Interpolační prostor - Interpolation space

V oblasti matematická analýza, an interpolační prostor je prostor, který leží „mezi“ dvěma dalšími Banachovy prostory. Hlavní aplikace jsou v Sobolevovy prostory, kde mezery funkcí, které mají neintegrovaný počet deriváty jsou interpolovány z prostorů funkcí celočíselným počtem derivací.

Dějiny

Teorie interpolace vektorových prostorů začala pozorováním Józef Marcinkiewicz, později zobecněný a nyní známý jako Riesz-Thorinova věta. Jednoduše řečeno, pokud je lineární funkce spojitá na určitém prostor $L str$ a také na určitém prostoru $L q$ , pak je také spojitý v prostoru $L r$ , pro jakýkoli meziprodukt $r$ mezi $str$ a $q$ . Jinými slovy, $L r$ je prostor, který je mezi nimi $L str$ a $L q$ .

Při vývoji Sobolevových prostorů vyšlo najevo, že sledovací prostory nebyly žádné z obvyklých funkčních prostorů (s celočíselným počtem derivací) a Jacques-Louis Lions objevili, že tyto trasovací prostory byly skutečně tvořeny funkcemi, které mají necelý stupeň diferencovatelnosti.

Ke generování těchto prostorů funkcí bylo navrženo mnoho metod, včetně Fourierova transformace, komplexní interpolace,^[1] skutečná interpolace,^[2] stejně jako další nástroje (viz např. zlomkový derivát ).

Nastavení interpolace

A Banachův prostor $X$ se říká, že je průběžně vloženo v Hausdorffu topologický vektorový prostor $Z$ když $X$ je lineární podprostor o $Z$ tak, že mapa začlenění z $X$ do $Z$ je spojitý. A kompatibilní pár $(X 0, X 1)$ Banachových prostorů se skládá ze dvou Banachových prostorů $X 0$ a $X 1$ které jsou nepřetržitě vloženy do stejného Hausdorffova topologického vektorového prostoru $Z$ .^[3] Vložení do lineárního prostoru $Z$ umožňuje uvažovat o dvou lineárních podprostorech

{displaystyle X_ {0} čepice X_ {1}}

a

{displaystyle X_ {0} + X_ {1} = vlevo {zin Z: z = x_ {0} + x_ {1}, x_ {0} v X_ {0} ,, x_ {1} v X_ {1} noci }.}

Interpolace nezávisí pouze na třídách izomorfní (ani izometrické) ekvivalence $X 0$ a $X 1$ . Závisí to podstatným způsobem na konkrétním relativní pozice že $X 0$ a $X 1$ zabírají ve větším prostoru $Z$ .

Lze definovat normy na $X 0 \cap X 1$ a $X 0 + X 1$ podle

{displaystyle | x | _ {X_ {0} cap X_ {1}}: = max vlevo (vlevo | xight | _ {X_ {0}}, vlevo | xight | _ {X_ {1}} vpravo),}

{displaystyle | x | _ {X_ {0} + X_ {1}}: = levý inf {levý | x_ {0} pravý | _ {X_ {0}} + levý | x_ {1} pravý | _ {X_ { 1}}: x = x_ {0} + x_ {1} ,; x_ {0} v X_ {0} ,; x_ {1} v X_ {1} v pořádku}.}

Díky těmto normám jsou průsečík a součet Banachovy prostory. Následující inkluze jsou všechny spojité:

{displaystyle X_ {0} cap X_ {1} podmnožina X_ {0}, X_ {1} podmnožina X_ {0} + X_ {1}.}

Interpolace studuje rodinu prostorů $X$ to jsou meziprostory mezi $X 0$ a $X 1$ V tom smyslu, že

{displaystyle X_ {0} cap X_ {1} podmnožina Xsubset X_ {0} + X_ {1},}

kde jsou dvě mapy inkluze spojité.

Příkladem této situace je dvojice $(L 1 (R), L \infty (R))$ , kde jsou dva Banachovy prostory nepřetržitě vloženy do prostoru $Z$ měřitelných funkcí na reálné linii, vybavených topologií konvergence v míře. V této situaci mezery $L str (R)$ , pro $1 \leq str \leq \infty$ jsou mezi nimi $L 1 (R)$ a $L \infty (R)$ . Obecněji,

{displaystyle L ^ {p_ {0}} (mathbf {R}) čepice L ^ {p_ {1}} (mathbf {R}) podmnožina L ^ {p} (mathbf {R}) podmnožina L ^ {p_ {0 }} (mathbf {R}) + L ^ {p_ {1}} (mathbf {R}), {ext {when}} 1leq p_ {0} leq pleq p_ {1} leq infty,}

kontinuálními injekcemi, aby za daných podmínek $L str (R)$ je mezi $L str 0 (R)$ a $L str 1 (R)$ .

Definice. Vzhledem k tomu, dva kompatibilní páry

(X 0, X 1)

a

(Y 0, Y 1)

, an interpolační pár je pár

(X, Y)

Banachových prostorů se dvěma následujícími vlastnostmi:

Prostor X je mezi $X 0$ a $X 1$ , a Y je mezi $Y 0$ a $Y 1$ .
Li $L$ je libovolný lineární operátor z $X 0 + X 1$ na $Y 0 + Y 1$ , který mapuje průběžně $X 0$ na $Y 0$ a $X 1$ na $Y 1$ , pak také průběžně mapuje $X$ na $Y$ .

Interpolační pár $(X, Y)$ se říká, že je z exponent $θ$ (s $0 < θ < 1$ ) pokud existuje konstanta $C$ takhle

{displaystyle | L | _ {X, Y} leq C | L | _ {X_ {0}, Y_ {0}} ^ {1- heta}; | L | _ {X_ {1}, Y_ {1}} ^ {heta}}

pro všechny operátory $L$ jak je uvedeno výše. Zápis $|| L || X, Y$ je pro normu $L$ jako mapa z $X$ na $Y$ . Li $C = 1$ , říkáme to $(X, Y)$ je přesná interpolační dvojice exponentů $θ$ .

Složitá interpolace

Pokud jsou skaláry komplexní čísla, vlastnosti komplexu analytické funkce se používají k definování interpolačního prostoru. Vzhledem k tomu, kompatibilní pár (X₀, X₁) Banachových prostorů, lineární prostor ${displaystyle {mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ skládá se ze všech funkcí $F : C \to X 0 + X 1$ , které jsou analytické $S = {z : 0 z) < 1},$ nepřetržitě zapnuto $S = {z : 0 \leq Re (z) \leq 1},$ a pro které jsou ohraničeny všechny následující podmnožiny:

{F (z) : z \in S} \subset X 0 + X 1

,

{F (to) : t \in R} \subset X 0

,

{F (1 + to) : t \in R} \subset X 1

.

${displaystyle {mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ je Banachův prostor podle normy

{displaystyle | f | _ {{mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})} = maximálně vlevo {sup _ {tin mathbf {R}} | f (it) | _ {X_ {0} } ,; sup _ {tin mathbf {R}} | f (1 + it) | _ {X_ {1}} hned}.}

Definice.^[4] Pro $0 < θ < 1$ , komplexní interpolační prostor $(X 0, X 1) θ$ je lineární podprostor $X 0 + X 1$ skládající se ze všech hodnot F(θ) když F se liší v předchozím prostoru funkcí,

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta} = vlevo {xin X_ {0} + X_ {1}: x = f (heta) ,; fin {mathcal {F}} (X_ {0 }, X_ {1}) ight}.}

Norma komplexního interpolačního prostoru $(X 0, X 1) θ$ je definováno

{displaystyle | x | _ {heta} = inf left {| f | _ {{mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}: f (heta) = x,; fin {mathcal {F }} (X_ {0}, X_ {1}) ight}.}

Vybaven touto normou, komplexním interpolačním prostorem $(X 0, X 1) θ$ je Banachův prostor.

Teorém.^[5] Vzhledem k tomu, dva kompatibilní páry Banachových prostorů

(X 0, X 1)

a

(Y 0, Y 1)

, dvojice

((X 0, X 1) θ, (Y 0, Y 1) θ)

je přesná interpolační dvojice exponentů

θ

, tj. pokud

T : X 0 + X 1 \to Y 0 + Y 1

, je lineární operátor ohraničený z

X j

na

Y j, j = 0, 1

, pak

T

je omezen z

(X 0, X 1) θ

na

(Y 0, Y 1) θ

a

{displaystyle | T | _ {heta} leq | T | _ {0} ^ {1- heta} | T | _ {1} ^ {heta}.}

Rodina $L str$ prostory (skládající se ze složitých hodnotných funkcí) se při složité interpolaci chovají dobře.^[6] Li $(R, Σ, μ)$ je libovolný změřte prostor, pokud $1 \leq str 0, str 1 \leq \infty$ a $0 < θ < 1$ , pak

{displaystyle left (L ^ {p_ {0}} (R, Sigma, mu), L ^ {p_ {1}} (R, Sigma, mu) ight) _ {heta} = L ^ {p} (R, Sigma, mu), qquad {frac {1} {p}} = {frac {1- heta} {p_ {0}}} + {frac {heta} {p_ {1}}},}

s rovností norem. Tato skutečnost úzce souvisí s Rieszova – Thorinova věta.

Skutečná interpolace

Existují dva způsoby zavedení metoda skutečné interpolace. První a nejčastěji používaná při skutečné identifikaci příkladů interpolačních prostorů je metoda K. Druhá metoda, metoda J, poskytuje stejné parametry jako interpolační prostory jako metoda K. $θ$ je v $(0, 1)$ . To, že se metody J a K shodují, je důležité pro studium duálů interpolačních prostorů: v zásadě se duál interpolačního prostoru konstruovaného metodou K jeví jako prostor konstruovaný z dvojice metodou J; viz. níže.

K-metoda

K-metoda skutečné interpolace^[7] lze použít pro Banachovy prostory nad polem $R$ z reálná čísla.

Definice. Nechat $(X 0, X 1)$ být kompatibilní pár Banachových prostorů. Pro $t > 0$ a každý $X \in X 0 + X 1$ , nechť

{displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = inf left {left | x_ {0} ight | _ {X_ {0}} + tleft | x_ {1} ight | _ {X_ { 1}}: x = x_ {0} + x_ {1} ,; x_ {0} v X_ {0} ,, x_ {1} v X_ {1} v pořádku}.}

Výsledkem změny pořadí dvou mezer je:^[8]

{displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = tKleft (x, t ^ {- 1}; X_ {1}, X_ {0} ight).}

Nechat

{displaystyle {egin {aligned} | x | _ {heta, q; K} & = left (int _ {0} ^ {infty} left (t ^ {- heta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) ight) ^ {q}, {frac {dt} {t}} ight) ^ {frac {1} {q}}, && 0 0}; t ^ {- heta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}), && 0leq heta leq 1.end {aligned}} }

K-metoda skutečné interpolace spočívá v braní $K. θ, q (X 0, X 1)$ být lineárním podprostorem $X 0 + X 1$ skládající se ze všech $X$ takhle $|| X || θ, q; K. < \infty$ .

Příklad

Důležitým příkladem je příklad páru $(L 1 (R, Σ, μ), L \infty (R, Σ, μ))$ , kde je funkční $K. (t, F; L 1, L \infty)$ lze vypočítat explicitně. Měření $μ$ předpokládá se $σ$ -konečný. V této souvislosti nejlepší způsob vyříznutí funkce $F \in L 1 + L \infty$ jako součet dvou funkcí $F 0 \in L 1$ a $F 1 \in L \infty$ pro některé je $s > 0$ být vybrán jako funkce $t$ , nechat $F 1 (X)$ být dán za všechny $X \in R$ podle

{displaystyle f_ {1} (x) = {egin {cases} f (x) & | f (x) |

Optimální volba $s$ vede k vzorci^[9]

{displaystyle Kleft (f, t; L ^ {1}, L ^ {infty} ight) = int _ {0} ^ {t} f ^ {*} (u), du,}

kde $F *$ je zmenšující se přeskupení z $F$ .

J-metoda

Stejně jako u metody K lze metodu J použít pro skutečné Banachovy prostory.

Definice. Nechat $(X 0, X 1)$ být kompatibilní pár Banachových prostorů. Pro $t > 0$ a pro každý vektor $X \in X 0 \cap X 1$ , nechť

{displaystyle J (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = max vlevo (| x | _ {X_ {0}}, t | x | _ {X_ {1}} vpravo).}

Vektor $X$ v $X 0 + X 1$ patří do interpolačního prostoru $J θ, q (X 0, X 1)$ právě tehdy, když lze zapsat jako

{displaystyle x = int _ {0} ^ {infty} v (t), {frac {dt} {t}},}

kde $proti (t)$ je měřitelný s hodnotami v $X 0 \cap X 1$ a takhle

{displaystyle Phi (v) = left (int _ {0} ^ {infty} left (t ^ {- heta} J (v (t), t; X_ {0}, X_ {1}) ight) ^ {q }, {frac {dt} {t}} ight) ^ {frac {1} {q}}

Norma $X$ v $J θ, q (X 0, X 1)$ je dáno vzorcem

{displaystyle | x | _ {heta, q; J}: = inf _ {v} vlevo {Phi (v): x = int _ {0} ^ {infty} v (t), {frac {dt} {t }} hned}.}

Vztahy mezi interpolačními metodami

Dvě skutečné metody interpolace jsou ekvivalentní, když $0 < θ < 1$ .^[10]

Teorém. Nechat

(X 0, X 1)

být kompatibilní pár Banachových prostorů. Li

0 < θ < 1

a

1 \leq q \leq \infty

, pak

{displaystyle J_ {heta, q} (X_ {0}, X_ {1}) = K_ {heta, q} (X_ {0}, X_ {1}),}

s rovnocennost norem.

Věta pokrývá degenerované případy, které nebyly vyloučeny: například pokud $X 0$ a $X 1$ tvoří přímý součet, pak průnik a J-prostory jsou nulovým prostorem a jednoduchý výpočet ukazuje, že K-prostory jsou také nulové.

Když $0 < θ < 1$ , lze mluvit, až do ekvivalentního renormingu, o the Banachův prostor získaný metodou skutečné interpolace s parametry $θ$ a $q$ . Zápis pro tento skutečný interpolační prostor je $(X 0, X 1) θ, q$ . Jeden to má

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, q} = (X_ {1}, X_ {0}) _ {1- heta, q}, qquad 0

Pro danou hodnotu $θ$ , skutečné interpolační prostory se zvyšují s $q$ :^[11] -li $0 < θ < 1$ a $1 \leq q \leq r \leq \infty$ platí následující kontinuální zařazení:

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, q} podmnožina (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, r}.}

Teorém. Dáno

0 < θ < 1

,

1 \leq q \leq \infty

a dva kompatibilní páry

(X 0, X 1)

a

(Y 0, Y 1)

, dvojice

((X 0, X 1) θ, q, (Y 0, Y 1) θ, q)

je přesná interpolační dvojice exponentů

θ

.^[12]

Komplexní interpolační prostor obvykle není izomorfní s jedním z prostorů daných skutečnou interpolační metodou. Existuje však obecný vztah.

Teorém. Nechat

(X 0, X 1)

být kompatibilní pár Banachových prostorů. Li

0 < θ < 1

, pak

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, 1} podmnožina (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta} podmnožina (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta , infty}.}

Příklady

Když $X 0 = C ([0, 1])$ a $X 1 = C 1 ([0, 1])$ , prostor nepřetržitě diferencovatelných funkcí na $[0, 1]$ , $(θ, \infty)$ interpolační metoda pro $0 < θ < 1$ , dává Hölderův prostor $C 0, θ$ exponentu $θ$ . Je to proto, že K-funkční $K. (F, t; X 0, X 1)$ tohoto páru odpovídá

{displaystyle sup left {| f (u) | ,, {frac {| f (u) -f (v) |} {1 + t ^ {- 1} | uv |}}: u, vin [0,1 ] hned}.}

Pouze hodnoty $0 < t < 1$ jsou zde zajímavé.

Skutečná interpolace mezi $L str$ mezery dává^[13] rodina Lorentzovy prostory. Za předpokladu $0 < θ < 1$ a $1 \leq q \leq \infty$ , jeden má:

{displaystyle left (L ^ {1} (mathbf {R}, Sigma, mu), L ^ {infty} (mathbf {R}, Sigma, mu) ight) _ {heta, q} = L ^ {p, q } (mathbf {R}, Sigma, mu), qquad {ext {where}} {frac {1} {p}} = 1- heta,}

s ekvivalentními normami. To vyplývá z nerovnost Hardyho a z výše uvedené hodnoty K-funkční pro tento kompatibilní pár. Když $q = str$ , Lorentzův prostor $L str, str$ je rovný $L str$ , až do renormingu. Když $q = \infty$ , Lorentzův prostor $L str,\infty$ je rovný slabý- $L str$ .

Věta o opakování

Meziprostor $X$ kompatibilního páru $(X 0, X 1)$ se říká, že je z třída θ -li ^[14]

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, 1} podmnožina Xsubset (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, infty},}

kontinuálními injekcemi. Kromě všech skutečných interpolačních prostorů $(X 0, X 1) θ, q$ s parametrem $θ$ a $1 \leq q \leq \infty$ , komplexní interpolační prostor $(X 0, X 1) θ$ je meziprostorem třídy $θ$ kompatibilního páru $(X 0, X 1)$ .

Věty o opakování v podstatě říkají, že interpolace s parametrem $θ$ chová se nějakým způsobem jako formování a konvexní kombinace $A = (1 - θ) X 0 + θx 1$ : další konvexní kombinace dvou konvexních kombinací poskytuje další konvexní kombinaci.

Teorém.^[15] Nechat

A 0, A 1

být meziprostory kompatibilního páru

(X 0, X 1)

, třídy

θ 0

a

θ 1

respektive s

0 < θ 0 \neq θ 1 < 1

. Když

0 < θ < 1

a

1 \leq q \leq \infty

, jeden má

{displaystyle (A_ {0}, A_ {1}) _ {heta, q} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {eta, q}, qquad eta = (1- heta) heta _ {0 } + heta heta _ {1}.}

Je pozoruhodné, že při interpolaci se skutečnou metodou mezi $A 0 = (X 0, X 1) θ 0, q 0$ a $A 1 = (X 0, X 1) θ 1, q 1$ , pouze hodnoty $θ 0$ a $θ 1$ hmota. Taky, $A 0$ a $A 1$ mohou být složité interpolační prostory mezi $X 0$ a $X 1$ , s parametry $θ 0$ a $θ 1$ resp.

Pro složitou metodu existuje také věta o opakování.

Teorém.^[16] Nechat

(X 0, X 1)

být kompatibilním párem složitých Banachových prostorů a předpokládat, že

X 0 \cap X 1

je hustá v

X 0

a v

X 1

. Nechat

A 0 = (X 0, X 1) θ 0

a

A 1 = (X 0, X 1) θ 1

, kde

0 \leq θ 0 \leq θ 1 \leq 1

. Předpokládejme dále

X 0 \cap X 1

je hustá v

A 0 \cap A 1

. Pak pro každého

0 \leq θ \leq 1

,

{displaystyle left (left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta _ {0}}, left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta _ {1}} ight) _ {heta} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {eta}, qquad eta = (1- heta) heta _ {0} + heta heta _ {1}.}

Podmínka hustoty je vždy splněna, když $X 0 \subset X 1$ nebo $X 1 \subset X 0$ .

Dualita

Nechat $(X 0, X 1)$ být kompatibilní pár a předpokládat, že $X 0 \cap X 1$ je hustá v X₀ a v X₁. V tomto případě bude mapa omezení z (kontinuální) dvojí ${displaystyle X '_ {j}}$ z $X j$ , $j = 0, 1,$ na duální $X 0 \cap X 1$ je jedna ku jedné. Z toho vyplývá, že dvojice dualů ${displaystyle left (X '_ {0}, X' _ {1} ight)}$ je kompatibilní pár nepřetržitě zabudovaný do duálního $(X 0 \cap X 1)'$ .

Pro složitou interpolační metodu platí následující výsledek duality:

Teorém.^[17] Nechat

(X 0, X 1)

být kompatibilním párem komplexních Banachových prostorů a předpokládejme to

X 0 \cap X 1

je hustá v

X 0

a v

X 1

. Li

X 0

a

X 1

jsou reflexní, pak se duální komplexního interpolačního prostoru získá interpolací duálních,

{displaystyle ((X_ {0}, X_ {1}) _ {heta}) '= left (X' _ {0}, X '_ {1} ight) _ {heta}, qquad 0

Obecně platí, že dvojí prostor $(X 0, X 1) θ$ je roven^[17] na ${displaystyle left (X '_ {0}, X' _ {1} ight) ^ {heta},}$ prostor definovaný variantou komplexní metody.^[18] Metody horní-θ a dolní-θ se obecně neshodují, ale jsou-li alespoň jedna z nich X₀, X₁ je reflexní prostor.^[19]

Pro metodu skutečné interpolace platí dualita za předpokladu, že parametrq je konečný:

Teorém.^[20] Nechat

0 < θ < 1, 1 \leq q < \infty

a

(X 0, X 1)

kompatibilní pár skutečných Banachových prostorů. Předpokládat, že

X 0 \cap X 1

je hustá v

X 0

a v

X 1

. Pak

{displaystyle left (left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta, q} ight) '= left (X' _ {0}, X '_ {1} ight) _ {heta, q' },}

kde

{displaystyle {frac {1} {q '}} = 1- {frac {1} {q}}.}

Diskrétní definice

Protože funkce $t \to K. (X, t)$ se pravidelně mění (zvyšuje se, ale $1 / t K. (X, t)$ klesá), definice $K. θ, q$ -norm vektoru $n$ , dříve daný integrálem, je ekvivalentní definici dané řadou.^[21] Tato řada se získá rozbitím $(0, \infty)$ na kousky $(2 n, 2 n +1)$ stejné hmotnosti pro míru $d t / t$ ,

{displaystyle | x | _ {heta, q; K} vlevo simeq (součet _ {nin mathbf {Z}} vlevo (2 ^ {- heta n} Kleft (x, 2 ^ {n}; X_ {0}, X_ {1} ight) ight) ^ {q} ight) ^ {frac {1} {q}}.}

Ve zvláštním případě, kdy $X 0$ je trvale vložen do $X 1$ , lze vynechat část řady se zápornými indexy $n$ . V tomto případě každá z funkcí $X \to K. (X, 2 n; X 0, X 1)$ definuje ekvivalentní normu na $X 1$ .

Interpolační prostor $(X 0, X 1) θ, q$ je "diagonální podprostor" z $ℓ q$ - součet posloupnosti Banachových prostorů (každý z nich je izomorfní s $X 0 + X 1$ ). Proto kdy $q$ je konečný, dvojí $(X 0, X 1) θ, q$ je kvocient z $ℓ str$ - součet dualů, $1 / str + 1 / q = 1$ , což vede k následujícímu vzorce pro diskrétní $J θ, str$ - normální funkčnost X' v duálu $(X 0, X 1) θ, q$ :

{displaystyle | x '| _ {heta, p; J} simeq inf left {left (sum _ {nin mathbf {Z}} left (2 ^ {heta n} max left (left | x' _ {n} ight | _ {X '_ {0}}, 2 ^ {- n} vlevo | x' _ {n} ight | _ {X '_ {1}} ight) ight) ^ {p} ight) ^ {frac {1 } {p}}: x '= součet _ {nin mathbf {Z}} x' _ {n} ight}.}

Obvyklý vzorec pro diskrétní $J θ, str$ -norm se získá změnou $n$ na $- n$ .

Diskrétní definice usnadňuje studium několika otázek, mezi nimiž je již zmíněná identifikace duálu. Dalšími takovými otázkami jsou kompaktnost nebo slabá kompaktnost lineárních operátorů. Lvi a Peetre dokázali, že:

Teorém.^[22] Pokud lineární operátor

T

je kompaktní z

X 0

do Banachova prostoru

Y

a ohraničené z

X 1

na

Y

, pak

T

je kompaktní z

(X 0, X 1) θ, q

na

Y

když

0 < θ < 1

,

1 \leq q \leq \infty

.

Davis, Figiel, Johnson a Pełczyński použili interpolaci jako důkaz následujícího výsledku:

Teorém.^[23] Ohraničený lineární operátor mezi dvěma Banachovými prostory je slabě kompaktní jen a jen v případě, že to ovlivňuje a reflexní prostor.

Obecná interpolační metoda

Prostor $ℓ q$ použité pro diskrétní definici lze nahradit libovolným sekvenční prostor Y s bezpodmínečný základ a váhy $A n = 2 - θn$ , $b n = 2 (1- θ) n$ , které se používají pro $K. θ, q$ -norm, lze nahradit obecnými váhami

{displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0, součet _ {n = 1} ^ {infty} min (a_ {n}, b_ {n})

Interpolační prostor $K. (X 0, X 1, Y, {A n}, {b n})$ sestává z vektorů $X$ v $X 0 + X 1$ takhle^[24]

{displaystyle | x | _ {K (X_ {0}, X_ {1})} = sup _ {mgeq 1} vlevo | součet _ {n = 1} ^ {m} a_ {n} Kleft (x, {frac {b_ {n}} {a_ {n}}}; X_ {0}, X_ {1} ight), y_ {n} ight | _ {Y}

kde {y_n} je bezpodmínečný základ $Y$ . Tuto abstraktní metodu lze použít například k prokázání následujícího výsledku:

Teorém.^[25] Banachův prostor s bezpodmínečným základem je izomorfní s doplňovaným podprostorem prostoru s symetrický základ.

Interpolace Sobolevova a Besovského prostoru

Několik výsledků interpolace je k dispozici pro Sobolevovy prostory a Besovské prostory na Rⁿ,^[26]

{displaystyle {egin {aligned} & H_ {p} ^ {s} && sin mathbf {R}, 1leq pleq infty & B_ {p, q} ^ {s} && sin mathbf {R}, 1leq p, qleq infty end {align} }}

Tyto prostory jsou prostory měřitelné funkce na $R n$ když $s \geq 0$ a temperované distribuce na $R n$ když $s < 0$ . U zbytku sekce se použije následující nastavení a notace:

{displaystyle {egin {aligned} 0 &

Komplexní interpolace funguje dobře na třídě Sobolevových prostorů ${displaystyle H_ {p} ^ {s}}$ (dále jen Besselovy potenciální prostory ) a také besovské prostory:

{displaystyle {egin {aligned} left (H_ {p_ {0}} ^ {s_ {0}}, H_ {p_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta} & = H_ {p_ { heta}} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}, 1

Skutečná interpolace mezi Sobolevovými prostory může dát Besovským prostorům, kromě případů, kdy $s 0 = s 1$ ,

{displaystyle left (H_ {p_ {0}} ^ {s}, H_ {p_ {1}} ^ {s} ight) _ {heta, p_ {heta}} = H_ {p_ {heta}} ^ {s} .}

Když $s 0 \neq s 1$ ale $str 0 = str 1$ , skutečná interpolace mezi Sobolevovými prostory dává prostoru Besov:

{displaystyle left (H_ {p} ^ {s_ {0}}, H_ {p} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q} = B_ {p, q} ^ {s_ {heta}}, qquad s_ {0} eq s_ {1}.}

Taky,

{displaystyle {egin {aligned} left (B_ {p, q_ {0}} ^ {s_ {0}}, B_ {p, q_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q} & = B_ {p, q} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}. Left (B_ {p, q_ {0}} ^ {s}, B_ {p, q_ {1 }} ^ {s} ight) _ {heta, q} & = B_ {p, q_ {heta}} ^ {s}. left (B_ {p_ {0}, q_ {0}} ^ {s_ {0 }}, B_ {p_ {1}, q_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q_ {heta}} & = B_ {p_ {heta}, q_ {heta}} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}, p_ {heta} = q_ {heta} .end {aligned}}}

Viz také

Poznámky

^ Seminární práce v tomto směru jsou Lions, Jacques-Louis (1960), „Une construction d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 251: 1853–1855 a Calderón (1964).
^ poprvé definováno v Lions, Jacques-Louis; Peetre, Jaak (1961), „Propriétés d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 253: 1747–1749, vyvinut v Lions & Peetre (1964), s notací mírně odlišnou (a komplikovanější, se čtyřmi parametry místo dvou) od dnešní notace. To bylo dáno později v dnešní podobě v Peetre, Jaak (1963), „Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 256: 1424–1426, aPeetre, Jaak (1968), Teorie interpolace normovaných prostorů, Notas de Matemática, 39, Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, str. Iii + 86.
^ vidět Bennett & Sharpley (1988), str. 96–105.
^ prosáknout. 88 palců Bergh & Löfström (1976).
^ viz věta 4.1.2, str. 88 palců Bergh & Löfström (1976).
^ viz kapitola 5, str. 106 palců Bergh & Löfström (1976).
^ viz str. 293–302 v Bennett & Sharpley (1988).
^ viz návrh 1.2, s. 294 palců Bennett & Sharpley (1988).
^ prosáknout. 298 palců Bennett & Sharpley (1988).
^ viz teorém 2.8, str. 314 palců Bennett & Sharpley (1988).
^ viz návrh 1.10, s. 301 palců Bennett & Sharpley (1988)
^ viz věta 1.12, str. 301–302 v Bennett & Sharpley (1988).
^ viz teorém 1.9, str. 300 palců Bennett & Sharpley (1988).
^ viz definice 2.2, str. 309–310 v Bennett & Sharpley (1988)
^ viz věta 2.4, str. 311 palců Bennett & Sharpley (1988)
^ viz 12.3, s. 121 palců Calderón (1964).
^ ^A ^b viz 12.1 a 12.2, s. 121 palců Calderón (1964).
^ Věta 4.1.4, str. 89 palců Bergh & Löfström (1976).
^ Věta 4.3.1, str. 93 palců Bergh & Löfström (1976).
^ viz Théorème 3.1, s. 23 palců Lions & Peetre (1964) nebo Věta 3.7.1, str. 54 palců Bergh & Löfström (1976).
^ viz kap. II v Lions & Peetre (1964).
^ viz kap. 5, Théorème 2.2, str. 37 palců Lions & Peetre (1964).
^ Davis, William J .; Figiel, Tadeusz; Johnson, William B.; Pełczyński, Aleksander (1974), „Factoring slabě kompaktní operátory“, Journal of Functional Analysis, 17 (3): 311–327, doi:10.1016/0022-1236(74)90044-5, viz také Věta 2.g.11, str. 224 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
^ Johnson, William B .; Lindenstrauss, Joram (2001), „Základní pojmy v geometrii Banachových prostorů“, Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. Já, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 1–84a část 2.gv Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
^ viz věta 3.b.1, s. 123 palců Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1977), Klasické Banachovy prostory I, sekvenční prostory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92, Berlín: Springer-Verlag, str. Xiii + 188, ISBN 978-3-540-08072-5.
^ Věta 6.4.5, str. 152 palců Bergh & Löfström (1976).

Reference

Calderón, Alberto P. (1964), „Meziprostory a interpolace, komplexní metoda“, Studia Math., 24 (2): 113–190, doi:10,4064 / sm-24-2-113-190.
Lvi, Jacques-Louis.; Peetre, Jaak (1964), „Sur une classe d'espaces d'interpolation“, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matematika. (francouzsky), 19: 5–68, doi:10.1007 / bf02684796.
Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolace operátorůČistá a aplikovaná matematika, 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, str. Xiv + 469, ISBN 978-0-12-088730-9.
Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolační prostory. ÚvodGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223, Berlín-New York: Springer-Verlag, s. X + 207, ISBN 978-3-540-07875-3.
Leoni, Giovanni (2017). První kurz v Sobolevových prostorech: Druhé vydání. Postgraduální studium matematiky. 181. Americká matematická společnost. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8.
Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1979), Klasické Banachovy prostory. II. Funkční prostory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech], 97, Berlín-New York: Springer-Verlag, str. X + 243, ISBN 978-3-540-08888-2.
Tatar, Luc (2007), Úvod do Sobolevových prostorů a interpolaceSpringer, ISBN 978-3-540-71482-8.

[1] Seminární práce v tomto směru jsou Lions, Jacques-Louis (1960), „Une construction d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 251: 1853–1855 a Calderón (1964).

[2] rvé definováno v Lions, Jacques-Louis; Peetre, Jaak (1961), „Propriétés d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 253: 1747–1749, vyvinut v Lions & Peetre (1964), s notací mírně odlišnou (a komplikovanější, se čtyřmi parametry místo dvou) od dnešní notace. To bylo dáno později v dnešní podobě v Peetre, Jaak (1963), „Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation“, C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky), 256: 1424–1426, aPeetre, Jaak (1968), Teorie interpolace normovaných prostorů, Notas de Matemática, 39, Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, str. Iii + 86.

[3] vidět Bennett & Sharpley (1988), str. 96–105.

[4] rosáknout. 88 palců Bergh & Löfström (1976).

[5] viz věta 4.1.2, str. 88 palců Bergh & Löfström (1976).

[6] viz kapitola 5, str. 106 palců Bergh & Löfström (1976).

[7] viz str. 293–302 v Bennett & Sharpley (1988).

[8] viz návrh 1.2, s. 294 palců Bennett & Sharpley (1988).

[9] rosáknout. 298 palců Bennett & Sharpley (1988).

[10] viz teorém 2.8, str. 314 palců Bennett & Sharpley (1988).

[11] viz návrh 1.10, s. 301 palců Bennett & Sharpley (1988)

[12] viz věta 1.12, str. 301–302 v Bennett & Sharpley (1988).

[13] viz teorém 1.9, str. 300 palců Bennett & Sharpley (1988).

[14] viz definice 2.2, str. 309–310 v Bennett & Sharpley (1988)

[15] viz věta 2.4, str. 311 palců Bennett & Sharpley (1988)

[16] viz 12.3, s. 121 palců Calderón (1964).

[Cald-17] A ^b viz 12.1 a 12.2, s. 121 palců Calderón (1964).

[18] Věta 4.1.4, str. 89 palců Bergh & Löfström (1976).

[19] Věta 4.3.1, str. 93 palců Bergh & Löfström (1976).

[20] viz Théorème 3.1, s. 23 palců Lions & Peetre (1964) nebo Věta 3.7.1, str. 54 palců Bergh & Löfström (1976).

[21] viz kap. II v Lions & Peetre (1964).

[22] viz kap. 5, Théorème 2.2, str. 37 palců Lions & Peetre (1964).

[23] Davis, William J .; Figiel, Tadeusz; Johnson, William B.; Pełczyński, Aleksander (1974), „Factoring slabě kompaktní operátory“, Journal of Functional Analysis, 17 (3): 311–327, doi:10.1016/0022-1236(74)90044-5, viz také Věta 2.g.11, str. 224 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).

[24] Johnson, William B .; Lindenstrauss, Joram (2001), „Základní pojmy v geometrii Banachových prostorů“, Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. Já, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 1–84a část 2.gv Lindenstrauss & Tzafriri (1979).

[25] viz věta 3.b.1, s. 123 palců Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1977), Klasické Banachovy prostory I, sekvenční prostory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92, Berlín: Springer-Verlag, str. Xiii + 188, ISBN 978-3-540-08072-5.

[26] Věta 6.4.5, str. 152 palců Bergh & Löfström (1976).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Topologické vektorové prostory (TVS)
Základní pojmy	Banachův prostor Spojitý lineární operátor Funkční Hilbertův prostor Lineární operátory Lokálně konvexní prostor Homomorfismus Topologický vektorový prostor Vektorový prostor
Hlavní výsledky	Věta o uzavřeném grafu Věta F. Riesze Hahn – Banach (oddělení hyperplánů Hahn – Banach s vektorovou hodnotou ) Otevřené mapování (Banach – Schauder) (Ohraničený inverzní ) Jednotná omezenost (Banach – Steinhaus)
Mapy	Téměř otevřený Bilineární (formulář operátor ) a Sesquilineární formy Zavřeno Kompaktní pohon Kontinuální a Přerušovaný Lineární mapy Hustě definované Homomorfismus Funkční Norma Operátor Seminorm Sublear Přemístit
Druhy sad	Absolutně konvexní / disk Absorpční / radiální Afinní Vyvážené / v kroužku Banachovy disky Mezní body Ohraničený Doplněný podprostor Konvexní Konvexní kužel (podmnožina) Lineární kužel (podmnožina) Extrémní bod Pre-compact / Totally ohraničený Radiální Radiálně konvexní / ve tvaru hvězdy Symetrický
Nastavit operace	Afinní trup (Relativní ) Algebraický interiér (jádro) Konvexní obal Lineární rozpětí Minkowského doplnění Polární (Kvazi ) Relativní interiér
Typy TVS	Asplund B-kompletní / Ptak Banach (Spočitatelně ) Sudový (Ultra- ) Bornologické Brauner Kompletní (DF) - prostor Význačný F-prostor Fréchet (zkrotit Fréchet ) Grothendieck Hilbert Infrastruktura Interpolační prostor LB-prostor LF-prostor Lokálně konvexní prostor Mackey (Pseudo) Metrizovatelné Montel Quasibarrelled Kvazi kompletní Quasinormed (Polynomiálně Semi- ) Reflexní Riesz Schwartz Polokompletní Kovář Stereotyp (B Přísně Rovnoměrně konvexní (Kvazi- ) Ultrabarelled Rovnoměrně hladký Webbed S aproximační vlastností