Hurewiczova věta - Hurewicz theorem
v matematika, Hurewiczova věta je základním výsledkem algebraická topologie, připojování teorie homotopy s teorie homologie prostřednictvím mapy známé jako Hurewiczův homomorfismus. Věta je pojmenována po Witold Hurewicz a zevšeobecňuje dřívější výsledky Henri Poincaré.
Prohlášení o větách
Hurewiczovy věty jsou klíčovým pojítkem mezi nimi homotopické skupiny a homologické skupiny.
Absolutní verze
Pro všechny spojeno s cestou prostor X a kladné celé číslo n existuje a skupinový homomorfismus
volal Hurewiczův homomorfismus, od n-th homotopická skupina do n-th homologická skupina (s celočíselnými koeficienty). Udává se následujícím způsobem: vyberte kanonický generátor , pak homotopická třída map je převezen do .
Pro tento homomorfismus vyvolává izomorfismus
mezi abelianizace první skupiny homotopy ( základní skupina ) a první homologická skupina.
Li a X je -připojeno, mapa Hurewicz je izomorfismus. Kromě toho mapa Hurewicz je epimorfismus v tomto případě.[1]
Relativní verze
Pro všechny dvojice mezer a celé číslo existuje homomorfismus
z relativních skupin homotopy na skupiny relativní homologie. Relativní Hurewiczova věta uvádí, že pokud obojí a jsou připojeny a pár je -připojeno pro a se získává z vyřazením akce . To dokazuje například Whitehead (1978) indukcí, což dokazuje absolutní verzi a doplněk Homotopy Lemma.
Tato relativní Hurewiczova věta je přeformulována Brown & Higgins (1981) jako prohlášení o morfismu
kde označuje kužel z . Toto prohlášení je zvláštním případem a homotopická věta o excizi, zahrnující indukované moduly pro (zkřížené moduly, pokud ), což je samo o sobě odvozeno z vyšší homotopy van Kampenova věta pro relativní homotopické skupiny, jejichž důkaz vyžaduje vývoj technik kubické vyšší homotopické grupoidy filtrovaného prostoru.
Triadická verze
Pro jakoukoli trojici prostorů (tj. mezera X a podprostory A, B) a celé číslo existuje homomorfismus
od skupin homotopy triády po skupiny homologie triády. Všimněte si, že
Triadická Hurewiczova věta uvádí, že pokud X, A, B, a jsou spojeny, páry a jsou -připojeno a -připojeno a trojice je - tedy připojeno pro a se získává z vyčleněním akce a zobecněné produkty Whitehead. Důkaz této věty používá větu o vyšší homotopii typu van Kampen pro triadické homotopické skupiny, což vyžaduje pojem základní -skupina n-krychle mezer.
Zjednodušená verze sady
Hurewiczova věta pro topologické prostory může být také uvedena pro n-připojeno jednoduché sady splňující podmínku Kan.[2]
Racionální Hurewiczova věta
Racionální Hurewiczova věta:[3][4] Nechat X být jednoduše propojeným topologickým prostorem s pro . Pak mapa Hurewicz
vyvolává izomorfismus pro a surjection pro .
Poznámky
- ^ Hatcher, Allen (2001), Algebraická topologie, Cambridge University Press, str. 390, ISBN 978-0-521-79160-1
- ^ Goerss, Paul G .; Jardine, John Frederick (1999), Teorie zjednodušené homotopyPokrok v matematice, 174, Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, III.3.6, 3.7
- ^ Klaus, Stephan; Kreck, Matthias (2004), „Rychlý důkaz racionální Hurewiczovy věty a výpočet racionálních homotopických skupin sfér“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 136 (3): 617–623, doi:10.1017 / s0305004103007114
- ^ Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1952), „Espaces fibrés et groupes d'homotopie, II, Applications“, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 2 (34): 393–395
Reference
- Brown, Ronald (1989), „Triadic Van Kampenovy věty a Hurewiczovy věty“, Algebraická topologie (Evanston, IL, 1988), Současná matematika, 96„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 39–57, doi:10.1090 / conm / 096/1022673, ISBN 9780821851029, PAN 1022673
- Brown, Ronald; Higgins, P. J. (1981), „Colimitovy věty pro relativní homotopické skupiny“, Journal of Pure and Applied Algebra, 22: 11–41, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN 0022-4049
- Brown, R .; Loday, J.-L. (1987), „Homotopická excize a Hurewiczovy věty pro n-kostky prostorů“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 54: 176–192, CiteSeerX 10.1.1.168.1325, doi:10.1112 / plms / s3-54.1.176, ISSN 0024-6115
- Brown, R .; Loday, J.-L. (1987), „Van Kampenovy věty pro diagramy prostorů“, Topologie, 26 (3): 311–334, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN 0040-9383
- Rotman, Joseph J. (1988), Úvod do algebraické topologie, Postgraduální texty z matematiky, 119, Springer-Verlag (zveřejněno 1998-07-22), ISBN 978-0-387-96678-6
- Whitehead, George W. (1978), Prvky teorie homotopy, Postgraduální texty z matematiky, 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1