perronova metoda

• Heins, M. (1949), „Konformní mapování jednoduše spojených Riemannův povrchů“, Ann. matematiky., 50 (3): 686–690, doi:10.2307/1969555, JSTOR  1969555
• Heins, M. (1951), „Vnitřní mapování orientovatelného povrchu do S²", Proc. Amer. Matematika. Soc., 2 (6): 951–952, doi:10.1090 / s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), „Konformní mapování jednoduše spojených Riemannův povrchů. II“, Nagojská matematika. J., 12: 139–143, doi:10.1017 / s002776300002198x
• Pfluger, Albert (1957), Theorie der Riemannschen FlächenSpringer
• Ahlfors, Lars V. (2010), Konformní invarianty: témata v teorii geometrických funkcí, AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5270-5
• Beardon, A. F. (1984), "Základní nátěr na Riemannově povrchu", Série přednášek London Mathematical Society, Cambridge University Press, 78, ISBN  978-0521271042
• Forster, Otto (1991), Přednášky o Riemannově povrchu, Postgraduální texty z matematiky, 81, přeložil Bruce Gilligan, Springer, ISBN  978-0-387-90617-1
• Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980), Riemannovy povrchy (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-90465-8
• Gamelin, Theodore W. (2001), Složitá analýza, Vysokoškolské texty z matematiky, Springer, ISBN  978-0-387-95069-3
• Hubbard, John H. (2006), Teichmüllerova teorie a aplikace v geometrii, topologii a dynamice. Sv. 1. Teichmüllerova teorieMatrix Edition, ISBN  978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), Kurz komplexní analýzy a Riemannův povrchů., Postgraduální studium matematiky, 154Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-9847-5

Schwarzova střídavá metoda

• Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64Springer
• Behnke, Heinrich; Sommer, Friedrich (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 77 (3. vyd.), Springer
• Freitag, Eberhard (2011), Složitá analýza. 2. Riemannovy povrchy, několik komplexních proměnných, abelianské funkce, vyšší modulární funkceSpringer, ISBN  978-3-642-20553-8

Dirichletův princip

• Weyl, Hermann (1964), Koncept Riemannova povrchu, přeložil Gerald R. MacLane, Addison-Wesley, PAN  0069903
• Courant, Richard (1977), Dirichletův princip, konformní mapování a minimální povrchySpringer, ISBN  978-0-387-90246-3
• Siegel, C. L. (1988), Témata teorie složitých funkcí. Sv. I. Eliptické funkce a teorie uniformizace, překládal A. Shenitzer; D. Solitar, Wiley, ISBN  978-0471608448

Weylova metoda ortogonální projekce

• Springer, George (1957), Úvod do Riemannův povrchů, Addison-Wesley, PAN  0092855
• Kodaira, Kunihiko (2007), Složitá analýza, Cambridge studia pokročilé matematiky, 107, Cambridge University Press, ISBN  9780521809375
• Donaldson, Simon (2011), Riemannovy povrchy, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, 22, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-960674-0

Provozovatelé Sario

• Sario, Leo (1952), „Metoda lineárního operátoru na libovolných Riemannovych plochách“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 72 (2): 281–295, doi:10.1090 / s0002-9947-1952-0046442-2
• Ahlfors, Lars V .; Sario, Leo (1960), Riemannovy povrchy, Princeton Mathematical Series, 26, Princeton University Press

Nelineární diferenciální rovnice

Beltramiho rovnice

• Ahlfors, Lars V. (2006), Přednášky o kvazikonformních mapováních, Univerzitní přednáškový cyklus, 38 (2. vyd.), American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-3644-6
• Ahlfors, Lars V .; Bers, Lipman (1960), „Riemannova věta o mapování proměnných metrik“, Ann. matematiky., 72 (2): 385–404, doi:10.2307/1970141, JSTOR  1970141
• Bers, Lipman (1960), „Simultánní uniformizace“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 66 (2): 94–97, doi:10.1090 / s0002-9904-1960-10413-2
• Bers, Lipman (1961), „Uniformization by Beltrami equations“, Comm. Pure Appl. Matematika., 14 (3): 215–228, doi:10,1002 / cpa. 3160140304
• Bers, Lipmane (1972), „Uniformization, moduli, and Kleinian groups“, Bulletin of London Mathematical Society, 4 (3): 257–300, doi:10,1112 / blms / 4.3.257, ISSN  0024-6093, PAN  0348097

Harmonické mapy

• Jost, Jürgen (2006), Kompaktní Riemannovy povrchy: úvod do současné matematiky (3. vyd.), Springer, ISBN  978-3-540-33065-3

Liouvilleova rovnice

• Berger, Melvyn S. (1971), „Riemannovy struktury předepsaného Gaussova zakřivení pro kompaktní 2-potrubí“, Journal of Differential Geometry, 5 (3–4): 325–332, doi:10,4310 / jdg / 1214429996
• Berger, Melvyn S. (1977), Nelineární a funkční analýzaAkademický tisk, ISBN  978-0-12-090350-4
• Taylor, Michael E. (2011), Parciální diferenciální rovnice III. Nelineární rovnice, Aplikované matematické vědy, 117 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-1-4419-7048-0

Toky na Riemannově metrice

• Hamilton, Richard S. (1988), „Ricciho tok na povrchu“, Matematika a obecná teorie relativity (Santa Cruz, CA, 1986), Contemp. Matematika., 71, American Mathematical Society, str. 237–262
• Chow, Bennett (1991), „Ricciho tok na 2 sféře“, J. Diferenciální Geom., 33 (2): 325–334, doi:10,4310 / jdg / 1214446319
• Osgood, B .; Phillips, R .; Sarnak, P. (1988), „Extrémy determinantů Laplacianů“, J. Funct. Anální., 80: 148–211, CiteSeerX  10.1.1.486.558, doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5
• Chrusciel, P. (1991), „Semi-globální existence a konvergence řešení Robinson-Trautmanovy (2-dimenzionální Calabi) rovnice“, Komunikace v matematické fyzice, 137 (2): 289–313, Bibcode:1991CMaPh.137..289C, CiteSeerX  10.1.1.459.9029, doi:10.1007 / bf02431882, S2CID  53641998
• Chang, Shu-Cheng (2000), „Globální existence a konvergence řešení toku Calabi na povrchech rodu h ≥ 2", J. Math. Kjótské Univ., 40 (2): 363–377, doi:10.1215 / kjm / 1250517718
• Brendle, Simon (2010), Ricciho tok a věta koule, Postgraduální studium matematiky, 111Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4938-5
• Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, ​​Gang (2006), „Poznámka k uniformizaci Riemannův povrchů pomocí Ricciho toku“, Proceedings of the American Mathematical Society, 134 (11): 3391–3393, doi:10.1090 / S0002-9939-06-08360-2, ISSN  0002-9939, PAN  2231924
• Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010), „Meze zakřivení pomocí izoperimetrického srovnání pro normalizovaný Ricciho tok ve dvou sférách“, Calc. Var. Parciální diferenciální rovnice, 39 (3–4): 419–428, arXiv:0908.3606, doi:10.1007 / s00526-010-0315-5, S2CID  1095459
• Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), „Zakřivení a uniformizace“, Israel J. Math., 130: 323–346, arXiv:matematika / 0105016, doi:10.1007 / bf02764082, S2CID  7192529
• Struwe, Michael (2002), „Curvature flow on povrchy“, Ann. Sc. Norma. Super. Pisa Cl. Sci., 1: 247–274

Obecné odkazy

• Chern, Shiing-shen (1955), „Elementární důkaz existence izotermických parametrů na povrchu“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 6 (5): 771–782, doi:10.2307/2032933, JSTOR  2032933
• DeTurck, Dennis M .; Kazdan, Jerry L. (1981), „Některé věty o pravidelnosti v Riemannově geometrii“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 14 (3): 249–260, doi:10,24033 / asens.1405, ISSN  0012-9593, PAN  0644518.
• Gusevskii, N.A. (2001) [1994], „Uniformization“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Krushkal, S.L .; Apanasov, B. N .; Gusevskiĭ, N. A. (1986) [1981], Kleinianovy skupiny a uniformizace v příkladech a problémech Překlady matematických monografií, 62„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4516-5, PAN  0647770
• Taylor, Michael E. (1996), Parciální diferenciální rovnice I: Základní teorie, Springer, str. 376–378, ISBN  978-0-387-94654-2
• Taylor, Michael E. (1996), Parciální diferenciální rovnice II: Kvalitativní studie lineárních rovnicSpringer, ISBN  978-0-387-94651-1
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Parciální diferenciální rovnice (dotisk originálu z roku 1964)Přednášky z aplikované matematiky, 3AAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0049-2
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrieWiley, ISBN  978-0-471-05059-9
• Warner, Frank W. (1983), Základy rozlišitelných potrubí a Lieových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 94Springer, ISBN  978-0-387-90894-6

externí odkazy

• Konformní transformace: z kruhu na čtverec.