Tuhá kategorie - Rigid category
v teorie kategorií, pobočka matematika, a rigidní kategorie je monoidní kategorie kde každý objekt je tuhý, to znamená, že má dvojí X* (dále jen interní Hom [X, 1]) a a morfismus 1 → X ⊗ X* uspokojující přírodní podmínky. Kategorie se nazývá pravá tuhá nebo levá tuhá podle toho, zda má pravý duální nebo levý duální. Nejprve byly definovány (následující Alexandre Grothendieck ) Neantro Saavedra-Rivano ve své práci o Tannakian kategorie.[1]
Definice
Existují alespoň dvě rovnocenné definice tuhosti.
- Objekt X monoidní kategorie se nazývá vlevo rigidní, pokud existuje objekt Y a morfismy a takové, že obě skladby
jsou identity. Pravý tuhý objekt je definován podobně.
Inverzní je objekt X−1 takové, že oba X ⊗ X−1 a X−1 ⊗ X jsou izomorfní 1, jeden objekt monoidní kategorie. Pokud objekt X má levou (resp. pravou) inverzní funkci X−1 pokud jde o tenzorový produkt, pak je levý (resp. pravý) tuhý a X* = X−1.
Operace přijímání dualů dává kontravariantní funktor v přísné kategorii.
Použití
Jednou z důležitých aplikací tuhosti je definice stopy endomorfismu tuhého objektu. Trasu lze definovat pro jakoukoli rigidní kategorii, která vezme ( )**, funktor převzetí dvojího opakování, je izomorfní s funktorem identity, tj. stěžejní kategorie. Pak pro jakýkoli pravý tuhý předmět Xa jakýkoli jiný objekt Y, můžeme definovat izomorfismus
a jeho vzájemný izomorfismus
.
Pak pro jakýkoli endomorfismus , stopa je z F je definována jako složení:
Můžeme pokračovat dále a definovat rozměr tuhého objektu, který má být:
.
Tuhost je také důležitá kvůli svému vztahu k vnitřním Homovým. Li X je levý tuhý objekt, pak každý vnitřní Hom formy [X, Z] existuje a je izomorfní s Z ⊗ Y. Zejména v rigidní kategorii existují všechny vnitřní Homy.
Alternativní terminologie
Monoidální kategorie, kde má každý objekt levý (resp. Pravý) dvojník, se také někdy nazývá a vlevo, odjet (resp. správně) autonomní kategorie. Monoidální kategorie, kde má každý objekt levý i pravý dvojník, se někdy nazývá an autonomní kategorie. Autonomní kategorie, která je také symetrický se nazývá a kompaktní uzavřená kategorie.
Diskuse
A monoidní kategorie je kategorie s tenzorovým produktem, přesně ta kategorie, pro kterou má tuhost smysl.
- Kategorie čisté motivy vzniká utužováním kategorie efektivních čistých motivů.
Poznámky
- ^ N. Saavedra Rivano, Kategorie TannakiennesSpringer LNM 265, 1972
Reference
- Davydov, A. A. (1998). "Monoidní kategorie a funktory". Journal of Mathematical Sciences. 88 (4): 458–472. doi:10.1007 / BF02365309.
- Tuhá monoidní kategorie v nLab