Nastavena úroveň - Level set

v matematika, a nastavena úroveň a nemovitý -hodnota funkce F z n reálné proměnné je sada formuláře

${ displaystyle L_ {c} (f) = left {(x_ {1}, cdots, x_ {n}) , mid , f (x_ {1}, cdots, x_ {n}) = c doprava } ~,}$

tj. množina, kde funkce nabere danou konstantní hodnotu C.

Když je počet proměnných dvě, sada úrovní je obecně křivka, která se nazývá křivka úrovně, vrstevnice, nebo isoline. Hladinová křivka je tedy množina všech reálných řešení rovnice ve dvou proměnných X₁ a X₂. Když n = 3, sada úrovní se nazývá rovná plocha (viz také isosurface ) a pro vyšší hodnoty n sada úrovní je hyperplocha úrovně. Takže rovný povrch je množina všech skutečných kořenů rovnice ve třech proměnných X₁, X₂ a X₃a úroveň nadpovrch je množina všech skutečných kořenů rovnice v n (n > 3) proměnné.

Sada úrovní je speciální případ a vlákno.

Alternativní názvy

Sady úrovní se zobrazují v mnoha aplikacích, často pod různými názvy.

Například an implicitní křivka je křivka úrovně, která je považována za nezávislou na sousedních křivkách, přičemž zdůrazňuje, že taková křivka je definována znakem implicitní rovnice. Analogicky se rovná plocha někdy nazývá implicitní plocha nebo isosurface.

Používá se také název isocontour, což znamená obrys stejné výšky. V různých aplikačních oblastech získaly izokonty konkrétní názvy, které často označují povahu hodnot uvažované funkce, například isobar, izoterma, isogon, isochron, Isoquant a křivka indiference.

Příklady

Zvažte 2-dimenzionální euklidovskou vzdálenost:

Sada úrovní ${ displaystyle L_ {r} (d)}$ této funkce se skládá z těch bodů, které leží ve vzdálenosti ${ displaystyle r}$ od původu, jinak známého jako a kruh. Například, ${ displaystyle (3,4) v L_ {5} (d)}$, protože ${ displaystyle d (3,4) = 5}$. Geometricky to znamená, že jde o bod ${ displaystyle (3,4)}$ leží na kruhu o poloměru 5 se středem v počátku. Obecněji, a koule v metrický prostor ${ displaystyle (M, m)}$ s poloměrem ${ displaystyle r}$ se středem na ${ displaystyle x v M}$ lze definovat jako nastavenou úroveň ${ displaystyle L_ {r} (y mapsto m (x, y))}$.

Druhým příkladem je děj Funkce Himmelblau zobrazené na obrázku vpravo. Každá zobrazená křivka je křivkou úrovně funkce a jsou rozmístěny logaritmicky: pokud křivka představuje ${ displaystyle L_ {x}}$, křivka přímo „uvnitř“ představuje ${ displaystyle L_ {x / 10}}$, a křivka přímo „venku“ představuje ${ displaystyle L_ {10x}}$.

Sady úrovní versus přechod

Teorém: Pokud je funkce F je rozlišitelný, spád z F v bodě je buď nula, nebo kolmo na sadu úrovní F v tom bodě.

Abyste pochopili, co to znamená, představte si, že dva turisté jsou na stejném místě na hoře. Jeden z nich je odvážný a rozhodne se jít směrem, kde je nejstrmější svah. Ten druhý je opatrnější; nechce stoupat ani sestupovat, volí cestu, která ho udrží ve stejné výšce. V naší analogii výše uvedená věta říká, že dva turisté budou odcházet ve směrech kolmých na sebe.

Důsledkem této věty (a jejího důkazu) je, že pokud F je diferencovatelná, sada úrovní je a nadpovrch a a potrubí mimo kritické body z F. V kritickém bodě může být sada úrovní snížena na bod (například v a místní extremum z F ) nebo může mít a jedinečnost jako a průsečík nebo a hrot.

Sady podúrovní a nadúrovně

Sada formuláře

${ displaystyle L_ {c} ^ {-} (f) = vlevo {(x_ {1}, cdots, x_ {n}) , mid , f (x_ {1}, cdots, x_ {n}) leq c doprava }}$

se nazývá a sada podúrovní z F (nebo alternativně a nižší úroveň nastavena nebo příkop z F). A přísná podúroveň množina F je

${ displaystyle left {(x_ {1}, cdots, x_ {n}) , mid , f (x_ {1}, cdots, x_ {n})$

Podobně

${ displaystyle L_ {c} ^ {+} (f) = vlevo {(x_ {1}, cdots, x_ {n}) , mid , f (x_ {1}, cdots, x_ {n}) geq c doprava }}$

se nazývá a superúrovňová sada z F.^[2][3] A podobně a přísná nadřazená sada f je

${ displaystyle left {(x_ {1}, cdots, x_ {n}) , mid , f (x_ {1}, cdots, x_ {n})> c right }}$

Sady podúrovní jsou důležité v teorie minimalizace. The vázanost některých neprázdný množina podúrovní a nižší polokontinuita funkce znamená, že funkce dosáhne svého minima, o Weierstrassova věta. The konvexnost charakterizuje všechny sady podúrovní kvazikonvexní funkce.^[4]

Viz také

• Epigraf
• Metoda nastavení úrovně
• Sada úrovní (datové struktury)

Reference