Adjunkt Tensor-hom - Tensor-hom adjunction

v matematika, přídavek tensor-hom je to tenzorový produkt ${displaystyle -otimes X}$ a hom funktor ${displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ pro muže adjunkční pár:

${displaystyle operatorname {Hom} (Yotimes X, Z) cong operatorname {Hom} (Y, operatorname {Hom} (X, Z)).}$

Toto je zpřesněno níže. Pořadí výrazů ve frázi „adjunkt tensor-hom“ odráží jejich vztah: tenzor je levý adjoint, zatímco hom je pravý adjoint.

Obecné prohlášení

Říci R a S jsou (možná nekomutativní) prsteny a považujte za správné modul kategorie (obdobný příkaz platí pro levé moduly):

${displaystyle {mathcal {C}} = mathrm {Mod} _ {S} quad {ext {and}} quad {mathcal {D}} = mathrm {Mod} _ {R}.}$

Opravit (R,S) -bimodul X a definovat funktory F: D → C a G: C → D jak následuje:

${displaystyle F (Y) = Yotimes _ {R} Xquad {ext {for}} Yin {mathcal {D}}}$

${displaystyle G (Z) = operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) quad {ext {for}} Zin {mathcal {C}}}$

Pak F je vlevo adjoint na G. To znamená, že existuje přirozený izomorfismus

${displaystyle operatorname {Hom} _ {S} (Yotimes _ {R} X, Z) cong operatorname {Hom} _ {R} (Y, operatorname {Hom} _ {S} (X, Z)).}$

Toto je vlastně izomorfismus abelianské skupiny. Přesněji řečeno, pokud Y je (A, R) bimodul a Z je (B, S) bimodule, pak se jedná o izomorfismus (B, A) bimoduly. Toto je jeden z motivujících příkladů uzavřené struktury dvoukategorie.^[1]

Counit a jednotka

Stejně jako všechna adjunkce lze i tenzor-hom adjunkci popsat jejím počtem a jednotkou přirozené transformace. Pomocí zápisu z předchozí části se počítá

${displaystyle varepsilon: FG o 1_ {mathcal {C}}}$

má komponenty

${displaystyle varepsilon _ {Z}: operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) často _ {R} X o Z}$

dané hodnocením: Pro

${displaystyle phi in operatorname {Hom} _ {R} (X, Z) quad {ext {and}} quad xin X,}$

${displaystyle varepsilon (phi otimes x) = phi (x).}$

The komponenty jednotky

${displaystyle eta: 1_ {mathcal {D}} o GF}$

${displaystyle eta _ {Y}: Y o operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)}$

jsou definovány takto: Pro y v Y,

${displaystyle eta _ {Y} (y) v operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)}$

je právo S- homomorfismus modulů daný

${displaystyle eta _ {Y} (y) (t) = yotimes tquad {ext {for}} plechovka X.}$

The počet a jednotkové rovnice nyní lze výslovně ověřit. Pro Y v C,

${displaystyle varepsilon _ {FY} circ F (eta _ {Y}): Yotimes _ {R} X o operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X) otimes _ {R} X o Yotimes _ {R} X}$

je uveden na jednoduché tenzory z Y⊗X podle

${displaystyle varepsilon _ {FY} circ F (eta _ {Y}) (yotimes x) = eta _ {Y} (y) (x) = yotimes x.}$

Rovněž,

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ}: operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) o operatorname {Hom} _ {S} (X, operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) často _ {R} X) o operatorname {Hom} _ {S} (X, Z).}$

Pro φ v Hom_S(X, Z),

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi)}$

je právo S- homomorfismus modulů definovaný

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi) (x) = varepsilon _ {Z} (phi otimes x) = phi (x)}$

a proto

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi) = phi.}$

Funktory Ext a Tor

The Hom funktor ${displaystyle hom (X, -)}$ dojíždí s libovolnými limity, zatímco tenzorový produkt ${displaystyle -otimes X}$ funktor dojíždí s libovolnými kolimity, které existují v jejich doménové kategorii. Obecně však ${displaystyle hom (X, -)}$ nedokáže dojíždět s colimity a ${displaystyle -otimes X}$ nedojíždí s omezeními; k této chybě dochází i mezi konečnými limity nebo kolimity. Toto selhání uchování krátké přesné sekvence motivuje k definici Ext funktor a Tor funktor.

Viz také

• Kari
• Ext funktor
• Tor funktor

Reference

• Bourbaki, Nicolasi (1989), Základy matematiky, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9