Dýka kompaktní kategorie - Dagger compact category
Tento článek je hlavní část nemusí adekvátně shrnout jeho obsah.Leden 2016) ( |
v teorie kategorií, pobočka matematika, dýka kompaktní kategorie (nebo dýka kompaktní uzavřené kategorie) se poprvé objevil v roce 1989 v díle Sergio Doplicher a John E. Roberts o rekonstrukci kompaktní topologické skupiny z jejich kategorie konečných trojrozměrných spojitých jednotných reprezentací (tj. Tannakian kategorie ).[1] Objevili se také v díle John Baez a James Dolan jako příklad semistriktu k-tuply monoidální n-Kategorie, které popisují obecně topologické kvantové teorie pole,[2] pro n = 1 a k = 3. Jsou základní strukturou v Samson Abramsky a Bob Coecke je kategorická kvantová mechanika.[3][4][5]
Přehled
Kompaktní kategorie dýky lze použít k vyjádření a ověření některých zásadních kvantová informace protokoly, jmenovitě: teleportace, teleportace logické brány a výměna zapletení a standardní pojmy jako unitarita, vnitřní produkt, stopa, Choi-Jamiolkowsky dualita, úplná pozitivita, Bell uvádí a mnoho dalších pojmů je zachyceno jazykem kompaktních kategorií dýky.[3] To vše vyplývá z věty o úplnosti níže. Kategorická kvantová mechanika bere dýka kompaktní kategorie jako strukturu pozadí, ve vztahu ke které lze abstraktně definovat další kvantově mechanické pojmy, jako jsou kvantové pozorovatelnosti a jejich komplementarita. To tvoří základ pro přístup na vysoké úrovni kvantová informace zpracovává se.
Formální definice
A dýka kompaktní kategorie je dýka symetrická monoidní kategorie což je také kompaktní uzavřen, spolu se vztahem k propojení struktury dýky s kompaktní strukturou. Konkrétně se dýka používá k připojení jednotky k počtu, takže pro všechny v , dojíždí následující diagram:
Shrnutí všech těchto bodů:
- Kategorie je Zavřeno pokud má vnitřní hom funktor; to znamená, že pokud domovská sada morfismů mezi dvěma objekty kategorie je objektem samotné kategorie (spíše než Soubor).
- Kategorie je monoidální pokud je vybaven asociativním bifunktor to je asociativní, přírodní a má levou a pravou identitu, která dodržuje určité zásady podmínky soudržnosti.
- Monoidní kategorie je symetrický monoidal, pokud, pro každý pár A, B předmětů v C, existuje izomorfismus to je přírodní v obou A a B, a opět se řídí určitými podmínkami soudržnosti (viz symetrická monoidní kategorie pro detaily).
- Monoidní kategorie je kompaktní uzavřen, pokud každý objekt má dvojitý objekt . Kategorie s duálními objekty jsou vybaveny dvěma morfismy, jednotka a počet , které uspokojují určitou soudržnost nebo podmínky trhání.
- Kategorie je a kategorie dýky pokud je vybaven involutivní funktor to je identita na objektech, ale mapuje morfismy na jejich sousední.
- Monoidní kategorie je dýka symetrická pokud jde o kategorii dýky a je symetrická a má podmínky soudržnosti, díky nimž jsou různé funktory přirozené.
Dýka kompaktní kategorie je pak kategorie, která je každá z výše uvedených, a navíc má podmínku vztahovat strukturu dýky ke kompaktní struktuře. To se provádí vztahem jednotky k počtu pomocí dýky:
zobrazené ve schématu dojíždění výše. V kategorii FdHilb konečně-rozměrných Hilbertových prostorů lze tuto poslední podmínku chápat tak, že definuje dýku (hermitovský konjugát) jako transpozici komplexního konjugátu.
Příklady
Následující kategorie jsou dýkové kompaktní.
- Kategorie FdHilb z konečné Hilbertovy prostory a lineární mapy. Morfismy jsou lineární operátory mezi Hilbertovými prostory. Produkt je obvyklý tenzorový produkt a dýkou zde je Hermitianský konjugát.
- Kategorie Rel z Sady a vztahy. Produktem je samozřejmě kartézský součin. Dýka je jen naproti.
- Kategorie definitivně generováno projektivní moduly přes komutativní prsten. Dýka je jen maticová transpozice.
- Kategorie nCob z cobordismů. Zde jsou n-dimenzionální cobordismy morfismy, disjunktní unie je tenzor a obrácení objektů (uzavřené potrubí) je dýka. A topologická kvantová teorie pole lze definovat jako a funktor z nCob do FdHilb.[6]
- Kategorie Rozpětí(C) z rozpětí pro jakoukoli kategorii C s konečné limity.
Nekonečně dimenzionální Hilbertovy prostory nejsou dýka kompaktní a jsou popsány dýka symetrické monoidní kategorie.
Strukturní věty
Selinger ukázal, že dýkové kompaktní kategorie připouštějí schematický jazyk ve stylu Joyal-Street[7] a dokázal, že dýka kompaktní kategorie jsou kompletní s ohledem na konečné dimenzionální Hilbertovy prostory[8][9] tj. rovníkový výrok v jazyce kompaktních kategorií dýky platí tehdy a jen tehdy, pokud jej lze odvodit v konkrétní kategorii konečných dimenzionálních Hilbertových prostorů a lineárních map. Neexistuje obdobná úplnost Rel nebo nCob.
Z tohoto výsledku úplnosti vyplývá, že do této kategorie sahají různé věty z Hilbertových prostorů. Například věta o klonování znamená, že neexistuje univerzální klonovací morfismus.[10] Úplnost také implikuje mnohem světské rysy: dýka kompaktním kategoriím může být dána základna stejným způsobem, jakým může mít základ Hilbertův prostor. Operátory lze rozložit na základě; operátoři mohou mít vlastní vektory, atd.. Toto je přezkoumáno v další části.
Základ
Věta o úplnosti znamená, že základní pojmy z Hilbertových prostorů se přenesou do jakékoli kategorie kompaktních dýek. Typický použitý jazyk se však mění. Pojem a základ je uveden v pojmech a uhlígebra. Vzhledem k objektu A z kategorie dýka kompaktní základ je a komonoidní objekt . Tyto dvě operace jsou a kopírování nebo komplikace δ: A → A ⊗ A morfismus, který je společný a koassociativní, a mazání provoz nebo počítat morfismus ε: A → Já . Společně se řídí pěti axiomy:[11]
Komultivnost:
Coassociativita:
Společná kompatibilita:
Izometrie:
Chcete-li vidět, že tyto vztahy definují základ vektorového prostoru v tradičním smyslu, napište komultiplikaci a počítejte pomocí braketová notace a pochopení, že se nyní jedná o lineární operátory působící na vektory v Hilbertově prostoru H:
a
Jediné vektory které mohou uspokojit výše uvedených pět axiomů, musí být vzájemně kolmé; počet pak jednoznačně určuje základ. Názvoslovná jména kopírování a mazání pro operátory comultiplication a count vycházejí z myšlenky, že věta o klonování a věta bez odstranění uveďte, že pouze vektory, které je možné kopírovat nebo mazat, jsou vektory ortogonální báze.
Obecné výsledky
Vzhledem k výše uvedené definici základny lze pro kategorie kompaktních dýek uvést řadu výsledků pro Hilbertovy prostory. Níže uvádíme některé z nich, převzaté z[11] pokud není uvedeno jinak.
- Rozumí se také, že základ odpovídá pozorovatelný, v tom, že dané pozorovatelné faktory na (ortogonálních) základních vektorech. To znamená, že pozorovatelný je reprezentován objektem A společně se dvěma morfismy, které definují základ: .
- An vlastní stát pozorovatelného je jakýkoli objekt pro který
- Vlastní čísla jsou vzájemně kolmá.[je zapotřebí objasnění ]
- Objekt je komplementární pozorovatelné -li[je zapotřebí objasnění ]
- (V kvantové mechanice vektor stavu se říká, že je komplementární k pozorovatelnému, pokud je jakýkoli výsledek měření rovnocenný. viz. vlastní rotace z SX je ekvipravitelný při měření v základu Sz, nebo vlastní hybnost je ekvipravitelná při měření na základě polohy.)
- Dvě pozorovatelny a se doplňují, pokud
- Generují se doplňkové objekty unitární transformace. To znamená,
- je jednotný právě tehdy je doplňkem pozorovatelného
Reference
- ^ S. Doplicher a J. Roberts, Nová teorie duality pro kompaktní skupiny, Vynález. Matematika. 98 (1989) 157-218.
- ^ J. C. Baez a J. Dolan, Vyšší dimenzionální algebra a topologická teorie kvantového pole J.Math.Phys. 36 (1995) 6073-6105
- ^ A b Samson Abramsky a Bob Coecke, Kategorická sémantika kvantových protokolů, Sborník 19. konference IEEE o logice v informatice (LiCS'04). IEEE Computer Science Press (2004).
- ^ S. Abramsky a B. Coecke, Kategorická kvantová mechanika ". In: Příručka kvantové logiky a kvantových struktur, K. Engesser, D. M. Gabbay a D. Lehmann (eds), strany 261–323. Elsevier (2009).
- ^ Abramsky a Coecke používali výraz silně kompaktní uzavřené kategorie, protože kategorie dýka je kompaktní kompaktní uzavřená kategorie rozšířen o kovariantní involutivní monoidní endofunktor.
- ^ M. Atiyah, „Topologické kvantové teorie pole“. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Matematika. 68 (1989), str. 175–186.
- ^ P. Selinger, Dýka kompaktní uzavřené kategorie a zcela pozitivní mapy, Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages, Chicago, 30. června - 1. července (2005).
- ^ P. Selinger, Konečně dimenzionální Hilbertovy prostory jsou kompletní pro dýkové kompaktní uzavřené kategorie, Proceedings of the 5th International Workshop on Quantum Programming Languages, Reykjavik (2008).
- ^ M. Hasegawa, M. Hofmann a G. Plotkin, „Konečné dimenzionální vektorové prostory jsou úplné pro sledované symetrické monoidní kategorie“, LNCS 4800, (2008), s. 367–385.
- ^ S. Abramsky, „Ne-klonování v kategorické kvantové mechanice“, (2008) Sémantické techniky pro kvantový výpočet„I. Mackie a S. Gay (eds), Cambridge University Press
- ^ A b Bob Coecke, „Quantum Picturalism“, (2009) Současná fyzika sv 51, str. 59-83. (ArXiv 0908.1787 )