Podmínka koherence - Coherence condition
Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
v matematika a zejména teorie kategorií, a podmínka soudržnosti je soubor podmínek vyžadujících různé složení elementárních morfismy jsou rovny. Elementární morfismy jsou obvykle součástí údajů kategorie. Věta o soudržnosti uvádí, že aby bylo zajištěno, že všechny tyto rovnosti platí, stačí zkontrolovat malý počet identit.
Názorný příklad: monoidní kategorie
Část údajů a monoidní kategorie je zvolený morfismus, volal spolupracovník:
pro každou trojici předměty v kategorii. Pomocí jejich složení , lze vytvořit morfismus
Ve skutečnosti existuje mnoho způsobů, jak konstruovat takový morfismus jako skladbu různých . Jednou z podmínek koherence, která se obvykle ukládá, je to, že všechny tyto kompozice jsou stejné.
Typicky jeden prokáže koherenční stav pomocí a věta o koherenci, v němž se uvádí, že je třeba zkontrolovat pouze několik shodností skladeb, aby bylo prokázáno, že i ostatní platí. Ve výše uvedeném příkladu je třeba pouze zkontrolovat, zda pro všechny čtyřnásobné objekty , dojíždí následující diagram.
Jakákoli dvojice morfismů z na konstruovány jako skladby různých jsou rovny.
Další příklady
Níže jsou uvedeny dva jednoduché příklady, které ilustrují definici. Oba jsou přímo z definice kategorie.
Identita
Nechat F : A → B být morfismem kategorie obsahující dva objekty A a B. S těmito objekty jsou spojeny morfizmy identity 1A : A → A a 1B : B → B. Jejich složením s F, vytvoříme dva morfismy:
- F Ó 1A : A → B, a
- 1B Ó F : A → B.
Oba jsou morfismy mezi stejnými objekty jako F. Proto máme následující prohlášení o soudržnosti:
- F Ó 1A = F = 1B Ó F.
Asociativita složení
Nechat F : A → B, G : B → C a h : C → D být morfismy kategorie obsahující objekty A, B, C a D. Opakovanou skladbou můžeme postavit morfismus z A na D dvěma způsoby:
- (h Ó G) Ó F : A → D, a
- h Ó (G Ó F) : A → D.
Nyní máme následující prohlášení o soudržnosti:
- (h Ó G) Ó F = h Ó (G Ó F).
V těchto dvou konkrétních příkladech jsou prohlášení o soudržnosti věty pro případ abstraktní kategorie, protože vyplývají přímo z axiomů; ve skutečnosti oni jsou axiomy. V případě konkrétní matematické struktury lze na ně pohlížet jako na podmínky, konkrétně jako na požadavky na uvažovanou matematickou strukturu jako na konkrétní kategorii, požadavky, které taková struktura může splňovat nebo nesplňovat.
Reference
- Mac Lane, Saunders (1971). Kategorie pro pracujícího matematika. Maturitní texty z matematiky Springer-Verlag. Zejména kapitola VII část 2.