Kartézská monoidní kategorie - Cartesian monoidal category
 | tento článek potřebuje další citace pro ověření. (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
v matematika, konkrétně v oblasti známé jako teorie kategorií, a monoidní kategorie kde monoidní ("tenzorový") produkt je kategorický produkt se nazývá a kartézská monoidní kategorie. Žádný kategorie s konečnými výrobky („kategorie konečných výrobků“) lze považovat za kartézskou monoidní kategorii. V jakékoli kartézské monoidální kategorii je koncový objekt je tenzorová jednotka. Duálně, kategorie monoidních konečných koproduktů s monoidní strukturou danou koprodukt a jednotky počáteční objekt se nazývá a kokartézská monoidní kategoriea jakoukoli kategorii konečných koproduktů lze považovat za kokartézskou monoidální kategorii.
Kartézské kategorie s interním Hom funktor to je adjunkční funktor produktu Kartézské uzavřené kategorie.[1]
Vlastnosti
Kartézské monoidní kategorie mají řadu zvláštních a důležitých vlastností, jako je existence úhlopříčné mapy ΔX : X → X ⊗ X a augmentace EX : X → Já pro všechny objekt X. V aplikacích do počítačová věda můžeme uvažovat o Δ jako o „duplikování dat“ a E jako „mazání dat“. Tyto mapy dělají z každého objektu a komonoid. Ve skutečnosti se jakýkoli objekt v kartézské monoidální kategorii stává komonoidem jedinečným způsobem.
Příklady
Kartézské monoidní kategorie:
- Soubor, kategorie sad s singletonová sada sloužící jako jednotka.
- Kočka, kategorie malých kategorií s kategorie produktů kde kategorie s jedním objektem a pouze jeho mapou identity je jednotka.
Kokartézské monoidní kategorie:
- Vect, kategorie vektorových prostorů nad daným pole, lze vyrobit kokartézský monoid s "tenzorovým produktem" daným přímý součet vektorových prostorů a triviální vektorový prostor jako jednotka.
- Ab, kategorie abelianských skupin, s přímý součet abelianských skupin jako monoidní produkt a triviální skupina jako jednotka.
- Obecněji kategorie R-Mod z (vlevo) moduly přes prsten R (komutativní nebo ne) se stane kokartézskou monoidní kategorií s přímý součet modulů jako tenzorový produkt a triviální modul jako jednotka.
V každé z těchto kategorií modulů vybavených kokartézskou monoidní strukturou se konečné produkty a koprodukty shodují (v tom smyslu, že produkt a koprodukt konečně mnoha objektů jsou izomorfní). Nebo formálnější, pokud F : X1 ∐ ... ∐ Xn → X1 × ... × Xn je "kanonická" mapa z n-aryární koprodukt předmětů Xj k jejich produktu, a přirozené číslo n, v případě, že mapa F je izomorfismus, říkáme, že a dvojprodukt pro objekty Xj je objekt izomorfní s a společně s mapami ij : Xj → X a strj : X → Xj takový, že pár (X, {ij}) je koproduktový diagram pro objekty Xj a dvojice (X, {strj}) je produktový diagram pro objekty Xj , a kde strj ∘ ij = idXj. Pokud má navíc příslušná kategorie a nulový objekt, takže pro všechny objekty A a B existuje jedinečná mapa 0A,B : A → 0 → B, často z toho vyplývá strk ∘ ij = : δij, Kroneckerova delta, kde interpretujeme 0 a 1 jako 0 map a identitních map objektů Xj a Xk, resp. Vidět pre-aditivní kategorie více.
