Naproti skupině - Opposite group

Tohle je přirozená transformace binární operace ze skupiny na její opak. ⟨G₁, G₂⟩ Označuje objednaný pár dvou prvků skupiny. * 'lze považovat za přirozeně indukovaný přídavek +.

v teorie skupin, pobočka matematika, an opačná skupina je způsob, jak postavit a skupina z jiné skupiny, která umožňuje definovat správná akce jako zvláštní případ levá akce.

Monoidy, skupiny, prsteny, a algebry lze zobrazit jako Kategorie s jediným objektem. Stavba opačná kategorie zobecňuje opačnou skupinu, protilehlý prsten, atd.

Definice

Nechat ${ displaystyle G}$ být skupinou v rámci operace ${ displaystyle *}$ . Opačná skupina ${ displaystyle G}$ , označeno ${ displaystyle G ^ { mathrm {op}}}$ , má stejnou základní sadu jako ${ displaystyle G}$ a jeho skupinová operace ${ displaystyle { mathbin { ast '}}}$ je definováno ${ displaystyle g_ {1} { mathbin { ast '}} g_ {2} = g_ {2} * g_ {1}}$ .

Li ${ displaystyle G}$ je abelian, pak se rovná jeho opačné skupině. Také každá skupina ${ displaystyle G}$ (ne nutně abelian) je přirozeně izomorfní na opačnou skupinu: izomorfismus ${ displaystyle varphi: G až G ^ { mathrm {op}}}$ darováno ${ displaystyle varphi (x) = x ^ {- 1}}$ . Obecněji libovolné antiautomorfismus ${ displaystyle psi: G až G}$ vede k odpovídajícímu izomorfismu ${ displaystyle psi ': G až G ^ { mathrm {op}}}$ přes ${ displaystyle psi '(g) = psi (g)}$ , od té doby

{ displaystyle psi '(g * h) = psi (g * h) = psi (h) * psi (g) = psi (g) { mathbin { ast'}} psi (h ) = psi '(g) { mathbin { ast'}} psi '(h).}

Skupinová akce

Nechat ${ displaystyle X}$ být objektem v nějaké kategorii a ${ displaystyle rho: G to mathrm {Aut} (X)}$ být správná akce. Pak ${ displaystyle rho ^ { mathrm {op}}: G ^ { mathrm {op}} to mathrm {Aut} (X)}$ je levá akce definovaná ${ displaystyle rho ^ { mathrm {op}} (g) x = x rho (g)}$ nebo ${ displaystyle g ^ { mathrm {op}} x = xg}$ .

Viz také

externí odkazy

http://planetmath.org/oppositegroup