Hyperboloidní model - Hyperboloid model

Červený kruhový oblouk je geodetický Poincaré model disku; promítá se do hnědé geodézie na zeleném hyperboloidu.

v geometrie, hyperboloidní model, také známý jako Minkowského model po Hermann Minkowski je model n-dimenzionální hyperbolická geometrie ve kterém jsou body reprezentovány body na předním listu S⁺ dvouplášťové hyperboloid v (n+1) -dimenzionální Minkowského prostor a m-roviny jsou reprezentovány průsečíky (m+1) - letadla v Minkowského prostoru s S⁺. Funkce hyperbolické vzdálenosti připouští v tomto modelu jednoduchý výraz. Hyperboloidní model n-dimenzionální hyperbolický prostor úzce souvisí s Model Beltrami – Klein a do Poincaré model disku protože se jedná o projektivní modely v tom smyslu, že izometrická skupina je podskupinou projektivní skupina.

Minkowského kvadratická forma

Pokud (X₀, X₁, ..., X_n) je vektor v (n + 1)-rozměrný souřadnicový prostor Rⁿ⁺¹, Minkowski kvadratická forma je definován jako

${displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -ldots -x_ {n} ^ {2} .}$

Vektory proti ∈ Rⁿ⁺¹ takhle Q(proti) = 1 pro muže n-dimenzionální hyperboloid S skládající se ze dvou připojené komponenty nebo povlečení na postel: list vpřed nebo budoucnost S⁺, kde X₀> 0 a zpětný nebo minulý list S⁻, kde X₀<0. Body z n-dimenzionální hyperboloidní model jsou body na předním listu S⁺.

The Minkowski bilineární forma B je polarizace Minkowského kvadratické formy Q,

${displaystyle B (mathbf {u}, mathbf {v}) = (Q (mathbf {u} + mathbf {v}) -Q (mathbf {u}) -Q (mathbf {v})) / 2.}$

Výslovně,

${displaystyle B ((x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {0}, y_ {1}, ldots, y_ {n})) = x_ {0} y_ {0 } -x_ {1} y_ {1} -ldots -x_ {n} y_ {n}.}$

The hyperbolická vzdálenost mezi dvěma body u a proti z S⁺ je dáno vzorcem

${displaystyle d (mathbf {u}, mathbf {v}) = operatorname {arcosh} (B (mathbf {u}, mathbf {v})),}$

kde arcosh je inverzní funkce z hyperbolický kosinus.

Rovné čáry

Hyperbolická přímka n-prostor je modelován a geodetické na hyperboloidu. Geodetika na hyperboloidu je (neprázdný) průsečík hyperboloidu s dvourozměrným lineárním podprostorem (včetně původu) n+ 1-rozměrný Minkowského prostor. Pokud vezmeme u a proti být základními vektory tohoto lineárního podprostoru s

${displaystyle B (mathbf {u}, mathbf {u}) = 1}$

${displaystyle B (mathbf {v}, mathbf {v}) = - 1}$

${displaystyle B (mathbf {u}, mathbf {v}) = B (mathbf {v}, mathbf {u}) = 0}$

a použít w jako skutečný parametr pro body na geodetice

${displaystyle mathbf {u} cosh w + mathbf {v} sinh w}$

bude bodem na geodetice.^[1]

Obecněji, a k-dimenzionální "plochý" v hyperbolickém n-prostor bude modelován (neprázdným) průnikem hyperboloidu s a k+ 1-rozměrný lineární podprostor (včetně počátku) Minkowského prostoru.

Izometrie

The neurčitá ortogonální skupina O (1,n), také nazývaný (n+1) -dimenzionální Skupina Lorentz, je Lež skupina z nemovitý (n+1)×(n+1) matice které zachovávají Minkowského bilineární formu. V jiném jazyce je to skupina lineárních izometrie z Minkowského prostor. Zejména tato skupina zachovává hyperboloid S. Připomeňme, že neurčité ortogonální skupiny mají čtyři připojené komponenty, což odpovídá obrácení nebo zachování orientace v každém podprostoru (zde jednorozměrné a n-dimenzionální) a tvoří a Kleinova čtyřčlenná skupina. Podskupina O (1,n), který zachovává znaménko první souřadnice, je ortochronní Lorentzova skupina, označeno O⁺(1,n) a má dvě složky, které odpovídají zachování nebo obrácení orientace prostorového podprostoru. Jeho podskupina SO⁺(1,n) sestávající z matic s určující jeden je spojená Lieova skupina dimenze n(n+1) / 2, na které působí S⁺ lineárními automatizmy a zachovává hyperbolickou vzdálenost. Tato akce je přechodná a stabilizátor vektoru (1,0, ..., 0) se skládá z matic formuláře

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 a 0 & ldots & 0 0 &&& vdots && A & 0 &&& end {pmatrix}}}$

Kde ${displaystyle A}$ patří do kompaktu speciální ortogonální skupina TAK(n) (zobecňující rotační skupina SO (3) pro n = 3). Z toho vyplývá, že n-dimenzionální hyperbolický prostor lze vystavit jako homogenní prostor a a Riemannovský symetrický prostor hodnosti 1,

${displaystyle mathbb {H} ^ {n} = mathrm {SO} ^ {+} (1, n) / mathrm {SO} (n).}$

Skupina SO⁺(1,n) je úplná skupina izometrií zachovávající orientaci n-dimenzionální hyperbolický prostor.

Přesněji řečeno, SO⁺(1,n) lze rozdělit na n(n-1) / 2 rotace (vytvořené pravidelným euklidovským rotační matice v pravém dolním bloku) a n hyperbolické překlady, které mají podobu

${displaystyle {egin {pmatrix} cosh alpha & sinh alpha & 0 & ldots sinh alpha & cosh alpha & 0 & ldots 0 & 0 & 1 & vdots & vdots && ddots end {pmatrix}}}$

kde ${displaystyle alpha}$ je přeložená vzdálenost (podél X osa v tomto případě) a druhý řádek / sloupec lze vyměnit za jinou dvojici, aby se změnil překlad podél jiné osy. Obecná forma překladu ve 3 rozměrech podél vektoru ${displaystyle (w, x, y, z)}$ je:

${displaystyle {egin {pmatrix} w & x & y & z x & {frac {x ^ {2}} {w + 1}} + 1 & {frac {yx} {w + 1}} & {frac {zx} {w + 1}} y & {frac {xy} {w + 1}} & {frac {y ^ {2}} {w + 1}} + 1 & {frac {zy} {w + 1}} z & {frac {xz} { w + 1}} & {frac {yz} {w + 1}} & {frac {z ^ {2}} {w + 1}} + 1 end {pmatrix}}}$ kde ${displaystyle w = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +1}}}$.

To se přirozeně rozšiřuje na více dimenzí a je to také zjednodušená verze a Lorentzova podpora když odstraníte termíny specifické pro relativitu.

Příklady skupin izometrií

Skupina všech izometrií hyperboloidního modelu je O⁺(1,n). Jakákoli skupina izometrií je její podskupinou.

Úvahy

Za dva body ${displaystyle mathbf {p}, mathbf {q} v mathbb {H} ^ {n}, mathbf {p} eq mathbf {q}}$, dochází k jejich jedinečné reflexi.

Nechat ${displaystyle mathbf {u} = {frac {mathbf {p} -mathbf {q}} {sqrt {-Q (mathbf {p} -mathbf {q})}}}}$.Všimněte si, že ${displaystyle Q (mathbf {u}) = - 1}$, a proto ${displaystyle uotin mathbb {H} ^ {n}}$.

Pak

${displaystyle mathbf {x} mapsto mathbf {x} + 2B (mathbf {x}, mathbf {u}) mathbf {u}}$

je odraz, který si vyměňuje ${displaystyle mathbf {p}}$ a ${displaystyle mathbf {q}}$.To je ekvivalentní následující matici:

${displaystyle R = I + 2mathbf {u} mathbf {u} ^ {operatorname {T}} {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -I end {pmatrix}}}$

(všimněte si použití bloková matice notace).

Pak ${displaystyle {I, R}}$ je skupina izometrií. Všechny tyto podskupiny jsou sdružené.

Rotace a odrazy

${displaystyle S = left {{egin {pmatrix} 1 & 0 0 & A end {pmatrix}}: Ain O (n) ight}}$

je skupina rotací a odrazů, které se zachovají ${displaystyle (1,0, tečky, 0)}$.Funkce ${displaystyle Amapsto {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & A end {pmatrix}}}$ je izomorfismus z Ó(n) do této skupiny ${displaystyle p}$, pokud ${displaystyle X}$ je izometrie, která mapuje ${displaystyle (1,0, tečky, 0)}$ na ${displaystyle p}$, pak ${displaystyle XSX ^ {- 1}}$ je skupina rotací a odrazů, které se zachovají ${displaystyle p}$.

Překlady

Pro jakékoli skutečné číslo ${displaystyle t}$, existuje překlad

${displaystyle L_ {t} = {egin {pmatrix} cosh t & sinh t & 0 sinh t & cosh t & 0 0 & 0 & I end {pmatrix}}}$

Toto je překlad vzdálenosti ${displaystyle t}$ v kladném směru x, pokud ${displaystyle tgeq 0}$ nebo vzdálenosti ${displaystyle -t}$ v záporném směru x, pokud ${displaystyle tleq 0}$Jakýkoli překlad vzdálenosti ${displaystyle t}$ je konjugován s ${displaystyle L_ {t}}$ a ${displaystyle L _ {- t}}$Sada ${displaystyle left {L_ {t}: tin mathbb {R} ight}}$ je skupina překladů procházejících osou x a skupina izometrií je k ní konjugovaná právě tehdy, pokud jde o skupinu izometrií procházejících přímkou.

Řekněme například, že chceme najít skupinu překladů po řádku ${displaystyle {overline {mathbf {p} mathbf {q}}}}$.Nechat ${displaystyle X}$ být izometrií, která mapuje ${displaystyle (1,0, tečky, 0)}$ na ${displaystyle p}$ a nechte ${displaystyle Y}$ být izometrií, která opravuje ${displaystyle p}$ a mapy ${displaystyle XL_ {d (mathbf {p}, mathbf {q})} [1,0, tečky, 0] ^ {operatorname {T}}}$ na ${displaystyle q}$Příklad takového ${displaystyle Y}$ je výměna odrazů ${displaystyle XL_ {d (mathbf {p}, mathbf {q})} [1,0, tečky, 0] ^ {operatorname {T}}}$ a ${displaystyle q}$ (za předpokladu, že jsou různé), protože jsou oba ve stejné vzdálenosti od ${displaystyle p}$.Pak ${displaystyle YX}$ je izometrické mapování ${displaystyle (1,0, tečky, 0)}$ na ${displaystyle p}$ a bod na kladné ose x do ${displaystyle q}$.${displaystyle (YX) L_ {t} (YX) ^ {- 1}}$ je překlad přes linku ${displaystyle {overline {mathbf {p} mathbf {q}}}}$ vzdálenosti ${displaystyle | t |}$.Li ${displaystyle tgeq 0}$, je v ${displaystyle {overrightarrow {mathbf {p} mathbf {q}}}}$ směr ${displaystyle tleq 0}$, je v ${displaystyle {overrightarrow {mathbf {q} mathbf {p}}}}$ směr.${displaystyle left {(YX) L_ {t} (YX) ^ {- 1}: tin mathbb {R} ight}}$ je skupina překladů do ${displaystyle {overline {mathbf {p} mathbf {q}}}}$.

Symetrie horosfér

Nechat H být nějaké horosféra takové, že body formuláře ${displaystyle (w, x, 0, tečky, 0)}$ jsou v něm libovolně velké X.Pro jakýkoli vektor b v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n-1}}$

${displaystyle {egin {pmatrix} 1+ {frac {| mathbf {b} | ^ {2}} {2}} & - {frac {| mathbf {b} | ^ {2}} {2}} & mathbf {b } ^ {operatorname {T}} {frac {| mathbf {b} | ^ {2}} {2}} & 1- {frac {| mathbf {b} | ^ {2}} {2}} & mathbf {b } ^ {operatorname {T}} mathbf {b} & -mathbf {b} & I end {pmatrix}}}$

je hororotace, která mapuje H Sada takových hororotací je skupina zachovávání hororotací HVšechny hororotace jsou navzájem konjugované.

Pro všechny ${displaystyle A}$ v O (n-1)

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & A end {pmatrix}}}$

je rotace nebo odraz, který zachovává H a osa x. Tyto hororotace, rotace a odrazy generují skupinu symetrií H.Symetrická skupina jakékoli horosféry je konjugovaná s ní. Jsou izomorfní s Euklidovská skupina E(n-1).

Dějiny

V několika novinách mezi lety 1878-1885 Wilhelm Killing ^[2][3][4] použil reprezentaci, kterou připisoval Karl Weierstrass pro Lobachevskian geometrie. Zejména diskutoval o kvadratických formách, jako je ${displaystyle k ^ {2} t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} = k ^ {2}}$ nebo v libovolných rozměrech ${displaystyle k ^ {2} x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + tečky + x_ {n} ^ {2} = k ^ {2}}$, kde ${displaystyle k}$ je vzájemná míra zakřivení, ${displaystyle k ^ {2} = infty}$ označuje Euklidovská geometrie, ${displaystyle k ^ {2}> 0}$ eliptická geometrie, a ${displaystyle k ^ {2} <0}$ hyperbolická geometrie.

Podle Jeremy Gray (1986),^[5] Poincaré použil hyperboloidní model ve svých osobních poznámkách v roce 1880. Poincaré publikoval své výsledky v roce 1881, ve kterých pojednával o invariantnosti kvadratické formy ${displaystyle xi ^ {2} + eta ^ {2} -zeta ^ {2} = - 1}$.^[6] Šedá ukazuje, kde je hyperboloidní model implicitní v pozdějším psaní Poincaré.^[7]

Taky Homersham Cox v roce 1882^[8][9] použité Weierstrassovy souřadnice (bez použití tohoto názvu) splňující vztah ${displaystyle z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ stejně jako ${displaystyle w ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$.

Další expozice modelu byla dána Alfred Clebsch a Ferdinand Lindemann v roce 1891 projednávání vztahu ${displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -4k ^ {2} x_ {3} ^ {2} = - 4k ^ {2}}$ a ${displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -4k ^ {2} x_ {4} ^ {2} = - 4k ^ {2}}$.^[10]

Weierstrassovy souřadnice použil také Gérard (1892),^[11] Felix Hausdorff (1899),^[12] Frederick S. Woods (1903)],^[13] Heinrich Liebmann (1905).^[14]

Hyperboloid byl prozkoumán jako metrický prostor podle Alexander Macfarlane v jeho Papíry ve vesmírné analýze (1894). Poznamenal, že body na hyperboloidu lze zapsat jako

${displaystyle cosh A + alpha sinh A,}$

kde α je bazický vektor kolmý k ose hyperboloidu. Například získal hyperbolický zákon kosinů pomocí jeho Algebra fyziky.^[1]

H. Jansen učinil z hyperboloidního modelu explicitní zaměření své práce z roku 1909 „Reprezentace hyperbolické geometrie na hyperboloidu se dvěma archy“.^[15] V roce 1993 W.F. Reynolds líčil některé z rané historie modelu ve svém článku v Americký matematický měsíčník.^[16]

Jelikož byl ve dvacátém století běžným modelem, byl identifikován s Geschwindigkeitsvectoren (vektory rychlosti) podle Hermann Minkowski ve své přednášce v Göttingenu z roku 1907 „Princip relativity“. Scott Walter ve svém příspěvku z roku 1999 „Neeuklidovský styl minkowské relativity“^[17] připomíná Minkowského vědomí, ale sleduje rodovou linii modelu Hermann Helmholtz spíše než Weierstrass a Killing.

V prvních letech relativity byl hyperboloidní model používán Vladimir Varićak vysvětlit fyziku rychlosti. Ve svém projevu k německé matematické unii v roce 1912 odkazoval na Weierstrassovy souřadnice.^[18]

Viz také

• Poincaré model disku
• Hyperbolické čtveřice

Poznámky a odkazy

• Alekseevskij, D.V .; Vinberg, E.B.; Solodovnikov, A.S. (1993), Geometrie prostorů konstantního zakřivení, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Hyperbolická geometrie, Springer Undergraduate Mathematics Series (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Základy hyperbolických variet, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94348-0, Kapitola 3
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometrie a topologie, Obrázek 3.10, s. 45, Cambridge University Press, ISBN  0-521-61325-6, PAN2194744.
• Ryan, Patrick J. (1986), Euklidovská a neeuklidovská geometrie: Analytický přístup, Cambridge, Londýn, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. „HYPERBOLICKÁ GEOMETRIE“ (PDF). Citováno 5. září 2020.