Uzavřená monoidní kategorie - Closed monoidal category - Wikipedia

v matematika, speciálně v teorie kategorií, a uzavřená monoidní kategorie (nebo a monoidní uzavřená kategorie) je kategorie to je obojí monoidní kategorie a a uzavřená kategorie takovým způsobem, aby byly struktury kompatibilní.

Klasickým příkladem je kategorie sad, Soubor, kde monoidální součin souprav ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ je obvyklé kartézský součin ${ displaystyle A krát B}$a interní Hom ${ displaystyle B ^ {A}}$ je sada funkce z ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle B}$. Ne-kartézský příkladem je kategorie vektorových prostorů, K.-Vect, přes pole ${ displaystyle K}$. Zde je monoidní produkt obvyklý tenzorový produkt z vektorové prostory a vnitřní Hom je vektorový prostor lineární mapy z jednoho vektorového prostoru do druhého.

The interní jazyk uzavřených symetrických monoidních kategorií je lineární logika a typový systém je lineární systém. Mnoho příkladů uzavřených monoidních kategorií je symetrický. To však nemusí vždy platit, protože s nesymetrickými monoidními kategoriemi se lze setkat v teoreticko-teoretických formulacích lingvistika; zhruba řečeno, je to proto, že záleží na slovosledu v přirozeném jazyce.

Definice

A uzavřená monoidní kategorie je monoidní kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ tak, že pro každý objekt ${ displaystyle B}$ the funktor dáno správným tenzorováním s ${ displaystyle B}$

${ displaystyle A mapsto A otimes B}$

má pravý adjoint, psaný

${ displaystyle A mapsto (B Rightarrow A).}$

To znamená, že existuje bijekce, zvaná „kari ', mezi Hom-sady

${ displaystyle { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A otimes B, C) cong { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A, B Rightarrow C )}$

to je v obou přirozené A a C. Jiným, ale běžným zápisem by se dalo říci, že funktor

${ displaystyle - otimes B: { mathcal {C}} do { mathcal {C}}}$

má správné adjoint

${ displaystyle [B, -]: { mathcal {C}} do { mathcal {C}}}$

Ekvivalentně uzavřená kategorie monoidů ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je kategorie vybavená pro každé dva objekty A a B, s

• objekt ${ displaystyle A Rightarrow B}$,
• morfismus ${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, B} :( A Rightarrow B) otimes A to B}$,

uspokojující následující univerzální vlastnictví: pro každý morfismus

${ displaystyle f: X mnohokrát A až B}$

existuje jedinečný morfismus

${ displaystyle h: X na A Rightarrow B}$

takhle

${ displaystyle f = mathrm {eval} _ {A, B} circ (h otimes mathrm {id} _ {A}).}$

Je možné ukázat, že tato konstrukce definuje funktor ${ displaystyle Rightarrow: { mathcal {C}} ^ {op} times { mathcal {C}} do { mathcal {C}}}$. Tento funktor se nazývá vnitřní Hom funktor a objekt ${ displaystyle A Rightarrow B}$ se nazývá interní Hom z ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$. Mnoho dalších notací se běžně používá pro interní Hom. Když je tenzorový produkt zapnutý ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je kartézský součin, obvyklá notace je ${ displaystyle B ^ {A}}$ a tento objekt se nazývá exponenciální objekt.

Biclosed a symetrické kategorie

Přísně vzato jsme definovali a vpravo zavřeno monoidní kategorie, protože jsme to požadovali že jo tenzorování s jakýmkoli objektem ${ displaystyle A}$ má správné adjoint. V vlevo zavřeno monoidální kategorie, místo toho požadujeme, aby funktor levého tenzorování s jakýmkoli objektem ${ displaystyle A}$

${ displaystyle B mapsto A otimes B}$

mít správné adjoint

${ displaystyle B mapsto (B Leftarrow A)}$

A biclosed monoidal category is a monoidal category that is both left and right closed.

A symetrická monoidní kategorie je ponecháno zavřené právě tehdy, pokud je zavřeno správně. Můžeme tedy bezpečně hovořit o „symetrické monoidní uzavřené kategorii“, aniž bychom specifikovali, zda je uzavřená vlevo nebo vpravo. Totéž platí obecněji pro pletené monoidní kategorie: protože pletení dělá ${ displaystyle A otimes B}$ přirozeně izomorfní ${ displaystyle B krát A}$, rozdíl mezi tenzorováním nalevo a tenzorováním napravo se stává nehmotným, takže každá pravá uzavřená splétaná monoidní kategorie se kanonicky uzavře vlevo a naopak.

Uzavřené monoidní kategorie jsme popsali jako monoidní kategorie s extra vlastností. Dá se ekvivalentně definovat uzavřená monoidní kategorie jako uzavřená kategorie s extra vlastností. Konkrétně můžeme požadovat existenci a tenzorový produkt to je vlevo adjoint do vnitřní Hom funktor V tomto přístupu se také nazývají uzavřené monoidní kategorie monoidní uzavřené kategorie.

Příklady

• Každý kartézská uzavřená kategorie je symetrická, monoidní uzavřená kategorie, kdy monoidní struktura je kartézská produktová struktura. Vnitřní funktor Hom je dán exponenciální objekt ${ displaystyle B ^ {A}}$.
  • Zejména kategorie sad, Soubor, je symetrická, uzavřená monoidní kategorie. Zde je vnitřní Hom ${ displaystyle A Rightarrow B}$ je jen sada funkcí od ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle B}$.
• The kategorie modulů, R-Mod přes komutativní prsten R je nekartézská, symetrická, monoidní uzavřená kategorie. Monoidální produkt je dán vztahem tenzorový produkt modulů a vnitřní Hom ${ displaystyle M Rightarrow N}$ je dán prostorem R-lineární mapy ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$ s jeho přirozeným R- struktura modulu.
  • Zejména kategorie vektorových prostorů nad polem ${ displaystyle K}$ je symetrická uzavřená monoidní kategorie.
  • Abelianské skupiny lze považovat za Z- moduly, takže kategorie abelianských skupin je také symetrická, uzavřená monoidní kategorie.
• A kompaktní uzavřená kategorie je symetrická, monoidní uzavřená kategorie, ve které je vnitřní funktor Hom ${ displaystyle A Rightarrow B}$ darováno ${ displaystyle A ^ {*} otimes B}$. Kanonickým příkladem je kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů, FdVect.

Protiklady

• The kategorie prstenů je symetrická, monoidní kategorie v rámci tenzorový produkt prstenů, s ${ displaystyle mathbb {Z}}$ sloužící jako jednotkový objekt. Tato kategorie je ne Zavřeno. Pokud by tomu tak bylo, byl by mezi každým párem prstenů přesně jeden homomorfismus: ${ displaystyle operatorname {Hom} (R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z} otimes R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z}, R Rightarrow S ) cong { odrážka }}$. Totéž platí pro kategorii R-algebry přes komutativní prsten R.

Viz také

• Isbellův čas

Reference

• Kelly, G.M. „Základní pojmy teorie obohacené kategorie“, London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
• Paul-André Melliès, "Kategorická sémantika lineární logiky" Panoramas et Synthèses 27, Société Mathématique de France, 2009
• Uzavřená monoidní kategorie v nLab