Ptak prostor - Ptak space
A lokálně konvexní topologický vektorový prostor (TVS) X je B-kompletní nebo a Ptak prostor pokud každý podprostor je uzavřen ve slabé * topologii (tj. nebo ) kdykoli je uzavřen A (když A je dána topologie podprostoru z ) pro každou rovnocennou podmnožinu .[1]
B- úplnost souvisí s -úplnost, kde a lokálně konvexní TVS X je -kompletní pokud každý hustý podprostor je uzavřen kdykoli je uzavřen A (když A je dána topologie podprostoru z ) pro každou rovnocennou podmnožinu .[1]
Charakterizace
Nechat X být lokálně konvexní TVS. Pak jsou ekvivalentní následující:
- X je prostor Ptak.
- Každý nepřetržitý téměř otevřený lineární mapa X do jakéhokoli místně konvexního prostoru Y je topologický homomorfismus.[2]
- Lineární mapa je nazýván téměř otevřený pokud pro každou čtvrť U původu v X, je hustá v některých sousedstvích původu v
Následující jsou ekvivalentní:
- X je -kompletní.
- Každý nepřetržitý oboustranný, téměř otevřený lineární mapa X do jakéhokoli místně konvexního prostoru Y je TVS-izomorfismus.[2]
Vlastnosti
Každý prostor Ptak je kompletní. Existují však kompletní Hausdorff lokálně konvexní prostor, který není Ptakovým prostorem.
Věta o homomorfismu — Každá spojitá lineární mapa z prostoru Ptak do prostoru hlavně je topologický homomorfismus.[3]
Nechat být téměř otevřená lineární mapa, jejíž doména je hustá v a -kompletní prostor X a jehož rozsah je lokálně konvexní prostor Y. Předpokládejme, že graf u je uzavřen . Li u je injekční nebo pokud X je tedy prostor Ptak u je otevřená mapa.[4]
Příklady a dostatečné podmínky
Existují Br-kompletní prostory, které nejsou B-kompletní.
Každý Fréchetový prostor je prostor Ptak. A silná dvojka a reflexní Fréchetův prostor je prostor Ptak.
Každý uzavřený vektorový podprostor prostoru Ptak (resp. Br-complete space) je Ptakův prostor (resp. a -kompletní prostor).[1] a každý Hausdorff kvocient prostoru Ptak je prostor Ptak.[4] Pokud každý Hausdorffův kvocient TVS X je B.r- tedy úplné místo X je B-kompletní prostor.
Li X je lokálně konvexní prostor takový, že existuje spojitý téměř otevřený surjection u : P → X tedy z prostoru Ptak X je prostor Ptak.[3]
Pokud TVS X má zavřeno nadrovina to je B-kompletní (resp. Br-kompletní) X je B-kompletní (resp. Br-kompletní).
Viz také
Reference
- ^ A b C Schaefer & Wolff 1999, str. 162.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 163.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 164.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 165.
Bibliografie
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Barel v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 692. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.