Dýka symetrická monoidní kategorie - Dagger symmetric monoidal category - Wikipedia

V matematické oblasti teorie kategorií, a dýka symetrická monoidní kategorie je monoidní kategorie ${ displaystyle langle mathbf {C}, mnohokrát, já rangle}$ který také vlastní a struktura dýky. To znamená, že tato kategorie je vybavena nejen a tenzorový produkt v teoretická kategorie smysl, ale také s struktura dýky, který se používá k popisu unitární morfismy a sebe-adjunktní morfismy v ${ displaystyle mathbf {C}}$: abstraktní analogy těch, které se nacházejí v FdHilb, kategorie konečně-dimenzionálních Hilbertových prostorů. Tento typ kategorie představil Peter Selinger^[1] jako prostřední struktura mezi kategorie dýky a dýka kompaktní kategorie které se používají v kategorická kvantová mechanika, oblast, která nyní při práci s nekonečně-dimenzionálními také zvažuje dýkové symetrické monoidní kategorie kvantově mechanické koncepty.

Formální definice

A dýka symetrická monoidní kategorie je symetrická monoidní kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ který má také struktura dýky takové, že pro všechny ${ displaystyle f: A rightarrow B}$, ${ displaystyle g: C rightarrow D}$ a všechno ${ displaystyle A, B, C}$ a ${ displaystyle D}$ v ${ displaystyle Ob ( mathbf {C})}$,

• ${ displaystyle (f otimes g) ^ { dagger} = f ^ { dagger} otimes g ^ { dagger}: B otimes D rightarrow A otimes C}$;
• ${ displaystyle alpha _ {A, B, C} ^ { dagger} = alpha _ {A, B, C} ^ {- 1}: A otimes (B otimes C) rightarrow (A otimes B) častokrát C}$;
• ${ displaystyle rho _ {A} ^ { dagger} = rho _ {A} ^ {- 1}: A rightarrow A otimes I}$;
• ${ displaystyle lambda _ {A} ^ { dagger} = lambda _ {A} ^ {- 1}: A rightarrow I otimes A}$ a
• ${ displaystyle sigma _ {A, B} ^ { dagger} = sigma _ {A, B} ^ {- 1}: B otimes A rightarrow A otimes B}$.

Tady, ${ displaystyle alpha, lambda, rho}$ a ${ displaystyle sigma}$ jsou přirozené izomorfismy které tvoří symetrická monoidní struktura.

Příklady

Následující Kategorie jsou příklady dýkových symetrických monoidních kategorií:

• The kategorie Rel z množiny a vztahy kde je tenzor dán produkt a kde je dýka vztahu dána jeho relační konverzací.
• The kategorie FdHilb z konečně-dimenzionální Hilbertovy prostory je dýka symetrická monoidní kategorie, kde tenzor je obvyklý tenzorový produkt Hilbertovy prostory a kde dýka a lineární mapa je dána jeho Hermitian adjoint.

Dýka symetrická monoidní kategorie, která také je kompaktní uzavřen je dýka kompaktní kategorie; oba výše uvedené příklady jsou ve skutečnosti dýka kompaktní.

Viz také

• Silně stužková kategorie

Reference