LF-prostor - LF-space
v matematika, an LF-prostor, také písemné (LF)-prostor, je topologický vektorový prostor (TVS) X to je místně konvexní indukční limit spočetného indukčního systému z Fréchetové prostory.[1] Tohle znamená tamto X je přímý limit přímého systému v kategorii lokálně konvexní topologické vektorové prostory a každý je Fréchetův prostor.
Pokud každý z lepení mapy je vložení TVS pak LF-prostor se nazývá a přísný LF-prostor. To znamená, že topologie podprostoru vyvolala Xn podle Xn+1 je totožný s původní topologií na Xn.[1][2]Někteří autoři (např. Schaefer) definují pojem „LF-prostor "znamená" přísný LF-prostor, “takže při čtení matematické literatury se doporučuje vždy zkontrolovat, jak LF-prostor je definován.
Definice
Topologie indukčního / konečného / přímého limitu
Po celou dobu se předpokládá, že
- je buď kategorie topologických prostorů nebo nějaká podkategorie kategorie z topologické vektorové prostory (TVS);
- Pokud všechny objekty v kategorii mají algebraickou strukturu, pak se všechny morfismy považují za homomorfismy pro tuto algebraickou strukturu.
- Já není prázdné řízená sada;
- X• = ( Xi )i ∈ Já je rodina objektů v kde (Xi, τXi) je topologický prostor pro každý index i;
- Aby nedošlo k nejasnostem, τXi by měl ne být nazván Xi„počáteční topologie“ od termínu „počáteční topologie „již má dobře známou definici. Topologie τXi je zavolat originál topologie zapnuta Xi nebo Xije dané topologie.
- X je sada (a pokud objekty v mít také algebraické struktury X se automaticky předpokládá, že má jakoukoli algebraickou strukturu, kterou potřebujete);
- F• = ( Fi )i ∈ Já je rodina map, kde pro každý index i, mapa má prototypFi : (Xi, τXi) → X. Pokud všechny objekty v kategorii mají algebraickou strukturu, pak se tyto mapy také považují za homomorfismy pro tuto algebraickou strukturu.
Pokud existuje, pak konečná topologie na X v , také nazývaný colimit nebo indukční topologie v a označeno τF• nebo τF, je nejlepší topologie na X takhle
- (X, τF) je objekt v , a
- pro každý index i, mapa
- Fi : (Xi, τXi) → (X, τF)
V kategorii topologických prostorů vždy existuje konečná topologie a navíc podmnožina U ⊆ X je otevřený (resp. zavřený) v (X, τF) kdyby a jen kdyby F i- 1 (U) je otevřený (resp. zavřený) v (Xi, τXi) pro každý index i.
Konečná topologie však může ne existují v kategorii Hausdorff topologické prostory kvůli požadavku, že (X, τXF) patří do původní kategorie (tj. patří do kategorie Hausdorffových topologických prostorů).[3]
Přímé systémy
Předpokládejme to (Já, ≤) je řízená sada a to pro všechny indexy i ≤ j existují (spojité) morfismy v
- F ij : Xi → Xj
takové, že pokud i = j pak F ij je mapa identity na Xi a pokud i ≤ j ≤ k pak následující podmínka kompatibility je spokojen:
- F ik = F jk ∘ F ij,
kde to znamená, že složení
Pokud jsou splněny výše uvedené podmínky, pak trojnásobek tvořený kolekcemi těchto objektů, morfismem a indexovací sadou
je známý jako přímý systém v kategorii to je režie (nebo indexováno) od Já. Od indexovací sady Já je řízená sada, se říká, že přímý systém je režie.[4] Mapy F ij se nazývají lepení, spojovacínebo propojení mapy systému.
Pokud je nastavena indexace Já se rozumí Já je z výše uvedené n-tice často vynechán (tj. není zapsán); totéž platí pro mapy lepení, pokud jsou srozumitelné. V důsledku toho člověk často vidí napsané „X• je přímý systém „kde“X•„ve skutečnosti představuje trojnásobek se spojovacími mapami a indexovací sadou definovanou jinde (např. kanonické spojovací mapy, jako jsou přirozené inkluze), jinak se předpokládá, že spojovací mapy existují, ale není třeba jim přiřadit symboly (např. spojovací mapy mapy nejsou nutné ke stanovení věty).
Přímý limit přímého systému
Konstrukci přímého limitu obecného indukčního systému najdete v článku: přímý limit.
- Přímé limity injektážních systémů
Pokud každý z lepení mapy je injekční pak se volá systém injekční.[4]
Předpoklady: V případě, že je přímý systém injektivní, často se předpokládá bez ztráty obecnosti, že pro všechny indexy i ≤ j, každý Xi je vektorový podprostor o Xj (zejména, Xi je identifikován s rozsahem ) a že mapa lepení je přirozené začlenění
- vj
i : Xi → Xj(tj. definováno X ↦ X) tak, aby byla topologie podprostoru zapnuta Xi vyvolané Xj je slabší (tj. hrubší) než původní (tj. daná) topologie Xi.
V tomto případě také vezměte
- X := Xi.
Mezní mapy jsou pak přirozenými inkluze vi : Xi → X. Topologie přímého limitu zapnuta X je konečná topologie vyvolaná těmito inkluzními mapami.
Pokud XiMají algebraickou strukturu, řekněme například sčítání, pak pro jakoukoli X, y ∈ X, vybereme libovolný index i takhle X, y ∈ Xi a poté definovat jejich součet pomocí pomocí operátoru přidání z Xi. To znamená
- X + y := X +i y,
kde +i je operátorem přidání Xi. Tato částka je nezávislá na indexu i který je vybrán.
V kategorii lokálně konvexních topologických vektorových prostorů je topologie na přímém limitu X injektivní směrované indukční meze lokálně konvexních prostorů lze popsat uvedením, že an naprosto konvexní podmnožina U z X je sousedství města 0 kdyby a jen kdyby U ∩ Xi je naprosto konvexní sousedství 0 v Xi pro každý index i.[4]
- Přímé limity nahoře
Přímé limity směrovaných přímých systémů vždy existují v kategoriích množin, topologických prostorů, skupin a lokálně konvexní TVS. V kategorii topologických prostorů, pokud je každá spojovací mapa F ij je / je a injekční (resp. surjektivní, bijektivní, homeomorfismus, topologické vkládání, kvocientová mapa ) pak je také každý Fi : Xi → X.[3]
Problém s přímými limity
Přímé limity v kategoriích topologických prostorů, topologických vektorových prostorů (TVS) a Hausdorffově lokálně konvexních TVS jsou „špatně chovány“.[4] Například přímý limit posloupnosti (tj. Indexovaných přirozenými čísly) lokálně konvexních jaderný Fréchetové prostory smět selhat být Hausdorff (v takovém případě přímý limit v kategorii Hausdorff TVS neexistuje). Z tohoto důvodu se obvykle studují pouze určité „dobře vychované“ přímé systémy funkční analýza. Mezi takové systémy patří LF-prostory.[4] V přirozených otázkách analýzy se však vyskytují lokálně konvexní indukční limity jiné než Hausdorffovy.[4]
Přísný indukční limit
Pokud každý z lepení mapy je vložení TVS do správných vektorových podprostorů a pokud je systém směrován ℕ s jeho přirozeným uspořádáním se pak výsledný limit nazývá a přísný (počitatelný) přímý limit. V takové situaci můžeme předpokládat bez ztráty obecnosti, že každý z nich Xi je vektorový podprostor o Xi+1 a kterou topologie podprostoru vyvolala Xi podle Xi+1 je totožný s původní topologií na Xi.[1]
V kategorii lokálně konvexních topologických vektorových prostorů je topologie na přísném indukčním limitu Fréchetových prostorů X lze popsat uvedením absolutně konvexní podmnožiny U je sousedství města 0 kdyby a jen kdyby U ∩ Xn je naprosto konvexní sousedství 0 v Xn pro každého n.
Vlastnosti
Indukční limit v kategorii lokálně konvexních TVS rodiny rodiny bornologické (resp. sudový, kvazi hlavní ) mezery mají stejnou vlastnost.[5]
LF-prostory
Každý LF-prostor je hubený podmnožina sebe sama.[6]Striktní indukční limit posloupnosti úplných lokálně konvexních prostorů (například Fréchetových prostorů) je nutně úplný. Zejména je každý LF prostor kompletní.[7] Každý LF-prostor je sudový a bornologické, což společně s úplností naznačuje, že každý LF-prostor je ultrabornologické. LF-prostor, který je indukčním limitem spočetné posloupnosti oddělitelných prostorů, je oddělitelný.[8] LF mezery jsou význačný a jejich silné duály jsou bornologické a sudový (výsledek kvůli Alexander Grothendieck ).
Li X je přísný indukční limit rostoucí sekvence Fréchetový prostor Xn pak podmnožina B z X je ohraničen v X jen a jen pokud nějaké existují n takhle B je omezená podmnožina Xn.[7]
Lineární mapa z prostoru LF do jiného TVS je spojitá, právě když je postupně kontinuální.[9] Lineární mapa z prostoru LF X do Fréchetový prostor Y je spojitý právě tehdy, když je jeho graf uzavřen X × Y.[10]Každý ohraničený lineární operátor z prostoru LF do jiného TVS je spojitý.[11]
Li X je LF-prostor definovaný sekvencí pak silný duální prostor z X je Fréchetův prostor právě tehdy, pokud všechny Xi jsou normální.[12] Silný duální prostor LF-prostoru je tedy Fréchetovým prostorem právě tehdy, pokud je LB-prostor.
Příklady
Prostor plynulých kompaktně podporovaných funkcí
Typický příklad LF-prostor je, , prostor všech nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktní podporou. The LF-prostorová struktura se získá zvážením posloupnosti kompaktních množin s a pro všechny já, je podmnožinou interiéru . Takovým sledem by mohly být koule o poloměru i soustředěný na počátek. Prostor nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktní podporou obsaženou v má přirozený Fréchetový prostor struktura a zdědí jeho LF-prostorová struktura, jak je popsáno výše. The LF-prostorová topologie nezávisí na konkrétní posloupnosti kompaktních sad .
S tím LF-prostorová struktura, je známý jako prostor zkušebních funkcí zásadního významu v teorie distribucí.
Přímý limit konečně-dimenzionálních prostorů
Předpokládejme, že pro každé kladné celé číslo n, Xn : = ℝn a pro m < n, zvážit Xm jako vektorový podprostor Xn prostřednictvím kanonického vložení Xm → Xn definován X := (X1, ..., Xm) ↦ (X1, ..., Xm, 0, ..., 0). Označte výsledný LF prostor X. Kontinuální duální prostor z X se rovná algebraický duální prostor z X a slabá topologie zapnuta se rovná silná topologie na (tj. ).[13] Dále kanonická mapa X do souvislého duálního prostoru je surjektivní.[13]
Viz také
Citace
- ^ A b C Schaefer & Wolff 1999, str. 55-61.
- ^ Helgason, Sigurdur (2000). Skupiny a geometrická analýza: integrální geometrie, invariantní diferenciální operátory a sférické funkce (Přetištěno v kor. Ed.). Providence, R.I: American Mathematical Society. str. 398. ISBN 0-8218-2673-5.
- ^ A b Dugundji 1966, str. 420-435.
- ^ A b C d E F Bierstedt 1988, str. 41-56.
- ^ Grothendieck 1973, str. 130-142.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 435.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 59-61.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 436.
- ^ Trèves 2006, str. 141.
- ^ Trèves 2006, str. 173.
- ^ Trèves 2006, str. 142.
- ^ Trèves 2006, str. 201.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 201.
Bibliografie
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologické vektorové prostory: Teorie bez podmínek konvexnosti. Přednášky z matematiky. 639. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
- Bierstedt, Klaus-Dieter (1988). Úvod do lokálně konvexních indukčních limitů. Funkční analýza a aplikace. Singapur - New Jersey - Hongkong: Universitätsbibliothek. str. 35–133. PAN 0046004. Citováno 20. září 2020.
- Bourbaki, Nicolasi (1987) [1981]. Topologické vektorové prostory: kapitoly 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Přeložil Eggleston, H.G .; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
- Dugundji, James (1966). Topologie. Boston: Allyn a Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
- Edwards, Robert E. (1995). Funkční analýza: Teorie a aplikace. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topologické vektorové prostory. Přeložil Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Horváth, John (1966). Topologické vektorové prostory a distribuce. Addison-Wesley série v matematice. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
- Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Köthe, Gottfried (1969). Topologické vektorové prostory I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Přeložil Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. PAN 0248498. OCLC 840293704.
- Köthe, Gottfried (1979). Topologické vektorové prostory II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schechter, Eric (1996). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Swartz, Charles (1992). Úvod do funkční analýzy. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (ed.). Témata v místně konvexních prostorech. 67. Amsterdam New York, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC 316568534.
- Voigt, Jürgen (2020). Kurz topologických vektorových prostorů. Kompaktní učebnice z matematiky. Cham: Birkhäuser Basilej. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701.
- Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.