Distinguished space - Distinguished space

v funkční analýza a související oblasti matematika, rozlišené prostory jsou topologické vektorové prostory (TVS), které mají tuto vlastnost slabý-* ohraničené podmnožiny jejich biduals jsou obsaženy v slabém * uzavření některé ohraničené podmnožiny biduals.

Definice

Předpokládejme to X je lokálně konvexní prostor a nechte ${ displaystyle X ^ { prime}}$ a ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ označit silný dual z X (tj nepřetržitý duální prostor z X obdařen silná duální topologie ). Nechat ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ označují souvislý duální prostor ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ a nechte ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime prime}}$ označit silnou dvojku ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}.}$ Nechat ${ displaystyle X _ { sigma} ^ { prime prime}}$ označit ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ obdařen slabá topologie vyvolané ${ displaystyle X ^ { prime},}$ kde je tato topologie označena ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$ (tj. topologie bodové konvergence na ${ displaystyle X ^ { prime}}$). Říkáme, že podmnožina Ž z ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ je ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$-bounded, pokud se jedná o omezenou podmnožinu ${ displaystyle X _ { sigma} ^ { prime prime}}$ a nazýváme uzavření Ž v TVS ${ displaystyle X _ { sigma} ^ { prime prime}}$ the ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$- uzavření Ž. Li B je podmnožinou X pak polární z B je ${ displaystyle B ^ { circ}: = left {x ^ { prime} v X ^ { prime}: sup _ {b v B} left langle b, x ^ { prime } right rangle leq 1 right }.}$

Hausdorff místně konvexní TVS X se nazývá a význačný prostor pokud splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:

1. Li Ž ⊆ ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ je ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$- vázaná podmnožina ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ pak existuje omezená podmnožina B z ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime prime}}$ jehož ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$-kryt obsahuje Ž.^[1]
2. Li Ž ⊆ ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ je ${ displaystyle sigma doleva (X ^ { prime prime}, X ^ { prime} doprava)}$- vázaná podmnožina ${ displaystyle X ^ { prime prime}}$ pak existuje omezená podmnožina B z X takhle Ž je obsažen v ${ displaystyle B ^ { circ circ}: = left {x ^ { prime prime} v X ^ { prime prime}: sup _ {x ^ { prime} v B ^ { circ}} left langle x ^ { prime}, x ^ { prime prime} right rangle leq 1 right },}$ který je polární (ve vztahu k dualita ${ displaystyle left langle X ^ { prime}, X ^ { prime prime} right rangle}$) z ${ displaystyle B ^ { circ}.}$^[1]
3. The silný dual z X je sudový prostor.^[1]

Pokud navíc X je měřitelný lokálně konvexní topologický vektorový prostor pak může být tento seznam rozšířen o:

4. (Grothendieck ) Silný dvojník X je bornologický prostor.^[1]

Dostatečné podmínky

Normované prostory a semireflexní prostory je rozlišovací prostor.^[2] LF mezery jsou rozlišené prostory.

The silný duální prostor a Fréchetový prostor se rozlišuje právě tehdy, když je quasibarrelled.^[3]

Vlastnosti

Každý místně konvexní rozlišující prostor je H-prostor.^[2]

Příklady

Existují rozlišující Banachovy prostory mezery, které nejsou semi-reflexivní.^[1] The silný dual významného Banachova prostoru nemusí být nutně oddělitelný; ${ displaystyle l ^ {1}}$ je takový prostor.^[4] The silný dual významného Fréchetový prostor není nutně měřitelný.^[1]Existuje rozlišující semi-reflexivní ne-reflexní ne-quasibarrelled Mackeyův prostor X jehož silným dvojníkem je nereflexivní Banachův prostor.^[1] Existují H-mezery které nejsou rozlišujícími prostory.^[1]

Viz také

• Prostor Montel - Vyčleněný topologický vektorový prostor, ve kterém je každá uzavřená a ohraničená podmnožina kompaktní.

Reference

Bibliografie

• Bourbaki, Nicolasi (1950). „Sur certains espaces vectoriels topologiques“. Annales de l'Institut Fourier (francouzsky). 2: 5–16 (1951). doi:10,5802 / aif.16. PAN  0042609.
• Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Barel v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 692. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.