Aritmetická geometrie - Arithmetic geometry

Geometrie
Stereografická projekce ve formátu 3D.svg
Pobočky
Geometry
The hyperelliptická křivka definován má jich konečně mnoho racionální body (například body a ) od Faltingova věta.

V matematice aritmetická geometrie je zhruba aplikace technik z algebraická geometrie na problémy v teorie čísel.[1] Aritmetická geometrie je soustředěna kolem Diophantine geometrie, studium racionální body z algebraické odrůdy.[2][3]

Více abstraktně lze aritmetickou geometrii definovat jako studium schémata z konečný typ přes spektrum z kruh celých čísel.[4]

Přehled

Klasické objekty zájmu v aritmetické geometrii jsou racionální body: sady řešení a soustava polynomiálních rovnic přes počet polí, konečná pole, p-adická pole nebo funkční pole, tj. pole to nejsou algebraicky uzavřeno kromě reálná čísla. Racionální body lze přímo charakterizovat pomocí výškové funkce které měří jejich aritmetickou složitost.[5]

Struktura algebraických variet definovaných na nealgebraicky uzavřených polích se stala ústřední oblastí zájmu, která vznikla s moderním abstraktním vývojem algebraické geometrie. Přes konečná pole, étale cohomology poskytuje topologické invarianty spojené s algebraickými odrůdami.[6] p-adic Hodgeova teorie dává nástroje ke zkoumání, kdy cohomologické vlastnosti odrůd přes komplexní čísla rozšířit i na ty přes p-adická pole.[7]

Dějiny

19. století: raná aritmetická geometrie

Na počátku 19. století Carl Friedrich Gauss pozoroval, že nenulová celé číslo řešení homogenní polynom rovnice s Racionální koeficienty existují, pokud existují nenulová racionální řešení.[8]

V padesátých letech 19. století Leopold Kronecker formuloval Kroneckerova-Weberova věta, představil teorii dělitele, a navázal řadu dalších spojení mezi teorií čísel a algebra. Potom se domníval, žeLiebster Jugendtraum „(„ nejdražší sen mládí “), zevšeobecnění, které později navrhl Hilbert v upravené podobě jako jeho dvanáctý problém, který nastiňuje cíl, aby teorie čísel fungovala pouze s kroužky, které jsou kvocienty polynomiální kroužky přes celá čísla.[9]

Počátky 20. století: algebraický vývoj a Weilovy domněnky

Na konci 20. let André Weil prokázal hlubokou souvislost mezi algebraickou geometrií a teorií čísel při své doktorské práci vedoucí k Mordell – Weilova věta což ukazuje, že množina racionálních bodů an abelianská odrůda je konečně generovaná abelianská skupina.[10]

Moderní základy algebraické geometrie byly vyvinuty na základě současných komutativní algebra, počítaje v to teorie ocenění a teorie ideály podle Oscar Zariski a další ve 30. a 40. letech.[11]

V roce 1949 André Weil položil mezník Weil dohady o místní funkce zeta algebraických odrůd nad konečnými poli.[12] Tyto domněnky nabídly rámec mezi algebraickou geometrií a teorií čísel, která poháněla Alexander Grothendieck přepracovat základy využívající teorie svazků (dohromady s Jean-Pierre Serre ) a pozdější teorie schémat v 50. a 60. letech.[13] Bernard Dwork v roce 1960 prokázal jednu ze čtyř Weilových domněnek (racionalita místní funkce zeta).[14] Grothendieck vyvinul étale cohomology theory k prokázání dvou Weilových domněnek (společně s Michael Artin a Jean-Louis Verdier ) do roku 1965.[6][15] Poslední z Weilových dohadů (analogie Riemannova hypotéza ) bude konečně prokázáno v roce 1974 Pierre Deligne.[16]

Od poloviny do konce 20. století: vývoj v modularitě, metodách p-adic a dalších

V letech 1956 a 1957 Yutaka Taniyama a Goro Shimura položil Domněnka Taniyama – Shimura (nyní známý jako věta o modularitě) eliptické křivky na modulární formy.[17][18] Toto spojení by nakonec vedlo k první důkaz z Fermatova poslední věta v teorii čísel pomocí technik algebraické geometrie modularita zvedání vyvinutý uživatelem Andrew Wiles v roce 1995.[19]

V šedesátých letech představil Goro Shimura Odrůdy Shimura jako zobecnění modulární křivky.[20] Od roku 1979 hrají odrůdy Shimura zásadní roli v Langlandsův program jako přirozená oblast příkladů pro testování dohadů.[21]

V novinách v letech 1977 a 1978 Barry Mazur prokázal torzní domněnka což poskytuje úplný seznam možných torzních podskupin eliptických křivek nad racionálními čísly. Mazurův první důkaz této věty závisel na úplné analýze racionálních bodů modulární křivky.[22][23] V roce 1996 byl důkaz torzního domněnky rozšířen na všechna číselná pole o Loïc Merel.[24]

V roce 1983 Gerd Faltings prokázal Mordellova domněnka, což dokazuje, že křivka rodu větší než 1 má pouze konečně mnoho racionálních bodů (kde věta Mordell – Weil ukazuje pouze konečná generace množiny racionálních bodů na rozdíl od konečnosti).[25][26]

V roce 2001 byl doklad o místní Langlandsovy domněnky pro GLn byl založen na geometrii určitých odrůd Shimura.[27]

V 2010s, Peter Scholze rozvinutý perfektní prostory a nové teorie cohomologie v aritmetické geometrii nad p-adickými poli s aplikací na Galois reprezentace a některé případy domněnka hmotnost-monodromy.[28][29]

Viz také

Reference

  1. ^ Sutherland, Andrew V. (5. září 2013). „Úvod do aritmetické geometrie“ (PDF). Citováno 22. března 2019.
  2. ^ Klarreich, Erica (28. června 2016). „Peter Scholze a budoucnost aritmetické geometrie“. Citováno 22. března 2019.
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). „Úvod do aritmetické geometrie“ (PDF). Citováno 22. března 2019.
  4. ^ Aritmetická geometrie v nLab
  5. ^ Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. 43–67. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
  6. ^ A b Grothendieck, Alexander (1960). „Teorie kohomologie abstraktních algebraických odrůd“. Proc. Internat. Kongresová matematika. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. 103–118. PAN  0130879.
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). „Résumé des cours, 1965–66“. Annuaire du Collège de France. Paříž: 49–58.
  8. ^ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine rovnice. Akademický tisk. p. 1. ISBN  978-0125062503.
  9. ^ Gowers, Timothy; Barrow-Green, červen; Leader, Imre (2008). Princetonský společník matematiky. Princeton University Press. str. 773–774. ISBN  978-0-691-11880-2.
  10. ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriquesActa Math 52, (1929) str. 281-315, přetištěno ve svazku 1 jeho sebraných papírů ISBN  0-387-90330-5.
  11. ^ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David (eds.). Algebraické povrchy. Klasika v matematice (druhé doplněné vydání). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-58658-6. PAN  0469915.
  12. ^ Weil, André (1949). "Počty řešení rovnic v konečných polích". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4. ISSN  0002-9904. PAN  0029393. Přetištěno v Oeuvres Scientifiques / Collected Papers od André Weila ISBN  0-387-90330-5
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). „Faisceaux Algebriques Coherents“. Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. JSTOR  1969915.
  14. ^ Dwork, Bernarde (1960). "O racionálnosti funkce zeta algebraické odrůdy". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, sv. 82, č. 3. 82 (3): 631–648. doi:10.2307/2372974. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372974. PAN  0140494.
  15. ^ Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. „Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L“. Seminář Bourbaki. 9. Paříž: Société Mathématique de France. 41–55. PAN  1608788.
  16. ^ Deligne, Pierre (1974). „La Conecture de Weil. Já“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 43 (1): 273–307. doi:10.1007 / BF02684373. ISSN  1618-1913. PAN  0340258.
  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). „Problém 12“. Sugaku (v japonštině). 7: 269.
  18. ^ Shimura, Goro (1989). „Yutaka Taniyama a jeho doba. Velmi osobní vzpomínky“. Bulletin of London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112 / blms / 21.2.186. ISSN  0024-6093. PAN  0976064.
  19. ^ Wiles, Andrew (1995). "Modulární eliptické křivky a Fermatova poslední věta" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255.
  20. ^ Shimura, Goro (2003). Sebraná díla Goro Shimury. Springer Nature. ISBN  978-0387954158.
  21. ^ Langlands, Robert (1979). „Automorfní reprezentace, odrůdy Shimura a motivy. Ein Märchen“ (PDF). v Borel, Armand; Casselman, William (eds.). Automorfní formy, reprezentace a L-funkce: Symposium v ​​čisté matematice. XXXIII Část 1. Vydavatelství Chelsea. str. 205–246.
  22. ^ Mazur, Barry (1977). "Modulární křivky a Eisensteinův ideál". Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007 / BF02684339. PAN  0488287.
  23. ^ Mazur, Barry (1978). s dodatkem od Dorian Goldfeld. "Racionální isogenie prvního stupně". Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129–162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007 / BF01390348. PAN  0482230.
  24. ^ Merel, Loïc (1996). „Bornes pour la torze des courbes elliptiques sur les corps de nombres“ [Hranice pro kroucení eliptických křivek nad číselnými poli]. Inventiones Mathematicae (francouzsky). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10,1007 / s002220050059. PAN  1369424.
  25. ^ Faltings, Gerde (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Věty o konečnosti pro abelianské odrůdy přes počet polí]. Inventiones Mathematicae (v němčině). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007 / BF01388432. PAN  0718935.
  26. ^ Faltings, Gerd (1984). „Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern“. Inventiones Mathematicae (v němčině). 75 (2): 381. doi:10.1007 / BF01388572. PAN  0732554.
  27. ^ Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). Geometrie a kohomologie některých jednoduchých odrůd Shimura. Annals of Mathematics Studies. 151. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-09090-0. PAN  1876802.
  28. ^ „Fields Medals 2018“. Mezinárodní matematická unie. Citováno 2. srpna 2018.
  29. ^ Scholze, Peter. „Perfectoidní prostory: průzkum“ (PDF). University of Bonn. Citováno 4. listopadu 2018.