Webbedový prostor - Webbed space
v matematika, zejména v funkční analýza, a webbedový prostor je topologický vektorový prostor navržen s cílem umožnit výsledky otevřená věta o mapování a věta o uzavřeném grafu držet pro širší třídu lineární mapy jejichž codomains are webbed spaces. Prostor se nazývá webbed, pokud existuje sbírka sady, nazvaný a web který splňuje určité vlastnosti. Webové stránky nejprve prozkoumal de Wilde.
Web
Nechat X být Hausdorff lokálně konvexní topologický vektorový prostor. A web je stratifikovaná sbírka disky splnění následujících požadavků na absorpci a konvergenci. První vrstva musí sestávat ze sekvence disků X, označeno takhle . Pro každý disk v první vrstvě musí existovat posloupnost disků X, označují takhle
- pro každého
a absorbuje Tato sekvence sekvencí vytvoří druhou vrstvu. Každému disku ve druhé vrstvě lze přiřadit další sekvenci disků s analogicky definovanými vlastnostmi. Tento proces je kontinuální pro nespočetně mnoho vrstev.
A pramen je posloupnost disků, přičemž první disk je vybrán z první vrstvy, řekněme a druhý je vybrán ze sekvence, která byla spojena s , a tak dále. Rovněž to požadujeme, pokud jde o posloupnost vektorů je vybrán z řetězce (s patřící k prvnímu disku v řetězci, náležející k druhému atd.), potom k sérii konverguje.
Hausdorffově lokálně konvexní topologický vektorový prostor, na kterém lze definovat web, se nazývá a webbedový prostor.
Příklady a dostatečné podmínky
Teorém[1] (de Wilde 1978) — A topologický vektorový prostor X je Fréchetový prostor právě když je to prostor s webem i a Baireův prostor.
Všechny následující prostory mají webbed:
- Fréchetové prostory.
- Projektivní limity a indukční limity sekvencí webbedových prostorů.
- Postupně uzavřený vektorový podprostor webbedového prostoru.[2]
- Počítatelné produkty prostorů s webem.[2]
- Hausdorffův kvocient webbedového prostoru.[2]
- Obraz prostoru s webem pod sekvenčně spojitou lineární mapou, pokud je tímto obrazem Hausdorff.[2]
- Bornologifikace prostoru s webem.
- Kontinuální duální prostor měřitelného lokálně konvexního prostoru se silnou topologií je webbed.
- Li X je striktní indukční limit spočetné rodiny místně konvexních metrizovatelných prostorů, pak spojitý duální prostor X se silnou topologií je webbed.
- Zejména tedy silné duality lokálně konvexních měřitelné prostory jsou plovací blány.[3]
- Li X je webový prostor, pak je každá webová konvexní topologie Hausdorff, která je slabší než tato topologie s webovým webem, také webbed.[2]
Věty
Věta o uzavřeném grafu[4] — Nechat A : X → Y být lineární mapa mezi TVS, to je postupně uzavřeno (tj. jeho graf je postupně uzavřen X × Y). Li Y je webový prostor a X je ultrabornologický prostor (např Fréchetový prostor nebo indukční limit Fréchetových prostorů) A je spojitý.
Věta o uzavřeném grafu — Jakákoli uzavřená lineární mapa z indukčního limitu Baire lokálně konvexních prostorů do webbedově lokálně konvexního prostoru je spojitá.
Otevřená věta o mapování — Jakákoli spojitá surjektivní lineární mapa z lokálně konvexního prostoru s webbem na indukční hranici lokálně konvexních prostorů Baire je otevřená.
Otevřená věta o mapování[4] — Jakákoli spojitá surjektivní lineární mapa z lokálně konvexního prostoru s webem na an ultrabornologický prostor je otevřeno.
Otevřená věta o mapování[4] — Pokud je obraz uzavřeného lineárního operátoru A : X → Y z místně konvexního webbedového prostoru X do Hausdorff místně konvexního prostoru Y je nenápadný v Y pak A : X → Y je surjektivní otevřená mapa.
Pokud mezery nejsou lokálně konvexní, pak existuje pojem web, kde je požadavek na disk nahrazen požadavkem na vyrovnaný. Pro takovou představu o webu máme následující výsledky:
Věta o uzavřeném grafu — Jakákoli uzavřená lineární mapa od indukčního limitu Bairových topologických vektorových prostorů po webový topologický vektorový prostor je spojitá.
Viz také
- Téměř otevřená lineární mapa
- Sudový prostor - Topologický vektorový prostor s téměř minimálními požadavky, aby věta Banach – Steinhaus platila.
- Uzavřený graf - Graf funkce, která je také uzavřenou podmnožinou produktového prostoru
- Věta o uzavřeném grafu (funkční analýza) - Věty pro odvození spojitosti z grafu funkce
- Uzavřený lineární operátor
- Diskontinuální lineární mapa
- F-prostor - Topologický vektorový prostor s kompletní metrikou invariantní překladem
- Fréchetový prostor - Lokálně konvexní topologický vektorový prostor, který je také úplným metrickým prostorem
- Kakutaniho věta o pevném bodě
- Metrizovatelný topologický vektorový prostor - Topologický vektorový prostor, jehož topologii lze definovat metrikou
- Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Věta poskytující podmínky pro to, aby spojitá lineární mapa byla otevřenou mapou
- Ursescuova věta - Věta, která současně zobecňuje uzavřený graf, otevřené mapování a Banach-Steinhausovy věty.
Citace
- ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 472.
- ^ A b C d E Narici & Beckenstein 2011, str. 481.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 459-483.
- ^ A b C Narici & Beckenstein 2011, str. 474-476.
Reference
- De Wilde, Marc (1978). Věty o uzavřených grafech a prostorech s webem. Londýn: Pitman.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Pohodlné nastavení globální analýzy (PDF). Matematické průzkumy a monografie. 53. Providence, R.I: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279.
- Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Pohodlné nastavení globální analýzy. Matematické průzkumy a monografie. Americká matematická společnost. str. 557–578. ISBN 9780821807804.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.